第2节 常用逻辑用语.doc

第2节常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且q / pp是q的必要不充分条件p / q且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件p / q且q / p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记xM，p(x)xM，p(x)否定xM，綈p(x)xM，綈p(x)常用结论1.区别A是B的充分不必要条件(AB且B / A)，与A的充分不必要条件是B(BA且A / B)两者的不同.2.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.4.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为是全称量词命题.()(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.()(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.()(4)若已知p：x1和q：x1，则p是q的充分不必要条件.()答案(1)×(2)(3)(4)解析(1)错误，至少有一个三角形的内角和为是存在量词命题.2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是_.答案任意一个偶数都不是素数4.使2x2成立的一个充分条件是_.(答案不唯一，写出一个即可)答案0x2(答案不唯一)解析只要是x|2x2的一个子集都是使2x2成立的充分条件，如2x2，或0x2等.考点突破·题型剖析考点一充分、必要条件的判断例1 (1)(2022·浙江卷)设xR，则“sin x1”是“cos x0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由sin x1，得x2k(kZ)，则coscos 0，故充分性成立；又由cos x0，得xk(kZ)，此时sin±1，故必要性不成立.(2)(2023·泰安模拟)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A.p：a1，q：f(x)logax(a0，且a1)在(0，)上为增函数B.p：a1，b1，q：f(x)axb(a0，且a1)的图象不过第二象限C.p：x2且y2，q：x2y24D.p：acbd，q：ab且cd答案D解析对于A，p是q的充要条件；对于B，函数f(x)axb的图象不过第二象限，则a1，1b0，即a1，b1，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p是q的充分不必要条件；对于D，结合不等式的性质知p是q的必要不充分条件，D符合题意.感悟提升充分、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.训练1 (1)(2022·石家庄一模)已知xR，则“x1”是“x21”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由x1可得x21；由x21可得x1或x1，所以“x1”是“x21”的充分不必要条件.(2)(2023·福州调研)已知aR，若集合M1，a，N1，0，1，则“MN”是“a0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析若MN，则a0或a1，故由MN推不出a0，反之，若a0，则MN，故“MN”是“a0”的必要不充分条件.(3)(多选)(2023·怀化一诊)下列命题为真命题的是()A.“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件B.“ab”是“”的充要条件C.“aPQ”是“aP”的充分不必要条件D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件答案ACD解析对于A，由ab/ ac2bc2，由ac2bc2ab，则“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，A是真命题；对于B，若a0，b0，则由ab得不到，B是假命题；易知C，D是真命题.考点二充分必要条件的应用例2 已知集合Ax|x28x200，非空集合Bx|1mx1m.若xA是xB的必要条件，求m的取值范围.解由x28x200，得2x10，Ax|2x10.由xA是xB的必要条件，知BA.则0m3.即所求m的取值范围是0，3.迁移 本例中，若把“xA是xB的必要条件”改为“xA是xB的充分不必要条件”，求m的取值范围.解xA是xB的充分不必要条件，AB，则或解得m9，故m的取值范围是9，).感悟提升充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.训练2 (2023·衡水调研)若集合Ax|x2，Bx|bx1，其中b为实数.(1)若A是B的充要条件，则b_；(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_.答案(1)(2)(答案不唯一)解析(1)由已知可得AB，则x2是方程bx1的解，解得b.(2)若A是B的充分不必要条件，则AB，所以b0，且2，所以b，则b的取值范围是.考点三全称量词与存在量词角度1含量词命题的否定例3 (1)(2023·天津模拟)已知命题p：xR，sin x1，则()A.綈p：xR，sin x1B.綈p：xR，sin x1C.綈p：xR，sin x1D.綈p：xR，sin x1答案C解析命题p为全称量词命题，则綈p：xR，sin x1.(2)已知命题p：nN，n22n5，则綈p为()A.nN，n22n5B.nN，n22n5C.nN，n22n5D.nN，n22n5答案C解析綈p为nN，n22n5，所以C正确.角度2含量词命题的真假判断例4 (多选)下列命题是真命题的是()A.aR，使函数y2xa·2x在R上为偶函数B.xR，函数ysin xcos x的值恒为正数C.xR，2xx2D.x(0，)，logx答案AC解析当a1时，y2x2x为偶函数，故A为真命题；ysin xcos xsin，当sin1时，y0，故B为假命题；当x(2，4)时，2xx2，故C为真命题；当x时，(0，1)，log1，所以log，故D为假命题.角度3含量词命题的应用例5 (2023·长春调研)已知命题“xR，mx2mx10”是假命题，则实数m的取值范围是_.答案0，4)解析由题意得“xR，mx2mx10”为真命题.当m0时，10，符合题意；当m0时，有解得0m4.综上，0m4.感悟提升1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.2.判定全称量词命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“xM，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围.训练3 (1)命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A.有些三角形不是等腰三角形B.有些三角形可能是等腰三角形C.所有三角形都不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形答案C解析命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是“所有三角形都不是等腰三角形”.(2)(多选)下列命题为真命题的是()A.xR，2x10 B.xN*，(x1)20C.xR，lg x1 D.xR，tan x2答案ACD解析当xN*时，x1N，可得(x1)20，当x1时取等号，故B错误；易知A，C，D正确.(3)(2023·临沂联考)若命题“x0R，x2ax02a0”是真命题，则实数a的取值范围是_.答案(，21，)解析命题“x0R，x2ax02a0”是真命题，则4a24(2a)0，解得a2或a1，所以实数a的取值范围是(，21，).分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.(2022·辽宁名校联考)命题“x0，x22|x|0”的否定是()A.x0，x22|x|0B.x0，x22|x|0C.x0，x22|x|0D.x0，x22|x|0答案C解析由存在量词命题的否定为全称量词命题知“x0，x22|x|0”的否定为“x0，x22|x|0”.2.(2023·烟台、德州一模)设x，yR，则“x1且y1”是“xy2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由x1且y1可得xy2.反之，则不能.故x1且y1是xy2的充分不必要条件.3.(2023·汉中质检)下列命题中的真命题是()A.“a1，b1”是“ab1”的必要条件B.xR，ex0C.xR，2xx2D.“ab0”的充要条件是“1”答案B解析对于A，a1，b1可证ab1，反推则不能，故“a1，b1”是“ab1”的充分不必要条件，故A为假命题；对于B，xR，ex0恒成立，故B为真命题；对于C，当x2时，22(2)24，故C为假命题；对于D，1可知ab0且b0，故D为假命题.4.(2023·江西九校联考)已知p：x3，4)，x2a0，则p成立的一个充分不必要条件可以是()A.a9 B.a9 C.a16 D.a16答案A解析ax2在区间3，4)上恒成立，所以a9，所以结合选项可知p成立的一个充分不必要条件可以是a9.5.(2023·深圳模拟)设实数a0，则“2a2”是“loga0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由2a2，得a1；由loga0，可得logaloga1，所以或解得a1或0a.因此“2a2”是“loga0”的充分不必要条件.6.(2023·连云港模拟)已知xR，则“3x4”是“lg(x2x2)1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由题意得0x2x210，解得3x1或2x4.7.(2022·山东省实验中学质检)设R，则“sin cos ”是“sin 21”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析若sin cos ，则tan 1，k(kZ)，得sin 2sinsin 1成立；反之，若sin 21，则22k(kZ)，所以k(kZ)，得sin cos ，则“sin cos ”是“sin 21”的充要条件.8.已知命题“存在x0x|1x3，使等式xmx010成立”是假命题，则实数m的取值范围为()A. B.(，0)C.(，0 D.(，0答案D解析“存在x0x|1x3，使等式xmx010成立”是假命题，则对任意xx|1x3，x2mx10恒成立，即mx在x(1，3)上恒成立.因为yx在(1，3)上单调递增，所以x，则m0或m，即实数m的取值范围为(，0.9.命题“x(1，)，x2x2”的否定是_.答案x(1，)，x2x210.设命题p：x>4；命题q：x25x40，那么p是q的_条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x25x40得x1或x4，可知x|x>4是x|x1或x4的真子集，所以p是q的充分不必要条件.11.(2023·日照检测)直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.答案1k3解析直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点等价于，解得1k3.12.已知命题p：xR，x2a0；命题q：xR，x22ax2a0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为_.答案(，2解析由命题p为真，得a0；由命题q为真，得4a24(2a)0，即a2或a1，所以a2.【B级能力提升】13.(2023·湖南名校联考)已知“axa21”是“2x5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.2，) B.2，2C.(2，2 D.(2，2)答案C解析设Ax|axa21，Bx|2x5.若“axa21”是“2x5”的充分不必要条件，则AB，则等号不同时成立，解得2a2，故选C.14.(多选)(2023·临沂模拟)下列四个条件中，能成为xy的充分不必要条件的是()A.xc2yc2 B.0C.|x|y| D.ln xln y答案ABD解析对于A，若xc2yc2，则c20，则xy，反之，xy，当c0时得不出xc2yc2，所以“xc2yc2”是“xy”的充分不必要条件，故A正确；对于B，由0可得yx0，即能推出xy；但xy不能推出0(因为x，y的正负不确定)，所以“0”是“xy”的充分不必要条件，故B正确；对于C，由|x|y|可得x2y2，则(xy)(xy)0，不能推出xy；由xy也不能推出|x|y|(如x1，y2)，所以“|x|y|”是“xy”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D，若ln xln y，则xy，反之，xy得不出ln xln y，所以“ln xln y”是“xy”的充分不必要条件，故D正确.15.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“x(a，b)，f(x)f(x)0”是假命题，则f(ab)_.答案0解析“x(a，b)，f(x)f(x)0”的否定是x(a，b)，f(x)f(x)0，依题意得，命题x(a，b)，f(x)f(x)0为真命题，故函数yf(x)，x(a，b)为奇函数，所以ab0，所以f(ab)f(0)0.16.(2023·苏州模拟)已知p：|x1|2，q：x22x1a20(a0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_.答案(0，2解析|x1|2，1x3，即p：1x3.x22x1a20(a0)，x1a或x1a，綈q：1ax1a，p是綈q的必要不充分条件，解得0a2，实数a的取值范围是(0，2.