三　空间向量的数量积运算.docx

三空间向量的数量积运算1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则两直线的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选B.设向量a,b的夹角为,则cos =a·b|a|b|=-12,所以=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.3.已知e1,e2为单位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B. 由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 为D1C1 的中点,则向量 在向量 上的投影向量是()A.1010B.105C.55D.25【解析】选D.设正方体的棱长为1,=a,=b,=c, 则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.因为=+=a+b,=+=+12=c+12a,所以·=(a+b)·c+12a=a·c+b·c+12a2+12a·b=12a2=12,|=12+(12) 2=52,=12+12=2,所以 向量 在向量 上的投影向量是|cos <,>=25 .5.(多选题)下列各命题中,正确的有()A.a·a=|a|B.m(a)·b=(m)a·b(m,R)C.a·(b+c)=(b+c)·aD.a2b=b2a【解析】选ABC.因为a·a=|a|2,故a·a=|a|,A正确;m(a)·b=(ma)·b=ma·b=(m)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.与B.与C.与D.与【解析】选BCD.因为PA平面ABCD,所以PACD,故·=0;因为ADAB,ADPA,且PAAB=A,所以AD平面PAB,故ADPB,则·=0;同理可得·=0;而PC与AD所成角为PCB,显然不垂直.7.已知a,b是两异面直线,A,Ba,C,Db,若ACb,BDb,且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为_. 【解析】由题意,得,即·=·=0.因为=+,所以·=(+)·=1.因为cos<,>=12,所以<,>=60°,所以直线a,b所成的角为60°.答案: 60°8.已知空间向量a,b,c中每两个向量的夹角都是3,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=_. 【解析】因为|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=3,所以|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a|b|cos<a,b>+2|a|c|cos<a,c>+2|b|c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,所以|a+b+c|=10.答案:109.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:(1)·(2)·(3)·.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=b·12(c-a)+b=|b|2=42=16.(2)·=c-a+12b·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.(3)·=12(c-a)+12b·12b+a=12(-a+b+c)·12b+a=-12|a|2+14|b|2=2.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设=a,=b,=c.(1)试用a,b,c表示向量;(2)求BM的长.【解析】(1)因为M是PC的中点,所以=12(+).因为=,=-,所以=12+(-),结合=a,=b,=c,得=12b+(c-a)=-12a+12b+12c.(2)因为AB=AD=1,PA=2,所以|a|=|b|=1,|c|=2.因为ABAD,PAB=PAD=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos 60°=1.由(1)知=-12a+12b+12c,所以=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=14×(1+1+4-0-2+2)=32,所以|=62,即BM的长等于62.11.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,所以|=|,因此ABC是等腰三角形.12.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出的结论正确的是()A.|+|2=3|2B.·(-)=0C.与的夹角为60°D.此正方体体积为|··|【解析】选AB.A项,由题意知|+|=|=3|,所以|+|2=3|2,正确;B项,由题意知·(-)=(+)·(-)=+·+·-·-·-=0,正确;C项,由题意可求得AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,错误;D项,因为·=0,所以|··|=0,与实际不符,错误.13.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,若M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_. 【解析】设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,则=-,=+12,cos<,>=0-2+2-022×5=0,故异面直线AB1和BM所成的角是90°.答案:90°14.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1,A1AB=A1AD=BAD=60°,则点B与点D1之间的距离为_.  【解析】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=+,所以|2=(+)2=+2·+2·+2·=1+1+1+2×1×1×cos 120°+2×1×1×cos 120°+2×1×1×cos 60°=2,所以|=2.所以点B与点D1两点间的距离为2.答案:215.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,M为VC的中点.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<,>.【解析】(1)设=a,=b,=c,正四面体V-ABC的棱长为1,则=13(a+b+c),可得=16(b+c-5a),=16(a+c-5b),=16(a+b-5c),所以·=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=136(18a·b-9|a|2)=136(18×1×1×cos 60°-9)=0,所以,即AOBO.同理,AOCO,BOCO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)=+=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b+c),所以|=16(-2a-2b+c)2=12.又因为|=16(b+c-5a)2=22,·=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=14,所以cos<,>=1412×22=22.所以<,>=45°. 16.已知MN 是正方体的内切球的一条直径,点P 在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则· 的取值范围为( )A.0,4B.0,2C.1,4D.1,2【解析】选B.设正方体的内切球的球心为O ,则OM=ON=1 ,·=(+)·(+)=+·(+)+·,因为MN 为该正方体的内切球的一条直径,所以+=0,·=-1,所以·=-1 .又P 在正方体的表面上运动,所以当P 为正方体的顶点时, 最大,最大值为3 ;当P 为内切球与正方体的切点时, 最小,最小值为1,所以-10,2,即· 的取值范围为0,2.关闭Word文档返回原板块- 8 -