第一课时 二次函数及其性质.doc

第4节二次函数与一元二次方程、不等式第一课时二次函数及其性质考试要求理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0).(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数常用结论1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)ax2bxc(a0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)二次函数yax2bxc的图象恒在x轴下方，则a0且0.()(2)若二次函数yax2bxc的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.()(3)二次函数yax2bxc(xm，n)的最值一定是.()答案(1)(2)×(3)×解析(2)二次函数yx2x与y2x22x零点相同，但解析式不同，故(2)错误.(3)当对称轴xm，n时，最值则不是，故(3)错误.2.函数yx22x4的最小值为_.答案3解析yx22x4(x1)23，故当x1时，ymin3.3.若函数f(x)4x2kx8在5，20上单调，则实数k的取值范围为_.答案(，40160，)解析依题意知，20或5，解得k160或k40.4.已知yf(x)为二次函数，若yf(x)在x2处取得最小值4，且yf(x)的图象经过原点，则函数解析式为_.答案f(x)x24x解析由题意，可设f(x)a(x2)24(a0)，又图象过原点，所以f(0)4a40，a1，所以f(x)(x2)24x24x.考点突破·题型剖析考点一二次函数的解析式例1 (1)函数f(x)满足下列性质：定义域为R，值域为1，)；图象关于x2对称；对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有0.请写出函数f(x)的一个解析式_.(只要写出一个即可)答案f(x)x24x5(答案不唯一)解析由题意，不妨取f(x)(x2)21，此时f(x)图象的对称轴为x2，开口向上，满足，对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有0，等价于f(x)在(，0)上单调递减，f(x)(x2)21满足，又f(x)(x2)211，满足，故f(x)的解析式可以为f(x)x24x5.(2)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，则f(x)_.答案4x24x7解析法一(利用“一般式”)设f(x)ax2bxc(a0).由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二(利用“顶点式”)设f(x)a(xm)2n(a0).因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x，所以m.又根据题意，函数有最大值8，所以n8，所以f(x)a8.因为f(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍).故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.感悟提升求二次函数解析式的方法训练1 (1)已知f(x)为二次函数，且f(x)x2f(x)1，则f(x)等于()A.x22x1 B.x22x1C.2x22x1 D.2x22x1答案B解析设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，由f(x)x2f(x)1，可得ax2bxcx22ax(b1)，所以解得因此，f(x)x22x1.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.答案x24x3解析因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以yf(x)的图象关于x2对称.又yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)0的两根为21或23，所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f(x)a(x1)(x3).又点(4，3)在yf(x)的图象上，所以3a3，则a1，故f(x)(x1)(x3)x24x3.考点二二次函数的图象例2 (多选)如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论正确的为()A.b24ac B.2ab1C.abc0 D.5ab答案AD解析因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，A正确.对称轴为x1，即1，2ab0，B错误.结合图象，当x1时，y0，即abc0，C错误.由对称轴为x1知，b2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以5a2a，即5ab，D正确.感悟提升研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.训练2 设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()答案D解析因为abc0，在A中，a0，b0，c0，不符合题意；B中，a0，b0，c0，不符合题意；C中，a0，c0，b0，不符合题意，故选D.考点三二次函数的最值例3 已知函数f(x)x2tx1.(1)若f(x)在区间(1，2)上不单调，求实数t的取值范围；(2)若x1，2，求f(x)的最小值g(t).解f(x)x2tx11.(1)依题意，12，解得2t4，所以实数t的取值范围是(2，4).(2)当2，即t4时，f(x)在1，2上单调递减，所以f(x)minf(2)32t.当12，即2t4时，f(x)minf1.当1，即t2时，f(x)在1，2上单调递增，所以f(x)minf(1)t.综上，g(t)迁移 本例条件不变，求当x1，2时，f(x)的最大值G(t).解f(1)t，f(2)32t，f(2)f(1)33t，当t1时，f(2)f(1)0，f(2)f(1)，f(x)maxf(1)t；当t1时，f(2)f(1)0，f(2)f(1)，f(x)maxf(2)32t，综上有G(t)感悟提升闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.训练3 已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2，3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1，3上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2，3，函数图象的对称轴为直线x2，3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，f(x)的值域为.(2)函数图象的对称轴为直线x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意.综上可知，a或1.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.函数yx22ax3在(，3上单调递减，则实数a的取值范围是()A.3，) B.(，3C.3，) D.(，3答案A解析易知函数yx22ax3的单调递减区间是(，a，故a3.2.若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A.g(x)2x23x B.g(x)3x22xC.g(x)3x22x D.g(x)3x22x答案B解析二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，设二次函数为g(x)ax2bx(a0)，可得则a3，b2，所求的二次函数为g(x)3x22x.3.已知f(x)x22ax1，则()A.f(a)f(a1)f(a1)B.f(a)f(a1)f(a1)C.f(a)f(a1)f(a1)D.f(a1)f(a1)f(a)答案B解析函数f(x)的图象开口向下，对称轴为xa，故f(a)f(a1)f(a1).4.(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)ax2x1和函数g(x)ax1的图象可能是()答案ABD解析若a0，则f(x)x1，g(x)1，A正确；若a0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴为x0，g(x)的图象过点(0，1)和，且，B正确；若0a，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x0，g(x)的图象过点(0，1)和，且，C不正确；若a，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x0，g(x) 的图象过点(0，1)和，且，D正确.5.(2022·长沙模拟)已知函数f(x)x22mxm2的值域为0，)，则实数m的值为()A.2或1 B.2C.1 D.1或2答案A解析因为f(x)x22mxm2(xm)2m2m2m2m2，且函数f(x)x22mxm2的值域为0，)，所以m2m20，解得m2或1.6.若函数f(x)x2a|x|2在区间3，)和2，1上均单调递增，则实数a的取值范围是()A. B.6，4C.3，2 D.4，3答案B解析f(x)为偶函数，f(x)在1，2上单调递减，在3，)上单调递增，当x0时，f(x)x2ax2，对称轴为x，23，解得6a4.7.(多选)(2023·宜昌质检)已知函数f(x)x22xa有两个零点x1，x2，以下结论正确的是()A.a1B.若x1x20，则C.f(1)f(3)D.函数yf(|x|)有四个零点答案ABC解析二次函数对应二次方程根的判别式(2)24a44a0，a1，故A正确；由根与系数的关系得，x1x22，x1x2a，故B正确；因为f(x)的对称轴为x1，点(1，f(1)，(3，f(3)关于对称轴对称，故C正确；当a0时，yf(|x|)x22|x|有3个零点，故D不正确.8.已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0，0)和(2，0)，且有最小值1，则f(x)_.答案x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.9.若函数(x)x2m|x1|在0，)上单调递增，则实数m的取值范围是_.答案2，0解析当0x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，则0，即m0；当x1时，(x)x2mxm，此时(x)单调递增，则1，则m2.综上，实数m的取值范围是2，0.10.(2023·江苏海安高级中学模拟)函数f(x)x24x2在区间a，b上的值域为2，2，则ba的取值范围是_.答案2，4解析解方程f(x)x24x22，解得x0或x4，解方程f(x)x24x22，解得x2，由于函数f(x)在区间a，b上的值域为2，2.若函数f(x)在区间a，b上单调，则a，b0，2或a，b2，4，此时ba取得最小值2；若函数f(x)在区间a，b上不单调，且当ba取最大值时，a，b0，4，所以ba的最大值为4.所以ba的取值范围是2，4.11.(2023·沈阳质检)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值.解当a0时，f(x)2x在0，1上递减，f(x)minf(1)2.当a0时，f(x)ax22x的图象开口向上，且对称轴为x.当01，即a1时，f(x)在上递减，在上递增，f(x)minf.当1，即0a1时，f(x)在0，1上递减，f(x)minf(1)a2.当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下，且对称轴x0，f(x)ax22x在0，1上递减，f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min12.已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2，3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b1，g(x)f(x)mx在2，4上单调，求m的取值范围.解(1)f(x)a(x1)22ba(a0).当a0时，f(x)在2，3上为增函数，故当a0时，f(x)在2，3上为减函数，故(2)因为b1，所以a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，因为g(x)在2，4上单调，所以2或4，解得m2或m6.故m的取值范围是(，26，).【B级能力提升】13.已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围是()A.， B.1， C.2，3 D.1，2答案B解析由于f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt，又yf(x)在(，1上是减函数，所以t1.则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需1(t21)2，解得t.又t1，1t.14.设关于x的方程x22mx2m0(mR)的两个实数根分别是，则225的最小值为_.答案7解析由题意有且4m24(2m)0，解得m2或m1，225()2254m22m1，令f(m)4m22m1，而f(m)图象的对称轴为m，且m2或m1，所以f(m)minf(1)7.15.定义：如果在函数yf(x)的定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如yx4是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_.答案(0，2)解析因为函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf(x0)，即关于x0的方程xmx01m在(1，1)内有实数根，解方程得x01或m1.由于x0±1，则x0m1，所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0，2).16.已知a，b是常数且a0，f(x)ax2bx且f(2)0，且使方程f(x)x有等根.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m，n(mn)，使得f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m，2n?解(1)由f(x)ax2bx，且f(2)0，则4a2b0，又方程f(x)x有等根，即ax2(b1)x0有等根，得b1，从而a，所以f(x)x2x.(2)假定存在符合条件的m，n，由(1)知f(x)x2x(x1)2，则有2n，即n.又f(x)图象的对称轴为直线x1，则f(x)在m，n上单调递增，于是得即解方程组得m2，n0，所以存在m2，n0，使函数f(x)在2，0上的值域为4，0.