三十二　双曲线的简单几何性质.docx

三十二双曲线的简单几何性质【基础必会练】1.双曲线x2-4y2=-8的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12xC.y=±2xD.y=±22x【解析】选B.根据题意,双曲线的方程为x2-4y2=-8,变形可得y22-x28=1,则其焦点在y轴上,且a=2,b=22,则其渐近线方程为y=±abx=±12x.2.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.x23-y24=1D.y23-x24=1【解析】选B.椭圆的焦点为(0,1),(0,-1),长轴端点为(0,2),(0,-2),故在双曲线中a=1,c=2,故b2=c2-a2=3,所以双曲线的标准方程为y2-x23=1.3.在平面直角坐标系Oxy中,若点P(43,0)到双曲线C:x2a2-y29=1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为()A.2B.4C.2D.3【解析】选A.双曲线C:x2a2-y29=1的一条渐近线方程为3x±ay=0,则点P到该渐近线方程的距离为d=43·3a2+32=6,解得a2=3,所以椭圆的离心率为e=ca=3+93=2.4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1【解析】选C.根据右焦点为F2(5,0),可得c=5,又离心率为e=ca=54,所以a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线方程为x216-y29=1.5.(多选题)双曲线x22-y24=(0)的离心率可以是()A.62B.3C.32D.2【解析】选AB.当>0时,方程化为x22-y24=1,所以双曲线焦点在x轴上,所以a2=2,b2=4,c2=a2+b2=6,所以离心率为ca=c2a2=62=3.当<0时,方程化为y2-4-x2-2=1,所以双曲线焦点在y轴上,所以a2=-4,b2=-2,c2=a2+b2=-6,所以离心率ca=c2a2=-6-4=62.6.(多选题)以椭圆x216+y29=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线的标准方程可以是()A.x24-y243=1B.y23-x233=1C.x216-y248=1D.y29-x227=1【解析】选CD.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=43,双曲线方程为x216-y248=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=33,双曲线方程为y29-x227=1.7.若双曲线x26-y2m=1的虚轴长为62,则该双曲线的离心率为_. 【解析】双曲线x26-y2m=1的虚轴长为62,可得b=32,a=6,所以c=6+18=26,所以双曲线的离心率为e=2.答案:28.写出一个渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为_. 【解析】渐近线方程为y=±x的双曲线,可知a=b,不妨设a=b=1,所以一个渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为:x2-y2=1.答案:x2-y2=1(答案不唯一)9.求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.【解析】把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0),化为标准方程x2m-y2n=1(m>0,n>0),由此可知,实半轴长a=m,虚半轴长b=n,c=m+n,焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),离心率e=ca=m+nm=1+nm,顶点坐标为(-m,0),(m,0).所以渐近线的方程为y=±nmx=±mnmx.10.在m>0,且C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3+23;C的焦距为43;C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并完成解答.问题:已知双曲线C:x23m-y2m=1,_,求C的方程. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】选:因为m>0,所以a2=3m,b2=m,c2=a2+b2=4m,则a=3m,c=2m,因为C的右支上任意一点到左焦点的距离的最小值为3+23,右顶点到左焦点的距离为最小值,所以3m+2m=(3+2)m=3+23,解得m=3,C的方程为x29-y23=1.选:若m>0,则a2=3m,b2=m,c2=a2+b2=4m,c=2m,因为C的焦距为43,所以2c=4m=43,m=3,C的方程为x29-y23=1;若m<0,则a2=-m,b2=-3m,c2=a2+b2=-4m,c=2-m,因为C的焦距为43,所以2c=4-m=43,m=-3,C的方程为y23-x29=1,综上所述,C的方程为x29-y23=1或y23-x29=1.选:若m>0,则a2=3m,a=3m,因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6,所以2a=23m=6,所以m=3,C的方程为x29-y23=1;若m<0,则a2=-m,a=-m,因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为6,所以2a=2-m=6,所以m=-9,C的方程为y29-x227=1,综上所述,C的方程为x29-y23=1或y29-x227=1.【能力进阶练】11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为43,则双曲线C的离心率是()A.32B.54C.53D.2【解析】选C.因为ba=43,所以C的离心率e=1+(ba) 2=53.12.(多选题)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线上任意一点,若双曲线的渐近线方程为3x±y=0,焦距为42,则下列说法正确的是()A.实轴长为2B.双曲线的离心率为2C.双曲线的焦点到渐近线的距离为6D.存在点P,使得|F2P|=1【解析】选BC.由双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为3x±y=0,可得y=±3x,则ba=3,又焦距为2c=42,且a2+b2=c2,解得a2=2,b2=6,则a=2,b=6,c=22.对于A:实轴长为2a=22,故A错误;对于B:离心率为e=ca=222=2,故B正确;对于C:右焦点F2(22,0)到渐近线3x-y=0的距离d=|3×22-0|3+1=6,故C正确;对于D:当P为右顶点时,|F2P|=2最短,故不存在点P,使得|F2P|=1,故D错误.13.双曲线x2-y2=a2(a>0)的离心率为_. 【解析】由题知:x2-y2=a2(a>0),所以双曲线方程为x2a2-y2a2=1(a>0),所以c2=2a2,所以c=2a,所以e=ca=2.答案:214.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于D.若ADF1B,则双曲线C的离心率为_. 【解析】因为|F1O|=|F2O|,ODF2B,所以|DF1|=|DB|,又因为ADBF1,则|AF1|=|AB|=2|AF2|.因为|AF2|=b2a,所以|AF1|=|AB|=2b2a,所以|AF1|-|AF2|=b2a=2a,即b2=2a2=c2-a2,解得c=3a,即e=3.答案:315.设双曲线x2a2-y2b2=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c,求双曲线的离心率.【解析】直线l的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0.于是有|b·0+a·0-ab|a2+b2=34c,所以ab=34c2,两边平方,得a2b2=316c4.又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4,两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,解得e2=4或e2=43.又b>a,所以e2=a2+b2a2=1+b2a2>2,则e=2.【创新拓展练】16.探究是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程;若不存在,说明理由.(1)渐近线方程为x±2y=0;(2)点A(5,0)到双曲线上的动点P的距离的最小值为6.【解析】假设存在同时满足给定的两个条件的双曲线.设P(x,y).若双曲线的焦点在x轴上,因为渐近线方程为x±2y=0,所以可设双曲线方程为x24b2-y2b2=1(b>0).则|AP|=(x-5)2+y2=54(x-4)2+5-b2(|x|2b).若2b4,即b2,则当x=4时,|AP|取得最小值为5-b2=6,此方程无解;若2b>4,即b>2,则当x=2b时,|AP|取得最小值|2b-5|=6,解得b=5+62(b=5-62<2,舍去),此时存在双曲线,方程为x2(5+6)2-y2(5+62) 2=1.若双曲线的焦点在y轴上,则可设双曲线方程为y2b2-x24b2=1(b>0,xR),于是|AP|=54(x-4)2+b2+5,因为xR,所以当x=4时,|AP|取得最小值,为b2+5=6,所以b2=1,双曲线的标准方程为y2-x24=1.综合知,存在双曲线,其方程为x2(5+6)2-y2(5+62) 2=1或y2-x24=1.关闭Word文档返回原板块- 7 -