考点40 直线与圆锥曲线的位置关系.doc

考点40直线与圆锥曲线的位置关系一、 解答题1.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.【解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.代入+y2=1可得,点A的坐标为或.所以直线AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,OMA=OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=+.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0.从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.2.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T20)设抛物线C:y2=2x,点A,B,过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程.(2)证明:ABM=ABN.【解析】(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.3.(2018·全国卷II高考理科·T19)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.4.(2018·全国卷II高考文科·T20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.5.(2018·全国高考理科·T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:,成等差数列,并求该数列的公差.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,|=.于是|=2-.同理|=2-.所以|+|=4-(x1+x2)=3.故2|=|+|,即|,|,|成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|-|=|x1-x2|=.将m=代入得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入解得|d|=.所以该数列的公差为或-.6.(本小题14分)(2018·北京高考理科·T19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,=,=,求证:+为定值.【命题意图】考查圆锥曲线中的取值范围与定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】将点P代入C的方程得4=2p,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,(1)方法一(代数法):显然l斜率存在,设为k,则l:y=kx+1,由消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以=-16k+16>0且k2+(2k-4)+10,即k<1,且k-3,且k1,所以k<1,且k-3,即直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2=(x-1),令x=0得y=-+2,即点M为(0,-+2),所以=(0,-+1),又=(0,-1),=,所以(0,-+1)=(0,-1),所以=-1=,=,又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,所以=-,同理=-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=,所以+=-+-=-=-·=-·=2,即+为定值2.7.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.()求椭圆的方程.()设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sinAOQ(O为原点),求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.【解析】()设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.()设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而OAB=,故|AQ|=y2.由=sinAOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以,k的值为或.8.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.()求椭圆的方程;()设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.【解题指南】()结合离心率,线段AB的长,利用方程思想,即可求出椭圆的方程;()注意BPM与BPQ同底,且BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,再利用解析法即可求解.【解析】(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又|AB|=,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(II)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由BPM的面积是BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.由x2=5x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.9.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程.(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为,求直线l的方程.【解析】(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3,所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·.因为+=3,所以AB2=,即2-45+100=0,解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y=-x+3.10.(2018·浙江高考T21)(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.()设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴.()若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求PAB面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】()设P(x0,y0),A,B.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4·即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.因此,PM垂直于y轴.()由()可知所以|PM|=(+)-x0=-3x0,|y1-y2|=2.因此,PAB的面积SPAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因为+=1(x0<0),所以-4x0=-4-4x0+44,5.因此,PAB面积的取值范围是.