第三章3.2.2第1课时　双曲线的简单几何性质.docx

第三章 3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质【素养导引】1.了解双曲线的几何图形,掌握双曲线的简单几何性质.(直观想象、数学抽象)2.能利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题.(数学运算、逻辑推理)一、双曲线的几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x-a或xa, yR y-a 或ya, xR 对称性对称轴:坐标轴; 对称中心:原点 顶点A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) 轴实轴:线段A1A2,长: 2a; 虚轴:线段_B1B2_,长: 2b; 实半轴长: a,虚半轴长: b 离心率e= ca(1,+) 渐近线y=±baxy=±abx 诊断辨析记忆(对的打“”,错的打“×”).(1)双曲线的离心率越大,它的开口越小.(×)提示:双曲线的离心率越大,它的开口越开阔;(2)双曲线的离心率的取值范围是(1,+).()(3)当已知双曲线的渐近线时,双曲线的标准方程就是确定的.(×)提示:具有相同的渐近线的双曲线有无数支,因此方程不能确定.二、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程为y=±x. 诊断1.(教材改编题)双曲线x216-y2=1的顶点坐标是()A.(4,0),(0,1)B.(-4,0),(4,0)C.(0,1),(0,-1)D.(-4,0),(0,-1)【解析】选B.由题意知,双曲线的焦点在x轴上,且a=4,因此双曲线的顶点坐标是(-4,0),(4,0).2.(教材改编题)点P(x,y)是双曲线y25-x2=1上的一个点,则y的取值范围是_. 【解析】由双曲线的标准方程可知,y的取值范围是y-5或y5.答案:(-,-55,+)学习任务一求双曲线的几何性质(数学运算)【典例1】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解析】双曲线的方程化为标准形式是x29-y24=1,所以a2=9,b2=4,所以a=3,b=2,c=13.又双曲线的焦点在x轴上,所以顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-13,0),(13,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=ca=133,渐近线方程为y=±bxa=±23x.由双曲线的方程研究几何性质1.把双曲线方程化为标准形式.2.由标准方程确定焦点位置和a,b的值.3.由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.提醒:把双曲线方程化为标准形式是求其几何性质的前提.双曲线4x2-y2=4的顶点坐标为_,离心率为_,渐近线方程为_. 【解析】将4x2-y2=4变形为x2-y24=1,所以a=1,b=2,c=5,所以顶点坐标为(-1,0),(1,0),e=ca=5,渐近线方程为y=±bax=±2x.答案:(-1,0),(1,0)5y=±2x学习任务二利用双曲线的几何性质求方程(数学运算)【典例2】已知双曲线E与双曲线x216-y29=1共渐近线,且过点A(23,-3).求双曲线E的标准方程.【解析】方法一:双曲线x216-y29=1的渐近线是y=±34x,当x=23时,y=-332>-3,所以双曲线E的焦点在y轴上,所以ab=34,又9a2-12b2=1,解得b=2,a=32,所以双曲线E的标准方程为y294-x24=1.方法二:由题意,设双曲线E的方程为x216-y29=t(t0).因为点A(23,-3)在双曲线E上,所以(23)216-(-3)29=t,所以t=-14,所以双曲线E的标准方程为y294-x24=1.利用双曲线的几何性质求方程(1)由已知条件求出a,b,c,根据焦点的位置写出双曲线的标准方程;(2)几种特殊的双曲线方程的设法:已知渐近线方程:渐近线方程为y=±nmx的双曲线方程可设为x2m2-y2n2=(0,m>0,n>0);渐近线方程为Ax±By=0的双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m0,A>0,B>0).共渐近线(离心率)的方程:与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=(0);与双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)共渐近线(离心率)的双曲线方程可设为y2a2-x2b2=(0).等轴双曲线:x2-y2=(0).求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,中心为坐标原点,焦距为6,实轴长为4;(2)焦点在x轴上,中心为坐标原点,渐近线方程为y=±x,且过点(-5,-1).【解析】(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),焦距为2c.由题意有2c=62a=4,解得a=2,c=3,b2=c2-a2=9-4=5.故所求双曲线的标准方程为x24-y25=1.(2)设所求双曲线的标准方程为x2m-y2m=1(m>0).由题意有5m-1m=1,解得m=4.故所求双曲线的标准方程为x24-y24=1.学习任务三双曲线性质的简单应用(数学运算、逻辑推理)【典例3】(1)若双曲线x2-y2m2=1(m>0)的离心率为4,则m=()A.3B.15C.4D.17【解析】选B.因为a2=1,b2=m2,所以c2=1+m2,所以e2=1+m2=42,又m>0,所以m=15.(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12xD.y=±x【解析】选C.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,故有a2+b2a2=54,所以b2a2=14,解得ba=12.故双曲线C的渐近线方程为y=±12x.关于双曲线性质的应用(1)双曲线的渐近线与离心率的关系:双曲线的离心率和渐近线的斜率的关系为e=1+b2a2,通过这个关系已知其中一个就可以求另一个.另外e与ba成正比,二者在刻画双曲线开口大小的作用上是相同的.(2)离心率的两种求法:直接法:若已知a,c可直接利用e=ca求解,若已知a,b,可利用e=1+b2a2求解;方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程,借助于e=ca,转化为关于e的n次方程求解.如图所示,F1和F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为_. 【解析】连接AF1(图略),由F2AB是等边三角形,知AF2F1=30°.易知AF1F2为直角三角形,则|AF1|=12|F1F2|=c,|AF2|=3c,所以2a=(3-1)c,从而双曲线的离心率e=ca=1+3.答案:1+3双曲线中的常用定值1.“通径”:以焦点在x轴上的双曲线为例,双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1,过双曲线的焦点作与x轴垂直的直线,与双曲线交于A,B两点,把线段AB叫做双曲线的“通径”.2.性质:(1)通径的长|AB|=2b2a;(2)点A(-c,b2a).(3)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.【典例】设双曲线C:x2a2-y2b2=1的左,右焦点分别是F1,F2,点M是C上的点,若MF1F2是等腰直角三角形,则C的离心率是()A.2B.2C.2+12D.2+1【解析】选D.显然|F1F2|=|MF1|或|F1F2|=|MF2|,不妨令|F1F2|=|MF2|,则b2a=2c,则c2-a2=2ac,方程两边同除以a2得:e2-2e-1=0,解得:e=1±2,因为e>1,所以离心率为2+1. - 8 -