考点16 三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、简单的三角恒等变换 (3).docx

考点16 三角函数的诱导公式、同角的基本关系式、简单的三角恒等变换一、选择题1.(2020·全国卷高考理科·T9)已知(0,),且3cos 2-8cos =5,则sin =()A.53 B.23 C.13 D.59【命题意图】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.【解题指南】用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于cos 的一元二次方程,求解得出cos ,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.【解析】选A.3cos 2-8cos =5,得6cos2-8cos -8=0,即3cos2-4cos -4=0,解得cos =-23或cos =2(舍去),又因为(0,),所以sin =1-cos2=53.2.(2020·全国卷理科·T9)已知2tan -tan+4=7,则tan =()A.-2 B.-1 C.1 D.2【命题意图】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题.【解析】选D.由题意可知2tan -1+tan1-tan=7,化解得:2tan -2tan2-1-tan =7-7tan ,解得tan =2.【方法技巧】给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名称及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.3.(2020·全国卷理科·T2)若为第四象限角,则()A.cos 2>0B.cos 2<0C.sin 2>0D.sin 2<0【命题意图】本题考查三角函数的符号、二倍角公式、特殊角的三角函数值等知识,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选D.方法一:因为为第四象限角,所以sin <0,cos >0,所以sin 2=2sin cos <0,而cos 2=cos2- sin2的符号不确定.方法二:因为为第四象限角,所以2k-2<<2k,kZ,所以4k-<2<4k,kZ,所以2为第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上,所以sin 2<0,cos 2的符号不确定.【光速解题】选D.当=-6时,cos 2=cos-3>0,选项B错误;当=-3时,cos 2=cos-23<0,选项A错误;当=-6时,sin 2=sin-3<0,选项C错误.4.(2020·全国卷文科·T5)已知sin +sin+3=1,则sin+6=()A.12B.33C.23D.22【命题意图】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用.【解析】选B.由题意可得:sin +12sin +32cos =1,则32sin +32cos =1,32sin +12cos =33,从而有:sin cos6+cos sin6=33,即sin+6=33.【方法技巧】给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.5.(2020·北京高考·T9) 已知,R,则“存在kZ,使得=k+(-1)k”是“sin =sin ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【命题意图】考查三角函数诱导公式,充分、必要条件.【解析】选C.若存在kZ,使得=k+(-1)k,则有sin =sin 是显然的;反之若sin =sin ,则=2k+或2k+-,即=k+(-1)k(kZ).二、填空题6.(2020·全国卷文科·T13)若sin x=-23,则cos 2x=. 【命题意图】本题考查余弦的二倍角公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】cos 2x=1-2sin2x=1-2×-232=1-89=19.答案:197.(2020·浙江高考·T13)已知tan =2,则cos 2=;tan-4=. 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换,考查基本变形能力,体现数学运算与逻辑推理等核心素养.【解析】cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=-35,tan-4=tan-11+tan=13.答案:-35138.(2020·江苏高考·T8)已知sin24+=23,则sin 2的值是. 【命题意图】本题主要考查三角函数恒等变换,利用整体思想求值.【解析】方法一:因为sin24+=23,由sin24+=121-cos2+2=12(1+sin 2)=23,解得sin 2=13.方法二:sin 2=-cos2+2=2sin24+-1=13.答案:13