第三章3.1.2第1课时　椭圆的简单几何性质.docx

第三章3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质【素养导引】1.掌握椭圆的简单几何性质.(数学抽象)2.通过椭圆与方程体会数形结合的思想.(数学抽象、数学运算)椭圆的简单几何性质焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)范围-axa且-byb-bxb且-aya对称性对称轴为坐标轴,椭圆的中心为原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|=2b,长轴长|A1A2|=2a离心率e=ca(0,1)诊断1.辨析记忆(对的打“”,错的打“×”).(1)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(×)提示:椭圆的离心率e越大,椭圆越扁平.(2)椭圆上的点到左焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c.()提示:椭圆的右顶点到左焦点的距离最大,即a+c;左顶点到左焦点的距离最小,即a-c. (3)椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的长轴为2m.(×)提示:只有当m>n时,长轴为2m.2.(教材改编题)经过点P(3,0),Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A.x23+y22=1B.y23+x22=1C.y29+x24=1D.x29+y24=1【解析】选D.由题意,椭圆的焦点在x轴,其中a=3,b=2,所以椭圆的方程为x29+y24=1.3.(教材改编题)椭圆x24+y216=1的离心率为_. 【解析】a2=16,b2=4,所以c2=12,所以e=ca=234=32.答案:32学习任务一椭圆的简单几何性质(数学运算)【典例1】求椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率.【解析】由题意,椭圆4x2+49y2=196可化为x249+y24=1,可得a=7,b=2,又由c=a2-b2=35,所以椭圆长轴长2a=14、短轴长2b=4、离心率e=ca=357.【思维提升】关于椭圆的几何性质(1)观察椭圆方程是否为标准形式,如果不是需要化成标准形式;(2)确定椭圆的焦点位置,不确定的需要分类讨论,求出a,b,c后依次写出椭圆的几何性质.【即学即练】椭圆x2+2y2=1的焦点坐标是()A.(±1,0)B.(0,±1)C.(±22,0)D.(0,±22)【解析】选C.因为椭圆x2+2y2=1的标准方程为x2+y212=1,所以a2=1,b2=12,所以c2=a2-b2=12,所以c=22.又椭圆x2+2y2=1的焦点在x轴,所以椭圆x2+2y2=1的焦点坐标是(±22,0).学习任务二由几何性质求椭圆方程(数学运算)【典例2】已知椭圆C的中心在原点,焦点在y轴上,且短轴的长为2,离心率等于255,求椭圆的标准方程.【解析】设椭圆C的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).因为短轴长为2,所以2b=2,解得b=1.因为离心率e=ca=255,又a2=b2+c2=1+c2,所以a2=5,所以椭圆C的标准方程为y25+x2=1.【一题多变】(1)本例的条件中,如果去掉“焦点在y轴上”,试求椭圆的方程.【解析】当焦点在y轴上时,椭圆的方程为y25+x2=1;当焦点在x轴上时,椭圆的方程为x25+y2=1.(2)本例的条件“短轴的长为2”变为“长轴的长为2”,其他条件不变,试求椭圆的方程.【解析】由题意,2a=2,a=1.所以c=255,所以b2=1-45=15.所以椭圆的方程为y2+x215=1.【思维提升】利用椭圆的性质求椭圆方程由椭圆的性质求出a,b,c,对于较为复杂的情况,可以列出方程组,通过解方程组求解,最后根据椭圆焦点的位置写出椭圆的标准方程.【即学即练】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为35,直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点,求椭圆的标准方程.【解析】直线2x+y+10=0与x轴的交点为(-5,0),直线2x+y+10=0过椭圆的左顶点,即椭圆的左顶点为(-5,0).所以椭圆中a=5,由椭圆的离心率为35,则c=3,所以b=4,所以椭圆的方程为x225+y216=1.学习任务三椭圆几何性质的简单应用(数学运算、逻辑推理)【典例3】(1)已知椭圆C:x2b2+3+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C的上顶点,O为坐标原点,若F1PF2=3,则b=()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由椭圆的方程可得c=b2+3-b2=3.由F1PF2=3,则F2PO=6,所以tanF2PO=33=cb,所以可得b=3.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8,求椭圆的离心率.【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).如图所示,A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,所以c=b=4,所以a2=b2+c2=32,所以a=42,所以离心率e=442=22.【思维提升】关于椭圆性质的应用将椭圆的几何性质转化为a,b,c的关系,结合a2=b2+c2解题.提醒:椭圆中a,b,c满足的a2=b2+c2是解题的隐含条件,不能忽视.【即学即练】(多选题)若椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值可以为()A.5B.3C.6D.8【解析】选AB.由题意得c=1,a2=b2+c2.当m>4时,m=4+1=5;当m<4时,4=m+1,m=3.【教材拓展】椭圆的“通径”过椭圆的焦点,和长轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,则线段AB叫作椭圆的通径.性质:(1)通径长:2b2a;(2)通径是过椭圆的焦点的弦中最短的;(3)A(-c,b2a),B(-c,-b2a).【典例】已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.【解析】不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图所示,则|AF1|=b2a,由题意,2cb2a=3,所以2ac=3b2,所以2ac=3(a2-c2),化为3c2+2ac-3a2=0,即3e2+2e-3=0,解得e=33或-3(舍去). - 7 -