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绪论及数学准备绪论及数学准备第零章第1页第零章第一节第零章第一节矢量代数与张量初步第2页1矢量代数与张量初步直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中 矢量定矢量定矢量定矢量定义义 矢量基本运算矢量基本运算矢量基本运算矢量基本运算 第3页 矢量代数中两个主要公式矢量代数中两个主要公式矢量代数中两个主要公式矢量代数中两个主要公式 混合积混合积混合积混合积矢量微分矢量微分双重矢量积双重矢量积双重矢量积双重矢量积注意次序注意次序不能颠倒不能颠倒第4页 并矢与张量并矢与张量（普通普通）为单位并矢，张量基（为单位并矢，张量基（9 9个分量）个分量）矢矢量与张量矩阵表示量与张量矩阵表示量与张量矩阵表示量与张量矩阵表示第5页张量运算张量运算张量运算张量运算第6页两并矢一次点乘两并矢一次点乘两并矢一次点乘两并矢一次点乘两并矢二次点乘两并矢二次点乘两并矢二次点乘两并矢二次点乘单位张量与矢量、单位张量与矢量、单位张量与矢量、单位张量与矢量、张量点乘张量点乘张量点乘张量点乘第7页补充练习题补充练习题（0，1，1 ）计算计算与矢量与矢量 垂直垂直,即即证实证实计算以下各式计算以下各式证实以下各式证实以下各式 第8页第零章第二节第零章第二节矢量场论复习矢量场论复习第9页一、一、场概念场概念2矢量场论复习矢量场论复习 描述一定空间中连续分布物质对象物理量。或说：描述一定空间中连续分布物质对象物理量。或说：若在一定空间中每一点，都对应着某个物理量确实若在一定空间中每一点，都对应着某个物理量确实定值，就说在这空间中确定了该物理场。定值，就说在这空间中确定了该物理场。如：强如：强度场、速度场、引力场、电磁场。度场、速度场、引力场、电磁场。场用一个空间和时间场用一个空间和时间 坐标函数来描述坐标函数来描述：稳稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关恒场（稳定场、静场）：场与时间无关变变化场（时变场）：场函数与时间相关化场（时变场）：场函数与时间相关第10页已已知知场场函函数数能能够够了了解解场场各各种种性性质质：随随时时空空改改变变关关系（梯、散、旋度）。系（梯、散、旋度）。已已知场函数梯度、散度、旋度能够确定场函数，知场函数梯度、散度、旋度能够确定场函数，这是电动力学求解电磁场主要方法。这是电动力学求解电磁场主要方法。二、标量场梯度在空间任意靠近两点函数在空间任意靠近两点函数 全微分全微分在在空空间间某某点点任任意意方方向向上上，导导数数有有没没有有穷穷多多个个，其其中中有有一一个个值值最最大大，这这个个方方向向导导数数最最大大值值定定义义为梯度：为梯度：第11页 梯度意义：梯度意义：空间某点标量场函数最大改变率空间某点标量场函数最大改变率 ，刻画了，刻画了标量量场空空间分布特征分布特征 等值面等值面：常数曲面称为等值面。常数曲面称为等值面。梯度与等值面关系：梯度与等值面关系：梯度与等值面垂直。梯度与等值面垂直。已知梯度即可求出沿任一方向方向导数。已知梯度即可求出沿任一方向方向导数。三、矢量微分算子三、矢量微分算子既含有矢量性质，既含有矢量性质，既含有矢量性质，既含有矢量性质，又含有微分性质又含有微分性质又含有微分性质又含有微分性质 注意：注意：注意：注意：它能够作用在矢量上，能够作点乘、叉乘。它能够作用在矢量上，能够作点乘、叉乘。第12页解：解：=？例例例例1 1：第13页解：解：例例例例2 2：=？第14页四、高斯定理与矢量场散度四、高斯定理与矢量场散度四、高斯定理与矢量场散度四、高斯定理与矢量场散度矢矢量族量族 在在矢矢量量场场中中对对于于给给定定一一点点，有有一一个个方方向向，它它沿沿某某一一曲曲线线切切线线方方向向，这这条条曲曲线线形形成成一一条条矢矢量量线线，又又叫叫场场线线（对对静静电电场场称称为为电电力力线线），无无穷穷多多条条这么曲线组成一个矢量族。这么曲线组成一个矢量族。矢矢量场通量量场通量面元面元 通量：通量：有限面积有限面积 通量通量意义：用来描述空间某一范围内场发散或会聚，它只具意义：用来描述空间某一范围内场发散或会聚，它只具 有局域性有局域性质，不能反，不能反应空空间一点情况。一点情况。有源无源负源闭合曲面通量闭合曲面通量第15页高高斯公式矢矢量场散度缩小到一点缩小到一点 若空间各点处处若空间各点处处 则称则称 为无源场。为无源场。该点有源该点无源该点为负源第16页例子：例子：求求求求求求第17页 证实证实证实证实证：证：证：证：第18页五、斯托克斯公式与矢量场旋度五、斯托克斯公式与矢量场旋度矢量场环量（环流）表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 斯斯托克斯公式（定理）矢量矢量 沿任一闭合曲线沿任一闭合曲线 积分称为环量积分称为环量 第19页定定义义 为为矢矢量量场场旋旋度度，它它在在 法法线线方方向向上上分分量量为为单单位位面面积积上上环环量量。刻刻画画矢矢量量场场场场线线在在空空间间某某点点上上环环流流特特征征。若若空空间间各各点点 ，则则称称 为为无旋场。无旋场。矢量场旋度当L无限小：第20页例子：例子：证实证实证实证实同理同理同理同理证证证证=0=0第21页证实证实证实证实证：证：证：证：第22页六、相关场四个定理六、相关场四个定理关关于散度旋度两个定理1.正定理：标量场梯度必为无旋场，正定理：标量场梯度必为无旋场，即即 逆定理：无旋场必能够表示为某一标量场梯度。逆定理：无旋场必能够表示为某一标量场梯度。即若即若 ，则，则 ，称为无旋场称为无旋场 标量标量 1.势函数。势函数。2.正定理正定理:矢量场旋度必为无散场，即矢量场旋度必为无散场，即 逆定理逆定理:无源场必可表示为某个矢量场旋度。无源场必可表示为某个矢量场旋度。即若即若 ，则，则 ，称为无源场称为无源场 矢量势函数。矢量势函数。第23页亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 任意矢量场任意矢量场 均可分均可分 解解为无旋无旋场 和无源和无源场 之和。之和。即即 可分解为可分解为 。又称为又称为 横场部分，可引入标势横场部分，可引入标势 ，又称为又称为 纵场部分，可引入矢势纵场部分，可引入矢势 ，第24页唯一性定理定理定理：在空间某一区域内给定场散度和旋度以及在空间某一区域内给定场散度和旋度以及 矢量场在区域边界上法线分量，矢量场在区域边界上法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定。则该矢量场在区域内是唯一确定。V第25页 1795179917951799年年在在哥哥廷廷根根大大学学学学习习，17991799年年获获博博士士学学位位。18701870年年任任哥哥廷廷根根大大学学数数学学教教授授和和哥哥廷廷根根天天文文台台台台长长，一一直直到到逝逝世世。18551855年年2 2月月2323日日在在哥哥廷廷根根逝逝世世。他他一一生生中中共共发发表表323323篇篇（种种）著著作作，提提出出404404项项科科学学创创见见（发发表表178178项项），在在各各领领域域主主要要成成就就有有：（1 1）关关于于静静电电学学温温差差电电和和摩摩擦擦电电研研究究、利利用用绝绝对对单单位位（长长度度质质量量和和时时间间）法法则则量量度度非非力力学学量量以以及及地地磁磁分分布布理理论论研研究究；（2 2）利利用用几几何何学学知知识识研研究究光光学学系系统统近近轴轴光光线线行行为为和和成成像像，建建立立高高斯斯定定理理光光学学；（3 3）天天文文学学和和大大地地测测量量学学中中，如如小小行行星星轨轨道道计计算算，地地球球大大小小和和形形状状理理论论研研究究等等；（4 4）结结合合试试验验数数据据测测算算，发发展展了了概概率率统统计计理理论论和和误误差差理理论论，创创造造了了最最小小二二乘乘法法，引引入入高高斯斯定定理理误误差差曲曲线线。另另外外，在在纯纯数数学学方方面面，对对数数论论、代代数数、几几何何学学若若干干基基本本定定理作出严格证实。理作出严格证实。德德国国数数学学家家和和物物理理学学家家。17771777年年4 4月月3030日日生生于于德德国国布布伦伦瑞瑞克克，幼幼时时家家境境贫贫困困，聪聪敏敏异异常常，受受一一贵贵族族资资助助才才进进学校受教育。学校受教育。高高斯斯 第26页第零章第三节第零章第三节三度在坐标系中表示三度在坐标系中表示及一些主要公式及一些主要公式 第27页3三度在坐标系中表示及一些主要公式三度在坐标系中表示及一些主要公式 一、矢量微分算子（哈密顿算子）一、矢量微分算子（哈密顿算子）二、柱坐标、球坐标与直角坐标关系 柱坐标与直角坐标关系 球坐标与直角坐标关系第28页三、“三度”在坐标系中详细表示形式 四、关于“三度”一些惯用公式复复合函数 三度公式 积分变换公式 高斯公式高斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式 利用混合利用混合积公式积公式第29页格林公式格林公式 第一公式第一公式 第二公式第二公式 积分变换普通规则积分变换普通规则 第30页普通变换规则证实普通变换规则证实证：证：任取常矢量任取常矢量 点乘上式两端点乘上式两端 左左1。=2。证：证：任取常矢量点乘上式两端任取常矢量点乘上式两端左左第31页矢矢矢矢量微分算符惯用公式量微分算符惯用公式 1。3。4。5。6。7。8。9。10。2。第32页4函数与点电荷密度函数与点电荷密度一维三维第33页电动力学中一个主要函数形式电动力学中一个主要函数形式 证：证：=0/点电荷密度分布点电荷密度分布点电荷密度分布点电荷密度分布 第34页