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阶段综合练(2.3)1.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于()A.4B.42C.2D.22【解析】选B.由题意得P(1,1),Q(5,5),所以|PQ|=42+42=42.2.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是()A.(2,2)B.(2,-2)C.(-2,2)D.(-2,-2)【解析】选C.由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2.故所求交点坐标是(-2,2).3.已知斜率为1的直线l过直线3x-y+1=0与2x+y-6=0的交点,则原点到直线l的距离为()A.322B.22C.1D.2【解析】选A.联立3x-y+1=02x+y-6=0,解得x=1y=4,又直线斜率为1,所以直线l的方程为y=x+3,即x-y+3=0,所以原点到直线l的距离为|0-0+3|2=322.4.已知两平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是()A.(0,+)B.0,5C.(0,5D.0,17【解析】选C.当直线l1,l2与直线PQ垂直时,它们之间的距离d达到最大,此时d=2-(-1)2+(-1-3)2=5,所以0<d5.5.设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.5,25B.10,25C.10,45D.25,45【解析】选B.由题意知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0,即m(x-1)-y+3=0经过定点B(1,3),由题意知两直线垂直且P为交点,所以PAPB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,由基本不等式|PA|2+|PB|2(|PA|+|PB|)22(|PA|2+|PB|2),即10(|PA|+|PB|)220,可得10|PA|+|PB|25.6.对于平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:若点C在线段AB上,则|AC|+|CB|=|AB|;在ABC中,若C=90°,则|AC|2+|CB|2=|AB|2;在ABC上,|AC|+|CB|>|AB|.其中真命题为()A.B.C.D.【解析】选C.对于,若点C在线段AB上,设点C的坐标为(x0,y0),则x0在x1,x2之间,y0在y1,y2之间,则|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|成立,故正确;对于,在ABC中,若C=90°,则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”,所以不正确;对于,在ABC中,|AC|+|CB|=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|.当x0-x1与x2-x0同号,且y0-y1与y2-y0同号时,等号成立,故不一定成立.因此只有命题成立,所以C选项是正确的.7.(多选题)与直线l:3x-4y-1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程有()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0D.3x-4y-9=0【解析】选AB.设所求直线方程为3x-4y+m=0(m-1),由题意得|m-(-1)|32+(-4)2=2,解得m=9或-11.8.(多选题)已知平面内一点M(3,4),若直线l上存在点P,使|PM|=2,则称该直线为点M(3,4)的“2域直线”,下列直线中是点M(3,4)的“2域直线”的是()A.4x-3y=0B.y=2C.x-4y=0D.x=5【解析】选ABD.A.M到直线的距离为d=05=0<2,故直线存在点P使|PM|=2,符合“2域直线”;B.M到直线的距离为d=2,故直线存在点P使|PM|=2,符合“2域直线”;C.M到直线的距离为d=|3-4×4|17=1317>2,故直线不存在点P使|PM|=2,不符合“2域直线”;D.M到直线的距离为d=2,故直线存在点P使|PM|=2,符合“2域直线”.9.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为_. 【解析】直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B(-1,25),由两点间的距离公式,得|AB|=135.答案:13510.两直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为_. 【解析】由题意得63=m1,所以m=2,将3x+y-3=0变形为6x+2y-6=0,由两条平行直线间的距离公式得距离d=|-1+6|62+22=540=104.答案:10411.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有_条. 【解析】显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由|-k+3|1+k2=1得,k=43,所以直线方程为4x-3y+5=0,因此满足条件的直线有两条.答案:212.已知a,b,c为直角三角形的三边长,c为斜边长,若点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为_. 【解析】因为a,b,c为直角三角形中的三边长,c为斜边长,所以c=a2+b2,又因为点M(m,n)在直线l:ax+by+2c=0上,所以m2+n2表示直线l上的点到原点距离的平方,所以m2+n2的最小值为原点到直线l距离的平方,由点到直线的距离公式可得d=2ca2+b2=2,所以m2+n2的最小值为d2=4.答案:413.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O(-1,1),其中A(-2,0),B(1,1).(1)求点D的坐标及AD所在直线的方程;(2)求平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)设D(x0,y0),由题意可得O是BD的中点,所以x0+12=-1,y0+12=1,解得x0=-3,y0=1,则点D的坐标为(-3,1),所以kAD=0-1-2+3=-1,所以AD所在直线的方程为y-0=-1×(x+2),即x+y+2=0.(2)由(1)及题意可得|AD|=(-2+3)2+(0-1)2=2,点B到直线AD的距离为|1+1+2|12+12=22,所以平行四边形ABCD的面积为2×22=4.14.已知直线l的方程为2x-y+1=0.(1)求过点A(3,2),且与直线l垂直的直线l1的方程;(2)求与直线l平行,且到点P(3,0)的距离为5的直线l2的方程.【解析】(1)因为直线l的斜率为2,所以所求直线斜率为-12,又因为过点A(3,2),所以所求直线方程为y-2=-12(x-3),即x+2y-7=0.(2)依题意设所求直线方程为2x-y+c=0(c1),因为点P(3,0)到该直线的距离为5,所以|6+c|22+(-1)2=5,解得c=-1或c=-11,所以,所求直线方程为2x-y-1=0或2x-y-11=0.15.如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为3,宽为2,边AB,AD分别在x轴,y轴的非负半轴上,点A与坐标原点重合.将该矩形折叠,使点A落在线段DC上,已知折痕EF所在直线的斜率为-12.(1)求折痕EF所在直线的方程;(2)若点P为BC的中点,求PEF的面积.【解析】(1)设折痕EF所在直线的方程为y=-12x+b,折叠后点A落在线段DC上的点G(a,2)处,其中0a3,连接AG交EF于点M,则M(a2,1),所以1=-12×a2+b,-12×2a=-1,解得a=1,b=54,所以折痕EF所在直线的方程为y=-12x+54.(2)由(1)知,折痕EF所在直线的方程为y=-12x+54,所以E(52,0),F(0,54),所以|EF|=(52-0) 2+(0-54) 2=554.因为点P为BC的中点,所以P(3,1),所以点P到折痕EF的距离d=|-12×3+54-1|(-12) 2+(-1)2=52,所以PEF的面积S=12|EF|·d=12×554×52=2516.关闭Word文档返回原板块- 6 -