考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 (3).docx
考点10 利用导数研究函数的单调性、极值、最值一、 选择题 无二、 填空题 无三、 解答题1.(2020·全国卷文科·T21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0时,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.【命题意图】本题考查用导数研究函数的单调性、求函数极值(最值),意在考查学生的转化能力、逻辑推理能力和运算求解能力.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)2x+cf(x)-2x-c02ln x+1-2x-c0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x>0),则有h'(x)=2x-2=2(1-x)x,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-2×1-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+)上恒成立,只需h(x)max0-1-c0c-1.(2)g(x)=2lnx+1-(2lna+1)x-a=2(lnx-lna)x-a(x>0且xa),因此g'(x)=2(x-a-xlnx+xlna)x(x-a)2,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m'(x)=2(ln a-ln x),当x>a时,ln x>ln a,所以m'(x)<0,m(x)单调递减,因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x)单调递减;当0<x<a时,ln x<ln a,所以m'(x)>0,m(x)单调递增,因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x)单调递减,所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+)上单调递减,没有递增区间.2.(2020·全国卷理科·T21)函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点12,f12处的切线与y轴垂直(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明f(x)所有零点的绝对值都不大于1.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的零点,涉及导数的几何意义,反证法,考查学生逻辑推理能力.【解析】(1)因为f'(x)=3x2+b,由题意,f'12=0,即3×122+b=0,则b=-34.(2)由(1)可得f(x)=x3-34x+c,f'(x)=3x2-34=3x+12x-12,令f'(x)>0,得x>12或x<-12;令f'(x)<0,得-12<x<12,所以f(x)在-12,12上单调递减,在-,-12,12,+上单调递增,且f(-1)=c-14,f-12=c+14,f12=c-14,f(1)=c+14,若f(x)所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x0,则f(-1)>0或f(1)<0,即c>14或c<-14.当c>14时,f(-1)=c-14>0,f-12=c+14>0,f12=c-14>0,f(1)=c+14>0,又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)<0,由零点存在性定理知f(x)在(-4c,-1)上存在唯一一个零点x0,即f(x)在(-,-1)上存在唯一一个零点,在(-1,+)上不存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;当c<-14时,f(-1)=c-14<0,f-12=c+14<0,f12=c-14<0,f(1)=c+14<0,又f(-4c)=-64c3+3c+c=4c(1-16c2)>0,由零点存在性定理知f(x)在(1,-4c)上存在唯一一个零点x0',即f(x)在(1,+)上存在唯一一个零点,在(-,1)上不存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于1的零点,与题设矛盾;综上,f(x)所有零点的绝对值都不大于1.3.(2020·全国卷文科·T20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题,考查学生逻辑推理能力、数学运算能力,是一道中档题.【解析】(1)由题意得,f'(x)=3x2-k,当k0时,f'(x)0恒成立,所以f(x)在(-,+)上单调递增;当k>0时,令f'(x)=0,得x=±k3,令f'(x)<0,得-k3<x<k3,令f'(x)>0,得x<-k3或x>k3,所以f(x)在(-k3,k3)上单调递减,在-,-k3,k3,+上单调递增.(2)由(1)知,f(x)有三个零点,则k>0,且f-k3>0fk3<0,即k2+23kk3>0k2-23kk3<0,解得0<k<427,当0<k<427时,k>k3,且f(k)=k2>0,所以f(x)在k3,k上有唯一一个零点,同理-k-1<-k3,f(-k-1)=-k3-(k+1)2<0,所以f(x)在-k-1,-k3上有唯一一个零点,又f(x)在-k3,k3上有唯一一个零点,所以f(x)有三个零点,综上可知,k的取值范围为0,427.4.(2020·新高考全国卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.【命题意图】本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性及最值,考查考生计算求解能力.体现了数学运算及逻辑推理的核心素养.【解析】f(x)的定义域为(0,+),f'(x)=aex-1-1x.(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为-2e-1,2,因此所求三角形的面积为2e-1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1不满足条件;当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f'(x)=ex-1-1x.当x(0,1)时,f'(x)<0;当x(1,+)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1.所以a=1满足条件;当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln aex-1-ln x1.综上,a的取值范围是1,+).【方法技巧】求函数f(x)在区间a,b上的最值的方法(1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值;(2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.5.(2020·北京高考·T19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.【命题意图】考查导数几何意义,求切线方程,最值等.【解析】(1)f(x)定义域为R,f'(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f'(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=6t+t2,所以S(t)=12(t2+12)|6t+t2|,t0,易知S(t)为偶函数,当t>0时,S(t)=14t3+6t+36t,S'(t)=34×(t2+4)2-64t2,令S'(t)=0得t=2,-2(舍),t(0,2)2(2,+)S'(t)-0+S(t)极小值所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,所以当t=±2时,S(t)有最小值32.
