如何建立一个数学模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

一个完整数学建模过程主要由三部分组成：1、用适当数学方法对实际问题进行描述2、采取各种数学和计算机伎俩求解模型3、从实际角度分析模型结果，考查其是否合理、是否含有实际意义？怎样建立一个完整数学模型 数理信息工程学院第1页一、模型准备了解实际背景明确建模目标搜集相关信息掌握对象特征 形成一个比较清楚“问题问题”拿到需要处理问题之后，首先应该做事情是:了解相关背景知识，查阅前人在这方面工作，并在此基础上探讨处理问题方法。第2页例1.1 CMCM-96B题：节水洗衣机 因为淡水资源短缺以及洗衣机广为普因为淡水资源短缺以及洗衣机广为普及，节约洗衣机用水十分主要。假设放及，节约洗衣机用水十分主要。假设放入衣物和洗涤后洗衣机运行程序为：加入衣物和洗涤后洗衣机运行程序为：加水一漂洗一脱水一加水一漂洗一脱水一，水一漂洗一脱水一加水一漂洗一脱水一，(称称“加水一漂水一脱水加水一漂水一脱水”为一为一轮。轮。)现为洗衣机设计一个程序现为洗衣机设计一个程序(包含运包含运行多少轮、每轮加水量等行多少轮、每轮加水量等)，使得在满足，使得在满足一定洗涤效果条件下，总用水量最少，一定洗涤效果条件下，总用水量最少，选取合理数据计算。选取合理数据计算。第3页洗衣基本原理 洗衣基本原理就是将吸附在衣物上污物溶于洗衣基本原理就是将吸附在衣物上污物溶于水中，经过脱去污水而带走污物。不论是怎样水中，经过脱去污水而带走污物。不论是怎样精心设计洗衣方式和程序都是以此为基础。洗精心设计洗衣方式和程序都是以此为基础。洗衣过程就是经过加水来实现上述衣过程就是经过加水来实现上述“溶污物一脱溶污物一脱污水污水”动作重复执行，使得残留在衣物上污物动作重复执行，使得残留在衣物上污物越来越少，直到满意程度越来越少，直到满意程度.通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助衣物上原有通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助衣物上原有污物溶解污物溶解.洗涤剂本身也是不希望留在衣物上洗涤剂本身也是不希望留在衣物上东西东西.所以所以“污物污物”应是衣物上原有污物与洗应是衣物上原有污物与洗涤剂总和涤剂总和.第4页例1.2：CMCM-92B题。组成生命蛋白质若干种氨基酸能够形成不一样组合。经过质谱试验测定分子量来分析蛋白质分子组成时，碰到首要问题是怎样将它分子量X分解为几个氨基酸已知分子量 之和。第5页分析：题目要求依据蛋白质分子量给出全部氨基酸组合方式。令M为蛋白质分子量，表示第i种氨基酸分子量，ai表示第i种氨基酸数目，问题归结为求解以下不定方程 计算结果表明，当蛋白质分子量为1000时，解个数已到达28268个，这么模型对于实际工作而言并无多大意义。第6页 要想建立一个合理有用模型，首先应该了解生物学要想建立一个合理有用模型，首先应该了解生物学中关于蛋白质组成以及化学中关于分子结构测试方面中关于蛋白质组成以及化学中关于分子结构测试方面知识，比如原题中提到了质谱仪使用，质谱仪能够准知识，比如原题中提到了质谱仪使用，质谱仪能够准确测定分子量和分子式，即能够知道蛋白质分子中包确测定分子量和分子式，即能够知道蛋白质分子中包含含C、N、O、H、S每一个原子数目，利用这些信息，每一个原子数目，利用这些信息，不但能够大降低解数目和计算机运行时间，而且便模不但能够大降低解数目和计算机运行时间，而且便模型更含有实用性。型更含有实用性。有些问题可能是某一领域中早已存在问题，教授们已有些问题可能是某一领域中早已存在问题，教授们已经有过许多研究，充分利用他们研究结果，对于建模经有过许多研究，充分利用他们研究结果，对于建模有很大帮助有很大帮助.比如比如:CMCM-91B题（施肥效果分析）第7页 农学家已经总结出肥料对作物生长作用一些规律，如米采利希学说：只增加某种养分x时，引发产量增加与该种养分供给充分时到达最高产量A与现有产量W差成正比：其中C为常数，综合利用这些农学家经验规律，结合所给试验数据，就轻易建立施肥量与产量关系模型。例1.3 CMCM-92A题（施肥效果分析）总之总之，抓住了本质东西，建立模型才是有合理性，一个模型优与劣，最根本是在于是否采取恰当方法，合理地描述了实际问题，而不是取决于是否用到了高深数学知识。第8页二、模型假设1、假设依据:（1）、对问题内在规律认识。（2）、对数据或现象分析。针对问题特点和建模目标，针对问题特点和建模目标，作出合理、简化假设设，作出合理、简化假设设，在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中第9页2、基本标准：（1）多数标准。如曲线拟合时，可依据多数点分布趋势来确定曲线，经验证后，选择误差少曲线。（2）发展标准。观察事物发展方向。（3）主导性标准。分析何种原因起主导作用。如修盘山公路，主导性原因是公路坡度在一个合理范围内。（4）相对性标准。第10页例2.1：AMCM-92B题，在应急系统研制过程中，优异论文作者作了以下假定：（1）、从派遣中心到事故发生地点距离以两地横坐标和纵坐标之差绝对值之和度量（2）、修理队总以30里/小时平均速度行驶（3）、在紧急情况下，修理队随时可供派遣（4）、修理队车辆无损坏情况这些假设给应急系统设计带来了方便3、假设分类：（1）简化问题假设。（2）对所研究对象进行近似，使之满足建模所用数学方法必需前提条件。第11页例2.2：椅子能否在不平地面放稳？第二条假设为我们利用连续函数零点定理奠定了基础。模模型型假假设设四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。三只脚同时着地。第12页 建立数学模型就是采取或建立某种数学方法来处理详细问题，而每种理论应用都必须满足一定理想化条件，所以能否应用某种数学方法关键在于所研究对象是否近似满足理想化条件。必须着重指出是，对于一个假设，最主要是它是否符合实际情况，而不是为了处理问题方便，即假设必须合理。第13页例2.3：双层 玻璃窗功效北方城镇有些建筑物窗户是双层，如图所表示：两层厚度为 玻璃夹着一层厚度为 空气，试建立一个模型描述热量经过窗户传导（即流失）过程。以上假设为我们利用热传导定理奠定了基础。假假设设1、热量传输只有传导，没有对流、热量传输只有传导，没有对流2、T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态3、材料均匀，热传导系数为常数、材料均匀，热传导系数为常数第14页 例2.4：AMCM-89A题要求对蠓虫加以分类。在采取概率判别方法建模之前，作了以下假设：1、两类蠓虫触角与翅膀长度总体均值、标准差和相关系数与学习样本所能反应值是相符，2、触角长度x和y服从二维正态分布这两条假设为从概率论角度对蠓虫进行分类提供了依据这两条假设为从概率论角度对蠓虫进行分类提供了依据，因为统计方法应用必须建立在对大量样本进行分析基础上，而我们面临问题是，题中所给数据（15个学习样本）太少，所以优异论文作者清醒指出，这些假设未必一定可靠，这显示了他们对实际问题及所用方法深刻看法，第15页例2.5：AMCM-86A题水道测量数据。对海底地形图插值拟合，其成立条件是曲面必须光滑，所以有必要假设，海底地形无陡峭形状，可看成光滑曲面处理，在实际中，因为海水不停冲蚀，这个假设是近似成立，这么就为模型合理性提供了依据。第16页三、模型建立1、分析问题，说明建模依据。不一样性质问题需要采取不一样数学方法加以处理，建立什么样模型是由问题本质决定。例3.1、Logistic模型。资源、环境等原因对人口增加阻滞作用随人口数量增加而变大，即增加率是人口数减函数。最简单假设是例3.2 CMCM-04B 电力市场输电阻塞模型 关于有功时尚近似表示确实定，有一篇优异论文是怎样分析：依据功率叠加原理，我们认为各线路上有功时尚应为各发电机组出力线性组合。第17页随机抽取两组数据进行检验。如线路1受机组1影响，线路3受机组4影响，能够发觉，有功时尚受到各机组影响近似成线性关系。所以假设有功时尚关于各个机组出力函数关系为2采取适当数学方法建立模型 主要有以下几个类型 （1）优化模型 依据已知信息，对某一目标进行优化，如费用最小，时间最短等。如AMCM89B设计飞机排队起飞系统，CMCM-96B节水洗衣机，CMCM-010B钢管订购和运输，等等。第18页普通分三种情况。1）给出了明确优化目标 2）有些问题本身性质（如图与网络中NPC问题）决定了无法找到最优解。应从实际出发，设计近似算法，使目标尽可能优化。3）没有提出明确优化目标，应依据实际需要，提出合理优化目标。（2）微分方程模型 所研究对象与已知原因之间关系能够用微分方程形式加以表示。如AMCM-85A动物群体增加。CMCM-96A最优打鱼策略等。这类模型求解主要是利用所给数据确定模型参数。第19页（3）统计分析模型 如AMCM-89A能够用统计学中Fisher判别法对蠓虫加以分类。（4）插值与拟合模型 这是离散数据连续化处理时惯用方法。如 AMCM-86A题海底地形描绘，AMCM-91A水塔水流量预计等。（5）其它。如计算机模拟，神经网络等。大学生数学建模竞赛试题解题方法总结第20页方法总结：用最多方法是：用最多方法是：微分方程、优化方法微分方程、优化方法和概率统计方法和概率统计方法.插值与拟合，随机模拟在数据处理时插值与拟合，随机模拟在数据处理时很有必要。很有必要。灰色系统理论、神经网络、含糊数学灰色系统理论、神经网络、含糊数学经常被乱用。经常被乱用。层次分析只能做半定量分析层次分析只能做半定量分析第21页3创造性地改造已经有模型。数学建模问题普通来自处理实际问题，没有现成模型可直接套，能否提出自己看法是评价一个数学模型优劣主要标准。因为时间和知识水平限制，普通在现有模型上对已经有模型进行必要修正，或者创造条件而使用这些模型。例3.3：AMCM-96A，北卡罗米纳队利用等高线图确定目标方法很有创造性，尽管有其它不足，仍被评为特奖。例3.5：CMCM-00A题DNA序列分类问题，需要做是提DNA序列分类特征。第22页例3.5 减肥问题在以下假设下：在以下假设下：1、体重增加正比于吸收热量；、体重增加正比于吸收热量；2、代谢引发体重降低正比于体重；、代谢引发体重降低正比于体重；3、运动引发体重降低正比于体重，且与运、运动引发体重降低正比于体重，且与运动形式相关。动形式相关。得到下面基本模型：得到下面基本模型：基本基本模型模型第23页 四、模型简化 依据赛题实际情况，对建立模型作出合理简依据赛题实际情况，对建立模型作出合理简化是处理问题关键。化是处理问题关键。例4.1 CMCM-98B第24页 依据题意，得到购置依据题意，得到购置SiSi金额为金额为xixi交易费为交易费为但因M相当大，Si若被选中，其投资额xi普通都超出ui，交易费可简化为第25页数学模型建立是一个从实际数学实际过程，用恰当数学方法对实际问题进行抽象化描述后，可编写计算机程序或利用各种软件包（Matlab,Mathematica，Lingo等是非常有用数学软件包）对模型进行求解，得到数学结果之后，问题并未完全处理，前已述及，我们在建立数学模型过程中，作了各种近似和简化，而且更主要是，我们建立数学模型仅用到了题中给出数据，所以，模型结果是否含有实际意义或满足实际要求，有待于细致分析。五、模型求解及结果分析第26页一个最经典例子是：AMCM-92A题控制空中交通雷达发射功率计算。按照原题中给出关于接收线路灵敏度即对10微瓦信号会作出反应，经过模型计算，对于大飞机（确保雷达反射截面大于75米2）而言，雷达发射功率为7.3106瓦，即使很大，但还是能够到达。要控测到小飞机（雷达反射截面约为2米2），雷达需要发射功率为2.61013瓦！这显然是不合理。第27页 优异论文作者经过查阅资料，由1944年某雷达天线信噪比数据算出，该雷达能够对 瓦信号作出反应，相比之下，本题所给雷达灵敏度就太差了，按照 瓦灵敏度重新计算，得到雷达发射功率只需大于36千瓦即可，这就比较符合实际了第28页六、模型检验完成模型设计及求解之后，我们还需要对模型各种性能作出评价，这就是模型检验，它普通包含以下几个方面：1 1、稳定性和敏感性分析、稳定性和敏感性分析数学模型它价值在于能够从已知信息预测未知东西，所以，一个好数学模型结果对模型所依赖数据有很好稳定性，这是其广泛适用性确保 以足球赛排名为例，用特征向量法求出排名结果后，随意改变一两场比赛结果，观察排名结果变动，发觉变动很小，说明该模型对原如数据有很好稳定性。第29页作为实际问题一个近似描述，数学模型所预测结果与实际数据总存在或多或少偏差，这种偏差是起源于试验观察，还是因为模型不完善造成？为回答这个问题，应该对残差（模型计算结果与试验数据偏差）分布作统计分析。假如残差服从均值为0，且方差很小正态分布，表示模型很好地反应了实际情况；假如残差分布均值不为0，则表明模型可能还需要进一点修正。2、统计检验和误差分析第30页以AMCM-90A题大脑药品分布为例，优异论文作者先假设残差服从正态分布，然后用显著性水平a=0.01进行检验，发觉不能经过原假设，随即，又对对数残差 分别表示多巴胺浓度观察值和计算结果)进行检验，结果表明模型预测结果和试验数据在数量级上是保持一致。另一个主要方面是，数据测量中不可防止地存在误差，因为误差传递，模型结果（依赖于原始数据）必定有一定不准确度，所以，预计结果误差范围是必要，这能够利用普通误差传递公式来计算，s为结果标准差，Si（i=1,2,）是每个观察量标准差，如AMCM-91A题对于水塔水流量预计，用上述方法很轻易计算出用水量总标准偏差为7.3%，大约相当于水塔容量2.1%第31页数学建模即依据对实际问题分析，提出新模型或在原有普通模型基础上加以改进，将新建模型与原来模型进行比较，能够判断新模型是否含有更大合理性和优越性，以CMCM-93B题(足球比赛排名问题)为例，优异论文用计算机模拟方法对积分法和特征向量法排名结果与各队强弱次序（事先设定）进行比较，100次模拟结果表明，特征向量法给出结果偏差显著小于积分法情况，显示了所建模型合理性优越性。3 3、新旧模型对比、新旧模型对比第32页 MCM中优化模型经常是对一个系统进行优化设计，使之尽可能满足实际要求，如AMCM-89B题紧急修复系统研制都属于这种类型，在完成系统设计之后，最主要事情是检验模型在实际中可行性和有效性，只有做到这一点，才是一个运筹学模型真正完成，以飞机排队模型为例，优异论文用线性规划方法设计飞机排队系统之后，为了解模型运行良好性，用计算机模拟方法，产生各种情形，依据优先排队模型确定起飞次序，并观察结果合理性。4 4、实际可行性检验、实际可行性检验第33页七、模型改进、推广及优缺点分析在建立数学模型时，普通先考虑主要原因建立模型，忽略一些次要原因以简化问题。如AMCM-92A题，优异论文在设计雷达发射功率时，深入考虑了出现雷雨天气时，雨滴对雷达所发射电磁波信号消弱，从而得到更适用雷达发射功率，又如对系统进行优化设计时，也应考虑各种偶然事故或极端情况出现对系统影响，这么既使模型更符合实际要求，也增加了模型稳定性。第34页模型推广模型推广是针对模型适用性而言，一个好模型不应该对题中所给数据结构有过多依赖性，正如一个好程序总是将算法独立于数据之外一样，数学模型应是对问题本质描述，另首先，数学模型应用价值取决于它广泛适用性，所以推广所建立模型是扩大模型应用范围，从而提升其使用价值，普通来说，可将模型中一些固定量改为可调性参数以扩大其适用范围，如CMCM-93B题足球赛排名，可将排名算法推广到任意队数、任意比赛数据情形，这么就大大提升了模型应用价值。这么就大大提升了模型应用价值。模型推广第35页模型优缺点分析模型优缺点分析是对所建立模型特征和本质更深刻认识，有人将其误认为是对文章自夸或自贬，这种观点是不正确，普通而言，能够从模型准确性，实用性，对各种实际原因考虑等方面对自己模型进行评价。值得指出是，现有模型仅依赖于题中信息，不合理性不合理性普通是难以防止，说明这些不合理之处，正是表明对问题本质有着清醒认识。模型优缺点分析第36页