第5节 基本不等式.doc

第5节基本不等式考试要求1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.常用结论1.ab.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数ysin x，x的最小值是4.()(4)“x0且y0”是“2”的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR，成立的条件是a0，b0.(2)由于x(，0)(0，)，故函数yx无最小值.(3)由于sin x时sin x2无解，故sin x的最小值不为4.(4)“2”的充要条件是“xy0”.2.(必修一P48T5改编)已知x0，则23x的最大值是_.答案24解析23x22224，当且仅当3x，即x时等号成立.3.(必修一P58T5改编)若a0，b0，且abab3，则ab的最小值为_.答案9解析由abab323，得ab230，解得3(1舍去)，即ab9.当且仅当ab3时取等号.4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.答案25解析设矩形的一边为x m，面积为y m2，则另一边为×(202x)(10x)(m)，其中0x10，所以yx(10x)25，当且仅当x10x，即x5时，等号成立，所以ymax25，即矩形场地的最大面积是25 m2.考点突破·题型剖析考点一利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 (1)若x，则f(x)3x1有()A.最大值0 B.最小值9C.最大值3 D.最小值3答案C解析x，3x20，f(x)3x233233.当且仅当23x，即x时取“”.(2)已知0x，则x的最大值为_.答案解析0x，12x20，x··.当且仅当2x212x2，即x时等号成立.(3)(2023·天津模拟)函数y(x1)的最小值为_.答案9解析因为x1，则x10，所以y(x1)5259，当且仅当x1，即x1时等号成立，所以函数的最小值为9.角度2常数代换法例2 (1)(2023·石家庄模拟)已知x0，y0，且x2y2，则2x4y的最小值为_，的最小值为_.答案4解析2x4y24，当且仅当x2y1时取等号，所以2x4y的最小值是4；因为x0，y0，所以(x2y)，当且仅当xy时取等号，所以的最小值是.(2)(2022·深圳二模)已知0x1，则的最小值是_.答案9解析由0x1，得1x0.x(1x)5529，当且仅当时取等号，所以的最小值是9.角度3消元法例3 (2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_.答案1解析由x23xy4y2z0得zx23xy4y2，故1，当且仅当，即x2y时，取得最大值，此时z2y2，则11，当y1时，等号成立，故当取得最大值时，的最大值为1.角度4构建不等式法例4 已知x>0，y>0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.答案6解析由已知得xy9(x3y)，因为x>0，y>0，所以x3y2，所以3xy，所以×9(x3y)，即(x3y)212(x3y)1080，则x3y18(舍去)或x3y6(当且仅当x3y，即x3，y1时取等号)，故x3y的最小值为6.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为·，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.训练1 (1)(2023·重庆巴蜀中学模拟)已知正实数a，b满足ab2a20，则4ab的最小值是()A.2 B.42C.42 D.6答案B解析由ab2a20知a，又a，b为正实数，所以4abb(b2)22242，当且仅当a，b2，即a，b22时取等号，则4ab的最小值为42.(2)(多选)(2023·广东六校联考)已知x，y(0，)，设M2xy，Nxy，则以下四个命题中正确的是()A.若N1，则M有最小值2B.若MN6，则N有最大值2C.若M1，则0ND.若M23N1，则M有最小值答案ABC解析由题意知，x，y(0，)，M2xy，Nxy.对于A，当Nxy1时，M2xy22，当且仅当2xy，即x，y时等号成立，所以M的最小值为2，故A正确；对于B，当MN2xyxy6时，62xyxy2xy，当且仅当2xy时等号成立，令t，则t0，且t22t60，解得0t，即0，解得0xy2，所以0N2，故B正确；对于C，当M2xy1时，12xy2，当且仅当2xy时等号成立，所以0，得0xy，所以0N，故C正确；对于D，当(2xy)23xy1时，得(2xy)2·2xy11，当且仅当2xy时等号成立，即M2×1，整理得M2，解得0M，故D错误.(3)(2023·江西九校联考)若正实数a，b满足ab1，则的最小值为_.答案5解析因为ab1，所以3，因为a0，b0，所以3235，当且仅当，即a，b时等号成立，即的最小值为5.考点二利用基本不等式求参数或范围例5 (1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2|x|2a0的解集是R，则实数a的取值范围为_.答案解析不等式ax2|x|2a0的解集是R，即对于xR，ax2|x|2a0恒成立，即a.当x0时，a0；当x0时，a，因为，当且仅当|x|时取“”，所以a.综上所述a.(2)已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_.答案4解析已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，只需求(xy)的最小值大于或等于9，(xy)1aa21(1)2，当且仅当yx时，等号成立，(1)29，a4，即正实数a的最小值为4.感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.训练2 (1)当xa时，2x的最小值为10，则a()A.1 B. C.2 D.4答案A解析2x2(xa)2a22a82a，即82a10，故a1.(2)(2023·南通质检)若正实数x，y满足xy1，且不等式m2m有解，则实数m的取值范围是_.答案(，3)解析因为正实数x，y满足xy1，则(x1)y2，所以(x1)y·，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.因为不等式m2m有解，则m2m，即2m23m90，即(2m3)(m3)0，解得m3或m.考点三利用基本不等式解决实际问题例6 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6 B.12 C.18 D.24答案D解析设AMx，ANy，则由已知可得xy10，在MAN中，MN6，由余弦定理可得，cos A1111，当且仅当xy5时等号成立，此时(cos A)min，所以(sin A)max，所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×24(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·44x160，当且仅当4x，即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.若a0，b0，则.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.一、利用不等式链求最值例1 (多选)设正实数a，b满足ab1，则()A.有最大值B.有最小值3C.a2b2有最小值D.有最大值答案ACD解析对于A，由基本不等式可得，当且仅当ab时，等号成立，A正确；对于B，由，得，当且仅当a2b2ab，即ab时等号成立，B错误；对于C，由，得a2b2，当且仅当ab时等号成立，C正确；对于D，由，得，当且仅当ab时等号成立，D正确.二、利用基本不等式链证明不等式例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：(abc).证明.即(ab)，同理，(bc)，(ca)，相加可得(ab)(bc)(ca)(abc)，当且仅当abc时等号成立.训练 当x时，函数y的最大值为_.答案2解析由，得ab2，则y22，当且仅当，即x时等号成立.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.下列函数中最小值为2的是()A.yx B.yC.yexex D.ylog3xlogx3(0x1)答案C解析当x0时，yx0，故A错误；y2，当且仅当，即x21时取等号，x21，故B错误；yexex22，当且仅当exex，即x0时取等号，故C正确；当x(0，1)时，y1log3x0，y2logx30，故D错误.2.已知正数a，b满足a2b213，则a的最大值为()A.6 B.8 C.4 D.16答案B解析a2b213，a8，当且仅当a时等号成立，a的最大值为8.3.已知a0，b0，若2ab4，则ab的最大值为()A. B.4 C. D.2答案D解析由题意得42ab2，即2，两边平方得42ab，ab2，当且仅当a1，b2时，等号成立，ab的最大值为2.4.(2023·苏州模拟)若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时取等号.利用以上结论，函数f(x)，x取得最小值时x的值为()A. B. C. D.答案A解析f(x)25，当且仅当，即x时等号成立.5.(2023·绍兴质检)已知x0，y0，满足x22xy20，则2xy的最小值是()A. B. C. D.答案B解析由x22xy20，可得y，因为x0，y0，可得0，解得0x，则2xy2x×2，当且仅当3x，即x时，等号成立，所以2xy的最小值为.6.(2023·河南百校大联考)已知a0，b0，ab1，则下列不等式正确的是()A.4 B.2C.a2b21 D.ab2a2b答案B解析由题意，(ab)24，当且仅当ab时，等号成立，A错误；22·2，当且仅当ab时，等号成立，B正确；，当且仅当ab时，等号成立，则a2b2，C错误；ab2a2bab(ab)·(ab)，D错误.7.已知正实数m，n满足1，则mn的最小值为()A. B. C.1 D.2答案A解析正实数m，n满足1，故1，即3(mn)(m2n)(2mn)(mn)n·(mn)m，所以3(mn)2(mn)2mn2(mn)2，即3(mn)，故mn，当且仅当mn时取等号.8.(2023·辽宁名校联盟联考)若a0，b0且2ab2ab3，则2ab的最小值为_.答案6解析2ab(当且仅当2ab时取等号)，2ab3，设x2ab，x0，则x3，解得x2(舍)或x6，即2ab6，(2ab)min6.9.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是_万元.答案8解析每台机器运转x年的年平均利润为万元，由于x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.10.(2023·扬州调研)已知正实数x，y满足xy1，则的最小值为_.答案94解析由题意可知，(xy)459294，当且仅当，即x52，y24时取等号，故的最小值为94.11.(1)当x1时，求2x的最小值；(2)当x1时，求的最小值.解(1)2x22，x1，x10，2x2×2210，当且仅当x1，即x3时，2x取得最小值10.(2)令y(x1)2.因为x10，所以y228，当且仅当x1，即x4时，y取最小值为8.12.已知x0，y0，且2x8yxy，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值.解(1)xy2x8y2，即xy8，即xy64，当且仅当2x8y，即x16，y4时，等号成立，xy的最小值为64.(2)由2x8yxy，得1，则xy(xy)1010218.当且仅当，即x12，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.【B级能力提升】13.(2023·重庆调研)已知正实数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，) B.(，3C.(，6 D.6，)答案D解析因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，当且仅当，即a4，b12时取等号.由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意的x恒成立，又x24x2(x2)266，所以6m，即m6.14.(多选)(2022·肇庆二模)已知x2y21，且xy0，则()A.|xy|B.|xy|C.log2|x|log2|y|1D.2答案AC解析对于A，因为2xyx2y2，所以x2y22xyx2y2x2y22，即(xy)22，所以|xy|，当且仅当xy或xy时取等号，故A正确；对于B，因为1x2y22|xy|，所以|xy|，当且仅当|x|y|时取等号，故B错误；对于C，由B知，|xy|，所以log2|x|log2|y|log2|xy|log21，当且仅当|x|y|时取等号，故C正确；对于D，由B知，|xy|，所以，所以，所以22，当且仅当|x|y|时取等号，故D错误.15.(2023·济南模拟)若x0，y0且xyxy，则的最小值为_.答案32解析因为x0，y0且xyxy，则xyxyy，即有x1，同理y1，由xyxy得，(x1)(y1)1，于是得1233232，当且仅当，即x1，y1时取“”，所以的最小值为32.16.小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50x220x50(0x10，xN*)，由x220x500，可得105x10.因为21053，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为191929，当且仅当x，即x5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.