2023年新课标全国ⅰ卷数学真题(解析版).pdf

绝密绝密启用前启用前试卷类型：试卷类型：A2023 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试新课标新课标卷数学卷数学本试卷共本试卷共 4 页，页，22 小题，满分小题，满分 150 分分.考试用时考试用时 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1答题前答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号考生号、考场号和座位号填写考场号和座位号填写在答题卡上在答题卡上。用用 2B 铅笔将试卷类型铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右将条形码横贴在答题卡右上角上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按不按以上要求作答的答案无效以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知集合2,1,0,1,2M ，260Nx xx，则MN（）A.2,1,0,1B.0,1,2C.2D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N，即可根据交集的运算解出方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出【详解】方法一：因为260,23,Nx xx，而2,1,0,1,2M ，所以MN2故选：C方法二：因为2,1,0,1,2M ，将2,1,0,1,2代入不等式260 xx，只有2使不等式成立，所以MN2故选：C2.已知1 i22iz，则zz（）A.iB.iC.0D.1【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出【详解】因为1 i1 i1 i2i1i22i2 1 i1 i42z，所以1i2z，即izz 故选：A3.已知向量1,1,1,1ab，若abab，则（）A.1B.1 C.1D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出ab，ab，再根据向量垂直的坐标表示即可求出【详解】因为1,1,1,1ab，所以1,1ab，1,1ab，由abab可得，0abab，即 11110，整理得：1 故选：D4.设函数 2x x afx在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A.,2 B.2,0C.0,2D.2,【答案】D【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2xy 在 R 上单调递增，而函数 2x x afx在区间0,1上单调递减，则有函数22()()24aayx xax在区间0,1上单调递减，因此12a，解得2a，所以a的取值范围是2,.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14xxCyaCya的离心率分别为12,e e若213ee，则a（）A.2 33B.2C.3D.6【答案】A【解析】【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由213ee，得22213ee，因此224 1134aa，而1a，所以2 33a.故选：A6.过点0,2与圆22410 xyx 相切的两条直线的夹角为，则sin（）A.1B.154C.104D.64【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810kk，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410 xyx，即2225xy，可得圆心2,0C，半径5r，过点0,2P作圆 C 的切线，切点为,A B，因为22222 2PC ，则223PAPCr，可得51036sin,cos442 22 2APCAPC，则10615sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC，即APB为钝角，所以15sinsin sin4APBAPB；法二：圆22410 xyx 的圆心2,0C，半径5r，过点0,2P作圆 C 的切线，切点为,A B，连接AB，可得22222 2PC ，则223PAPBPCr，因为22222cos2cosPAPBPA PBAPBCACBCA CBACB且ACBAPB，则336cos55 10cos APBAPB ，即3 cos55cosAPBAPB，解得1cos04APB，即APB为钝角，则1coscos cos4APBAPB，且为锐角，所以215sin1 cos4；方法三：圆22410 xyx 的圆心2,0C，半径5r，若切线斜率不存在，则切线方程为0y，则圆心到切点的距离2dr，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx，即20kxy，则22251kk，整理得2810kk，且644600 设两切线斜率分别为12,k k，则12128,1kkk k，可得212121242 15kkkkk k，所以1212tan151kkk k，即sin15cos，可得sincos15，则2222sinsincossin115，且0,2，则sin0，解得15sin4.故选：B.7.记nS为数列 na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：nSn为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前 n 项和与第 n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法 1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则1111(1)1,222212nnnnSSSn nndddSnadadnannn，因此nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：nSn为等差数列，即111(1)1(1)(1)nnnnnnSSnSnSnaSnnn nn n为常数，设为t，即1(1)nnnaStn n，则1(1)nnSnat n n，有1(1)(1),2nnSnat n nn，两式相减得：1(1)2nnnananatn，即12nnaat，对1n 也成立，因此 na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法 2，甲：na为等差数列，设数列 na的首项1a，公差为d，即1(1)2nn nSnad，则11(1)222nSnddadnan，因此nSn为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：nSn为等差数列，即11,(1)1nnnSSSDSnDnnn，即1(1)nSnSn nD，11(1)(1)(2)nSnSnnD，当2n时，上两式相减得：112(1)nnSSSnD，当1n 时，上式成立，于是12(1)naanD，又11122(1)2nnaaanDanDD为常数，因此 na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C8.已知11sin,cossin36，则cos 22（）A.79B.19C.19D.79【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sincoscossin3，而1cossin6，因此1sincos2，则2sin()sincoscossin3，所以2221cos(22)cos2()12sin()12()39 .故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.有一组样本数据126,x xx，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2345,x x x x的平均数等于126,x xx的平均数B.2345,x x x x的中位数等于126,x xx的中位数C.2345,x x x x的标准差不小于126,x xx的标准差D.2345,x x x x的极差不大于126,x xx的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项 A：设2345,x x x x的平均数为m，126,x xx的平均数为n，则 165234123456234526412xxxxxxxxxxxxxxxxnm，因为没有确定1652342,xxxxxx的大小关系，所以无法判断,m n的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得3.5mn；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2mn；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6mn；故 A 错误；对于选项 B：不妨设123456xxxxxx，可知2345,x x x x的中位数等于126,x xx的中位数均为342xx，故 B 正确；对于选项 C：因为1x是最小值，6x是最大值，则2345,x x x x的波动性不大于126,x xx的波动性，即2345,x x x x的标准差不大于126,x xx的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数12468 10 1276n ，标准差222222111052747678710712763s，4,6,8,10，则平均数1468 1074m ，标准差22222147678710754s，显然10553，即12ss；故 C 错误；对于选项 D：不妨设123456xxxxxx，则6152xxxx，当且仅当1256,xx xx时，等号成立，故 D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020 lgppLp，其中常数000pp 是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为123,p pp，则（）A.12ppB.2310ppC.30100ppD.12100pp【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可知12360,90,50,60,40pppLLL，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：12360,90,50,60,40pppLLL，对于选项 A：可得1212100220 lg20 lg20 lgpppppLLppp，因为12ppLL，则121220 lg0pppLLp，即12lg0pp，所以121pp且12,0p p，可得12pp，故 A 正确；对于选项 B：可得2332200320 lg20 lg20 lgpppppLLppp，因为2324010pppLLL，则2320 lg10pp，即231lg2pp，所以23epp且23,0pp，可得23epp，当且仅当250pL时，等号成立，故 B 错误；对于选项 C：因为33020 lg40ppLp，即30lg2pp，可得30100pp，即30100pp，故 C 正确；对于选项 D：由选项 A 可知：121220 lgpppLLp，且12905040ppLL，则1220 lg40pp，即12lg2pp，可得12100pp，且12,0p p，所以12100pp，故 D 正确；故选：ACD.11.已知函数 f x的定义域为R，22fxyy fxx fy，则（）A.00fB.10fC.f x是偶函数D.0 x 为 f x的极小值点【答案】ABC【解析】【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项 ABC，举反例()0f x 即可排除选项 D.方法二：选项 ABC 的判断与方法一同，对于 D，可构造特殊函数2ln,0()0,0 xx xf xx进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()f xyy f xx f y，对于 A，令0 xy，(0)0(0)0(0)0fff，故A正确.对于 B，令1xy，(1)1(1)1(1)fff，则(1)0f，故 B 正确.对于 C，令1xy，(1)(1)(1)2(1)ffff，则(1)0f，令21,()()(1)()yfxf xx ff x，又函数()f x的定义域为R，所以()f x为偶函数，故C正确，对于 D，不妨令()0f x，显然符合题设条件，此时()f x无极值，故D错误.方法二：因为22()()()f xyy f xx f y，对于 A，令0 xy，(0)0(0)0(0)0fff，故A正确.对于 B，令1xy，(1)1(1)1(1)fff，则(1)0f，故 B 正确.对于 C，令1xy，(1)(1)(1)2(1)ffff，则(1)0f，令21,()()(1)()yfxf xx ff x，又函数()f x的定义域为R，所以()f x为偶函数，故C正确，对于 D，当220 x y 时，对22()()()f xyy f xx f y两边同时除以22x y，得到2222()()()f xyf xf yx yxy，故可以设2()ln(0)f xx xx，则2ln,0()0,0 xx xf xx，当0 x 肘，2()lnf xxx，则 212 ln(2ln1)xxxxxfxx，令 0fx，得120ex；令()0fx，得12ex；故()f x在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，因为()f x为偶函数，所以()f x在12,0e上单调递增，在12,e上单调递减，显然，此时0 x 是()f x的极大值，故 D 错误.故选：ABC.12.下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项 A：因为0.99m1m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故 A 正确；对于选项 B：因为正方体的面对角线长为2m，且21.4，所以能够被整体放入正方体内，故 B 正确；对于选项 C：因为正方体的体对角线长为3m，且31.8，所以不能够被整体放入正方体内，故 C 正确；对于选项 D：因为正方体的体对角线长为3m，且31.2，设正方体1111ABCDABC D的中心为O，以1AC为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心1O到正方体的表面的最近的距离为mh，如图，结合对称性可知：111111133,0.6222OCC ACOOCOO，则1111COhAAC A，即30.6213h，解得10.60.340.0123h，所以能够被整体放入正方体内，故 D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于 C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的性质分析判断.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有_种（用数字作答）【答案】64【解析】【分析】分类讨论选修 2 门或 3 门课，对选修 3 门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】（1）当从 8 门课中选修 2 门，则不同的选课方案共有144116C C 种；（2）当从 8 门课中选修 3 门，若体育类选修课 1 门，则不同的选课方案共有1244C C24种；若体育类选修课 2 门，则不同的选课方案共有2144C C24种；综上所述：不同的选课方案共有16242464种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCDABC D中，1112,1,2ABA BAA，则该棱台的体积为_【答案】7 66#766【解析】【分析】结合图像，依次求得111,AO AO AM，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A作1AMAC，垂足为M，易知1AM为四棱台1111ABCDABC D的高，因为1112,1,2ABABAA，则11111111112,22222222AOACABAOACAB，故111222AMACAC，则221116222AMA AAM，所以所求体积为167 6(4 14 1)326V .故答案为：7 66.15.已知函数 cos1(0)fxx在区间0,2有且仅有 3 个零点，则的取值范围是_【答案】2,3)【解析】【分析】令()0f x，得cos1x有 3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x，所以02x，令()cos10f xx，则cos1x有 3 个根，令tx，则cos1t 有 3 个根，其中0,2 t，结合余弦函数cosyt的图像性质可得42 6，故23，故答案为：2,3).16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F点A在C上，点B在y轴上，11222,3F AFB F AF B ，则C的离心率为_【答案】3 55#355【解析】【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,AFBFBFAF关于,a m的表达式，从而利用勾股定理求得am，进而利用余弦定理得到,a c的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3xc yt，224tc，将点A代入双曲线C得到关于,a b c的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设22AFm，则2113,22BFmBFAFam，在1Rt ABF中，2229(22)25mamm，则(3)()0am am，故am或3am（舍去），所以124,2AFa AFa，213BFBFa，则5ABa，故11244cos55AFaF AFABa，所以在12AFF中，2221216444cos2 425aacF AFaa，整理得2259ca，故3 55cea.方法二:依题意，得12(,0),(,0)FcF c，令00),(0,A xyBt，因为2223F AF B ，所以002,3xc yc t，则00235,3xc yt，又11F AFB，所以1182,33F A FBctc t 2282033ct，则224tc，又点A在C上，则2222254991ctab，整理得2222254199ctab，则22222516199ccab，所以22222225169c bc aa b，即2222222225169ccaa caca，整理得424255090cca，则22225950caca，解得2259ca或225ca，又1e，所以3 55e 或55e（舍去），故3 55e.故答案为：3 55.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于,a b c的齐次方程，从而得解.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知在ABC中，3,2sinsinABCACB（1）求sinA；（2）设5AB，求AB边上的高【答案】（1）3 1010（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积法求解即可.【小问 1 详解】3ABC，3CC，即4C，又2sin()sinsin()A CBAC，2sincos2cossinsincoscossinACACACAC，sincos3cossinACAC，sin3cosAA，即tan3A，所以02A，33 10sin1010A.【小问 2 详解】由（1）知，110cos1010A，由sinsin()BAC2 3 10102 5sincoscossin()210105ACAC，由正弦定理，sinsincbCB，可得2 5552 1022b，11sin22AB hAB ACA，3 10sin2 10610hbA.18.如 图，在 正 四 棱 柱1111ABCDABC D中，12,4ABAA 点2222,A B C D分 别 在 棱111,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AABBDDCC（1）证明：2222B CA D；（2）点P在棱1BB上，当二面角222PA CD为150时，求2B P【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设(0,2,)(04)P，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小问 1 详解】以C为坐标原点，1,CD CB CC所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)CCBDA，2222(0,2,1),(0,2,1)B CA D ，2222B CA D ，又2222B CA D，不在同一条直线上，2222B CA D.【小问 2 详解】设(0,2,)(04)P，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A CPCD C ，设平面22PA C的法向量(,)nx y z，则22222202(3)0n A Cxyzn PCyz ，令2z，得3,1yx，(1,3,2)n，设平面222A C D的法向量(,)ma b c，则2222222020m A Cabcm D Cac ，令1a，得1,2bc，(1,1,2)m，2263cos,cos15026 4(1)(3)n mn mn m ，化简可得，2430，解得1或3，(0,2,1)P或(0,2,3)P，21B P.19.已知函数 exf xaax（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当0a 时，32ln2f xa【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a 与0a 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方 法 一：结 合（1）中 结 论，将 问 题 转 化 为21ln02aa的 恒 成 立 问 题，构 造 函 数 21ln02g aaa a，利用导数证得 0g a 即可.方法二：构造函数 e1xh xx，证得e1xx，从而得到2()ln1f xxaax，进而将问题转化为21ln02aa的恒成立问题，由此得证.【小问 1 详解】因为()exf xaax，定义域为R，所以 e1xfxa，当0a 时，由于e0 x，则e0 xa，故 0e1xfxa恒成立，所以 f x在R上单调递减；当0a 时，令 e10 xfxa，解得lnxa，当lnxa 时，0fx，则 f x在,lna 上单调递减；当lnxa 时，()0fx，则 f x在ln,a上单调递增；综上：当0a 时，f x在R上单调递减；当0a 时，f x在,lna 上单调递减，f x在ln,a上单调递增.【小问 2 详解】方法一：由（1）得，lnmin2lnlnlne1afaaxafaaa，要证3()2ln2f xa，即证2312ln2lnaaa，即证21ln02aa恒成立，令 21ln02g aaa a，则 21212agaaaa，令 0g a，则202a；令 0g a，则22a；所以 g a在20,2上单调递减，在2,2上单调递增，所以 2min2212lnln202222g ag，则 0g a 恒成立，所以当0a 时，3()2ln2f xa恒成立，证毕.方法二：令 e1xh xx，则 e1xh x，由于exy 在R上单调递增，所以 e1xh x在R上单调递增，又 00e10h，所以当0 x 时，0h x；当0 x 时，0h x；所以 h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，故 00h xh，则e1xx，当且仅当0 x 时，等号成立，因为2ln22()eeeln1xxxaf xaaxaaxaxxaax，当且仅当ln0 xa，即lnxa 时，等号成立，所以要证3()2ln2f xa，即证23ln12ln2xaaxa，即证21ln02aa，令 21ln02g aaa a，则 21212agaaaa，令 0g a，则202a；令 0g a，则22a；所以 g a在20,2上单调递减，在2,2上单调递增，所以 2min2212lnln202222g ag，则 0g a 恒成立，所以当0a 时，3()2ln2f xa恒成立，证毕.20.设等差数列 na的公差为d，且1d 令2nnnnba，记,nnS T分别为数列 ,nnab的前n项和（1）若2133333,21aaa ST，求 na的通项公式；（2）若 nb为等差数列，且999999ST，求d【答案】（1）3nan（2）5150d【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由 nb为等差数列得出1ad或12ad，再由等差数列的性质可得50501ab，分类讨论即可得解.【小问 1 详解】21333aaa，132dad，解得1ad，32133()6ddSaa，又31232612923Tbbbdddd，339621STdd，即22730dd，解得3d 或12d（舍去），1(1)3naandn.【小问 2 详解】nb为等差数列，2132bbb，即21312212aaa，2323111616()daaa aa，即2211320aa dd，解得1ad或12ad，1d，0na，又999999ST，由等差数列性质知，5050999999ab，即50501ab，505025501aa，即2505025500aa，解得5051a或5050a（舍去）当12ad时，501495151aadd，解得1d，与1d 矛盾，无解；当1ad时，501495051aadd，解得5150d.综上，5150d.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量iX服从两点分布，且110,1,2,iiiP XP Xq in，则11nniiiiEXq记前n次（即从第 1 次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求 E Y【答案】（1）0.6（2）1121653i（3）52()11853nnE Y【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设iiP Ap，由题意可得10.40.2iipp，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出【小问 1 详解】记“第i次投篮的人是甲”为事件iA，“第i次投篮的人是乙”为事件iB，所以，21212121121|P BP ABP B BP A P BAP B P BB0.51 0.60.5 0.80.6.【小问 2 详解】设iiP Ap，依题可知，1iiP Bp，则 11111|iiiiiiiiiiiP AP AAP B AP A P AAP B P AB，即 10.61 0.810.40.2iiiipppp，构造等比数列ip，设125iipp，解得13，则1121353iipp，又11111,236pp，所以13ip是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653iiiipp【小问 3 详解】因为1121653iip，1,2,in，所以当*Nn时，122115251263185315nnnnnE Yppp，故52()11853nnE Y【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点10,2的距离，记动点P的轨迹为W（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3【答案】（1）214yx（2）见解析【解析】【分析】（1）设(,)P x y，根据题意列出方程22212xyy，化简即可；（2）法一：设矩 形 的三 个 顶 点222111,444A a aB b bC c c，且abc，分别 令0ABkabm，0BCkbcn，且1mn ，利用放缩法得21112Cnnn，设函数221()1f xxxx，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.法二：设直线AB的方程为21()4yk xaa，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得3221kABADk，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.【小问 1 详解】设(,)P x y,则2212yxy，两边同平方化简得214yx，故21:4W yx.【小问 2 详解】法一：设矩形的三个顶点222111,444A a aB b bC c c在W上,且abc，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为 0，则1,ABBCkkabbc,令2240114ABkbababam，同理令0BCkbcn，且1mn ，则1mn，设矩形周长为C,由对称性不妨设|mn，1BCABkkcanmnn，则222211|()1()1()112CABBCbamcbncannnn.0n，易知2110nnn则令222111()1,0,()22f xxxxfxxxxxx ,令()0fx，解得22x，当20,2x时，()0fx，此时()f x单调递减，当2,2x，()0fx，此时()f x单调递增，则min227()24f xf，故1273 3242C,即3 3C.当3 3C 时,2,22nm,且22()1()1bamban，即mn时等号成立，矛盾，故3 3C,得证.法二：不妨设,A B D在W上，且BADA，依题意可设21,4A a a，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为 0，则设BA,DA的斜率分别为k和1k，由对称性，不妨设1k，直线AB的方程为21()4yk xaa，则联立22141()4yxyk xaa得220 xkxkaa，222420kkaaka，则2ka则2|1|2|ABkka，同理21 1|12ADakk，221 1|1|2|12ABADkkaakk322221111221kkkaakkkkk令2km，则0,1m，设32(1)1()33mf mmmmm，则2221(21)(1)()23mmfmmmm，令()0fm，解得12m，当10,2m时，()0fm，此时()f m单调递减，当1,2m，()0fm，此时()f m单调递增，则min127()24f mf，3 3|2ABAD，但2221 111|2|121|2|2kkaakkaakkk，此处取等条件为1k，与最终取等时22k 不一致，故3 32ABAD.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:Wyx,矩形ABCD变换为矩形A B C D ,则问题等价于矩形A B C D 的周长大于3 3.设222001122,B t tA t tC t t,根据对称性不妨设00t.则1020,A BB Cktt ktt,由于ABBC ,则10201tttt.由于22101020201,1ABttttBCtttt,且0t介于12,t t之间,则221010202011ABBCtttttttt.令20tantt,10cot,0,2tt ,则2010tan,cottt tt,从而22001 cot2cot1tantan2ABBCtt故330022222(cossin)11sincossincos2sincoscossinsincossincostABBCt当0,4时,332222sincossincos12222 2sincoscossinsincossin2ABBC当,4 2时,由于102ttt,从而000cottanttt,从而0cottan22t又00t,故0tan02t,由此330222(cossin)sincossincossincostABBC3323222sin(cossin)(sincos)sincos1cossincossincoscossin22222222sinsin2cos1 cos1 cos2cos 33222223 3221 cos1 cos2cos33，当且仅当3cos3时等号成立，故3 32ABBC，故矩形周长大于3 2.【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得211|12CABBCnnn，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.