考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积 (4).docx
考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2019·全国卷理科·T12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90°,则球O的体积为()A.86B.46C.26D.6【解析】方法一:选D.设PA=PB=PC=2x,E,F分别为PA,AB的中点,所以EFPB,且EF=12PB=x,因为ABC是边长为2的等边三角形,所以CF=3,又CEF=90°,所以CE=3-x2,AE=12PA=x,在AEC中,利用余弦定理得cosEAC=x2+4-(3-x2)2×2×x,作PDAC于D,因为PA=PC,所以D为AC中点,cosEAC=ADPA=12x,所以x2+4-3+x24x=12x,所以2x2+1=2,所以x2=12,x=22,所以PA=PB=PC=2,又AB=BC=AC=2,所以PA,PB,PC两两垂直,所以2R=2+2+2=6,所以R=62,所以V=43R3=43×668=6,故选D.方法二:选D.因为PA=PB=PC,ABC是边长为2的等边三角形,所以P-ABC为正三棱锥,易得PBAC,又E,F分别为PA,AB的中点,所以EFPB,所以EFAC,又EFCE,CEAC=C,所以EF平面PAC,PB平面PAC,所以BPA=90°,所以PA=PB=PC=2,所以P-ABC为正方体一部分,2R=2+2+2=6,即R=62,所以V=43R3=43×668=6,故选D.【题后反思】本题考查学生空间想象能力,补形法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补形成正方体解决.2.(2019·浙江高考·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是()A.158B.162C.182D.32【命题意图】本题主要考查由几何体的三视图求原几何体的体积.【解析】选B.由三视图可知,俯视图可以补充为完整的正方形,边长为6,所以底面五边形的面积为S=62-12×2×3-12×4×3=27,所以V=Sh=27×6=162.二、填空题3.(2019·全国卷理科·T16同2019·全国卷文科·T16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为. 【命题意图】考查空间几何体的结构特征、空间想象以及数学运算能力.【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:,则有8=360°,解得=45°,即设棱长为x,可得22x2+x=1,解得x=2-1.答案:262-14.(2019·全国卷理科·T16同2019·全国卷文科·T16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g. 【解析】S四边形EFGH=4×6-4×12×2×3=12(cm2),V=6×6×4-13×12×3=132(cm3).m=V=0.9×132=118.8(g).答案:118.85.(2019·北京高考理科·T11同2019·北京高考文科·T12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为. 【命题意图】本题考查几何体的三视图,以及求体积,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】由三视图可知,正方体体积V1=43=64,四棱柱体积V2=(2+4)×22×4=24,所以该几何体体积V=V1-V2=40.答案:40【方法总结】三视图还原几何体柱(两个以上平行四边形)锥(两个以上三角形)台(有梯形)多面体(无圆弧)棱柱棱锥棱台旋转体(有圆弧)圆柱圆锥圆台球组合体(一般分为上下或左右两部分)6.(2019·天津高考理科·T11同2019·天津高考文科·T12)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为. 【解题指南】根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径.【解析】四棱锥的高为5-1=2,故圆柱的高为1,圆柱的底面半径为12,故其体积为×122×1=4.答案:4【方法技巧】求几何体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法.割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.7.(2019·江苏高考·T9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是. 【命题意图】主要考查空间几何体的体积,可通过棱锥和棱柱的体积转化求得.【解析】设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的体积为abc=120,三棱锥E-BCD的体积为13SBDC×12c=13×12ab×12c=112abc=10.答案:10【题后反思】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.
