第三章3.2.1第2课时 双曲线及其标准方程的应用.docx
第2课时双曲线及其标准方程的应用学习任务一实际问题中双曲线标准方程(数学建模)【典例1】某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),|AP|=100 m,|BP|=150 m,APB=60°,在运土时,需要画一条分界线,将此分界线左侧的土装车后经过A,沿道路AP运到P处,右侧的土装车后经过B,沿道路BP运到P处以达到省工(运输路程最短)的目的.试求出这条分界线的轨迹方程.【解析】如图,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设M是分界线上的点,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=150-100=50(m),在APB中,|AB|2=|AP|2+|BP|2-2|AP|·|BP|·cos 60°=17 500,故|MA|-|MB|<|AB|.这说明分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支,且a=25.所以c2=(|AB|2)2=4 375,b2=3 750,故所求分界线的方程为x2625-y23 750=1(x25).关于实际问题中的双曲线方程双曲线在实际生活中有着广泛的应用,解答该类问题时,要从实际问题中挖掘出要求的曲线上的点或者动点满足的条件,考查与两定点距离的差或者差的绝对值是否为定值,即是否满足双曲线的定义.将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.提醒:实际问题中动点的轨迹可能是双曲线的一支或一部分,要根据实际条件确定并在轨迹方程中标注.由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东方向6 km处,丙舰在乙舰北偏西30°方向,相距4 km处,某时刻甲舰发现商船的求救信号,由于乙舰比甲舰距商船远,因此4 s后乙舰才发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,(1)试确定商船所在曲线的轨迹方程;(2)若丙舰和乙舰发现这一信号的时间是相同的,甲舰赶赴救援时,行进的方向角应是多少?【解析】(1)设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).由题意|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=2,c=3,所以双曲线方程为x24-y25=1(x2);(2)由题意C(-5,23),因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上,又易知kBC=-3,线段BC的中点D(-4,3),所以直线PD的方程为y-3=13(x+4),由x24-y25=1,y=33(x+7),得11x2-56x-256=0,解得x=8,y=53,得P点坐标为(8,53),所以kPA=538-3=3,因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.学习任务二与双曲线有关的轨迹问题(数学运算)【典例2】如图,点A,B的坐标分别是(-4,0),(4,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是916,试求点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y),由题意,yx+4·yx-4=916(x±4),化为16y2=9x2-144,即x216-y29=1,所以点M的轨迹方程为x216-y29=1(x±4).与双曲线相关的轨迹问题已知点A(a,0),B(-a,0),过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M,设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2.(1)当k1·k2=b2a2时,点M的轨迹方程为双曲线x2a2-y2b2=1(x±a,a>0,b>0).(2)反之,点M在双曲线x2a2-y2b2=1(x±a)上,则k1·k2为定值b2a2.ABC的顶点为A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是()A.x29-y216=1B.x216-y29=1C.x29-y216=1(x>3)D.x216-y29=1(x>4)【解析】选C.由条件可得,圆与x轴的切点为T(3,0),由相切的性质得|CA|-|CB|=|TA|-|TB|=8-2=6<10=|AB|,因此点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.由2a=6,2c=10,得a=3,b=4,所求的双曲线方程为x29-y216=1.考虑到点C不在直线AB上,即x>3.学习任务三双曲线的焦点三角形问题(数学运算、逻辑推理)【典例3】已知F1,F2是双曲线x29-y216=1的两个焦点.若双曲线上存在一点P使得F1PF2=60°,求F1PF2的面积.【解析】由x29-y216=1,得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,则SF1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin F1PF2=12×64×32=163.本例的条件“F1PF2=60°”变为“|PF1|·|PF2|=32”,试求F1PF2的面积.【解析】将|PF2|-|PF1|=2a=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在F1PF2中,由余弦定理得cos F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=100-1002|PF1|·|PF2|=0,所以F1PF2=90°,所以SF1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.关于双曲线的焦点三角形由双曲线上一点与两焦点连线构成的三角形通常叫做焦点三角形,解与焦点三角形有关的题目时注意:(1)依据:解题时往往会用到余弦定理、正弦定理、勾股定理等三角形的知识;(2)技巧:结合双曲线的定义,常用变形|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|;(3)结论:设F1PF2=,则焦点三角形的面积SPF1F2=b2tan 2.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P是双曲线上的一点且PF1PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为_. 【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),在RtPF1F2中,m2+n2=(2c)2=20,m·n=2,由双曲线的定义知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=1,所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=1 - 6 -
