第2节 排列与组合.doc

第2节排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 2.能解决简单的实际问题.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn).特别地C1性质(1)0！1；An！(2)CC；CCC常用结论1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)若组合式CC，则xm成立.()(4)(n1)！n！n·n！.()(5)kCnC.()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；(3)若CC，则xm或nm，故错误.2.(选修三P37T1(3)改编)安排6名歌手演出排序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是()A.120 B.240 C.480 D.720答案C解析先考虑某歌手的位置不是第一个出场，也不是最后一个出场，则该歌手有4种位置可以选，共有C4种结果，剩下5人在5个不同位置，共有A120种结果，所以不同安排方法有CA4×120480(种).3.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为_.答案30解析分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法.不同的选法共有CCCC181230(种).4.若CCC(nN*)，则n_.答案5解析由CCC，所以CC，又因为CC，所以n23，即n5.考点突破·题型剖析考点一排列问题例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.解(1)从7人中选5人排列，有A7×6×5×4×32 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A5 040(种).(3)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA3 600(种).(4)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，有A种不同排法，共有AAAA3 720(种).法二(间接法)7名学生全排列，有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A2AA3 720(种).(5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有840(种).感悟提升排列应用问题的分类与解法对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.训练1 (1)现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为()A.A·A B.AA·AC.A·A D.AA答案B解析在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即AA·A.(2)(2023·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次).甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻.”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有_种.答案24解析由题意甲乙两人名次为2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情况有2×AA24(种).考点二组合问题例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561(种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者CCC5 984(种).某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2 100(种).恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CCC2 1004552 555(种).至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C，选取3种假货有C种，因此共有选取方式CC6 5454556 090(种).至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.感悟提升组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.训练2 (1)(2023·安徽五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A.15 B.30 C.35 D.42答案B解析甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC30(种).(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为_种.答案86解析由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CCCCC31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CCCCC34，第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为CCCC21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31342186.考点三排列与组合的综合问题角度1相邻与相间问题例3 (1)(2022·新高考卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B解析先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC24(种).(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_.答案120解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法.角度2分组、分配问题例4 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.解(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC60种.(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA360种.(3)无序均匀分组问题.共有15种.(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A90种.(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有15种.(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A90种.感悟提升(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.(2)对于分堆与分配问题应注意三点处理分配问题要注意先分堆再分配.被分配的元素是不同的.分堆时要注意是否均匀.训练3 (1)某中学高三1班学生排练了6个节目进行演出，为了整体演出效果，甲节目不排在第一个，乙节目和丙节目不能排在一起，则演出顺序的编排方案有()A.360种 B.400种 C.408种 D.480种答案C解析若只考虑乙节目和丙节目不能排在一起，则有A·A480(种)，若甲节目排在第一个，乙节目和丙节目不能排在一起，则有A·A72(种)，所以甲节目不排在第一个，乙节目和丙节目不能排在一起，有48072408(种).(2)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有_种.(用数字作答)答案1 560解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.第一类，采用“3，1，1，1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.不同的分法共有20(种).第二类，采用“2，2，1，1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.不同的分法共有·45(种).所以不同的分组方法共有204565(种).然后把分好的4组书分给4个人，共有A种分法，所以不同的分法共有65×A1 560(种).分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为()A.12 B.24 C.36 D.48答案B解析因为A，B两型号的种子试种方法数为2×24，所以一共有4A24(种).2.(2023·重庆检测)将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有()A.90种 B.120种 C.150种 D.18种答案A解析由题意，先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中，则不同的安排方法有·A90(种).3.(2023·衡水模拟)同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有()A.24种 B.48种 C.72种 D.96种答案C解析根据题意分3步进行分析：第一步，将除A，B，C之外的三人全排列，有A6(种)情况，第二步，由于A，D必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有A6(种)情况，则共有6×2×672(种)不同的安排方法.4.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有()A.72种 B.84种 C.96种 D.124种答案C解析分为两步：第一步，选出的志愿者中无女生有C4(种)，有且仅有1名女生有CC12(种)；第二步：将3名志愿者分配到3项比赛中有A6(种)分配方案，所以不同的选择方案共有(124)×696(种).5.(2023·青岛模拟)为调查新冠疫苗接种情况，需从甲、乙等5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲、乙2人至少有1人入选，则不同的选派方法有()A.12种 B.18种 C.36种 D.54种答案D解析甲、乙2人只有1人入选，不同的选派方法有CCA36(种)；甲、乙2人都入选，不同的选派方法有CCA18(种).所以不同的选派方法共有361854(种).6.(2023·广州测试)把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有()A.18种 B.12种 C.9种 D.6种答案B解析1号球和2号球都不放入1号盒子，则3号球和4号球必有一个放入1号盒子，剩下的三个球全排列，所以不同的方法共有C·A2×612(种).7.(2023·沈阳模拟)现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有()A.150种 B.90种 C.60种 D.80种答案A解析先将五名社区工作人员分成三组有两种情形：“3，1，1”和“2，2，1”，再把三组社区工作人员分配到三个小区，则不同的分配方法有·A·A150(种).8.(2023·南通调研)某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定：每位学生每天最多选择1项；每位学生每项一周最多选择1次.学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有()A.6种 B.7种 C.12种 D.14种答案D解析某学生在一周内选择了阅读、体育、编程3项，选择方案如下：周一阅读、周三体育、周二或周四编程；周一阅读、周四体育、周二编程；周二阅读、周一体育、周四编程；周二阅读、周三体育、周一或周四编程；周二阅读、周四体育、周一编程；周三阅读、周一体育、周二或周四编程；周三阅读、周四体育、周一或周二编程；周四阅读、周一体育、周二编程；周四阅读、周三体育、周一或周二编程，共14种.9.甲、乙、丙3家公司承包了6项工程，每家公司承包2项，则不同的承包方案有_种.答案90解析首先把6项工程平均分成三部分，即有种不同的方法，再分别分给甲、乙、丙三家公司，有A种不同的方法，所以不同的承包方案有×A90(种).10.用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2 134大的四位数的个数为_.答案17解析若四位数的千位数字为1，则均比2 134小，若四位数的千位数字为2，则2 134最小，其他数都比2 134大，故比2 134大的四位数的个数为AA117.11.(2023·福州模拟)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为_.答案24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4×3×224.12.(2023·济南十一校联考)某县为巩固脱贫攻坚的成果，选派4名工作人员到2个村进行调研，每个村至少安排一名工作人员，则不同的选派方式共有_种.答案14解析法一第一步：将4人分成2组，有2类分法，一类是一组3人另一组1人，另一类是每组均为2人，所以共有CC437(种)分组方法.第二步：将分好的2组分配到2个村，共有A2(种)分配方法.所以共有7×214(种)不同的选派方式.法二设2个村分别为A村和B村，则选派方式可分为三类：A村3人，B村1人，有CC4(种)选派方式；A村2人，B村2人，有CC6(种)选派方式；A村1人，B村3人，有CC4(种)选派方式.所以共有46414(种)不同的选派方式.【B级能力提升】13.(2023·石家庄检测)小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字：比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为()A.8 B.12 C.16 D.20答案D解析由题图可知，用火柴棒拼出数字1至9所需要的火柴棒根数如下表：数字123456789火柴棒根数255456376由表可知，由8根火柴棒只能拼出两个无重复的数字，分别为1和6、1和9、2和7、3和7、5和7，所以8根火柴棒全部放入题中表格，可表示无重复数字的三位数的个数为CA×520.14.(2023·烟台测试)“碳中和”是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去1个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为()A.90 B.150 C.180 D.300答案B解析将5名专家分为3组，有3，1，1和1，2，2两种分法，第一类，有1个地方去3个专家，剩下的2个专家各去1个地方，共有·A×3×2×160(种)方法；第二类，有1个地方去1个专家，另2个地方各去2个专家，共有·A×3×2×190(种)方法，所以分派方法的种数为6090150.15.(2023·南京模拟)某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”在柜台上展示，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为_.(用数字作答)答案144解析法一先排“雪容融”，有A种排列方法，在“雪容融”之间以及两端共有4个空位，恰好可以放入4个“冰墩墩”，所以“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列的排法共有AA144(种).法二先排“冰墩墩”，有A种排列方法，在“冰墩墩”之间恰好有3个空位可以放入3个“雪容融”，所以“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列的排法共有AA144(种).16.(2023·武汉联考)中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号等系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力.其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”.12年间，长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现，将53颗北斗导航卫星送入预定轨道.现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送1颗或2颗卫星，则这11颗卫星的不同运送方式共有_种.答案56解析依题意，8次成功发射共运送11颗相同的北斗卫星进入预定轨道，因为每次只能运送1颗或2颗，则一定是有3次每次运送2颗，其余5次每次运送1颗，因此只要确定8次中哪3次每次运送2颗即可，所以共有C56(种)不同的运送方式.