第三章3.1.2第2课时　椭圆方程及性质的应用.docx

第三章3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用【素养导引】1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(数学运算、数学建模、逻辑推理)2.掌握直线与椭圆位置关系的判定方法.(数学运算、逻辑推理)一、点与椭圆的位置关系设点P(x0,y0),椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),则点P在椭圆上x02a2+y02b2=1;点P在椭圆内部x02a2+y02b2<1;点P在椭圆外部x02a2+y02b2>1.二、直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系:联立y=kx+m,x2a2+y2b2=1,消去y得一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解>0相切一解=0相离无解<0诊断1.(教材改编题)直线y=x+1与椭圆x2+y22=1的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】选C.联立y=x+1,x2+y22=1,消去y,得3x2+2x-1=0,=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.2.(教材改编题)若点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则a的取值范围是_. 【解析】因为点A在椭圆内部,所以a24+12<1,所以a2<2,所以-2<a<2.答案:(-2,2)学习任务一椭圆方程的实际应用(数学建模)【典例1】如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BF1F1F2,|F1B|=53,|F1F2|=4.(1)试建立适当的坐标系,求截口BAC所在的椭圆的方程;(2)如图,若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P,且F1PF2=90°,求F1PF2的面积.【解析】(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设截口BAC所在椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),因为BF1F1F2,|F1B|=53,|F1F2|=4,所以在RtBF1F2中,|BF2|=|BF1|2+|F1F2|2=133,故2a=|F1B|+|F2B|=6,a=3,又2c=|F1F2|=4,c=2,所以b2=a2-c2=5,所求的椭圆方程为x29+y25=1.(2)因为点P在椭圆上,|PF1|+|PF2|=2a=6,又F1PF2=90°,即F1PF2为直角三角形,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=16,有|PF1|+|PF2|=6|PF1|2+|PF2|2=16,即可得|PF1|·|PF2|=10,故F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|=5.【思维提升】关于椭圆方程的实际应用(1)根据轨迹焦点、中心等条件建立坐标系,使求出的椭圆方程为标准形式;(2)求出a,b并写出椭圆的方程,利用方程解决实际问题.提醒:方程中变量的范围要根据实际问题确定.【即学即练】航天器的轨道有很多种,其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为n,设地球的半径为r,试用m,n,r表示出地球同步转移轨道的方程.【解析】设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,依题意可知a-c=n+r,a+c=m+r,解得a=n+m+2r2,c=m-n2,不妨令地球同步转移轨道的焦点在x轴上,所以地球同步转移轨道的方程为x2(n+m+2r2) 2+y2(m+r)(n+r)=1.学习任务二直线与椭圆的位置关系(数学运算、逻辑推理)【典例2】已知直线l:y=2x+m,椭圆C:x24+y22=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点.(2)有且只有一个公共点.(3)没有公共点.【解析】直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组y=2x+m,x24+y22=1,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,关于x的一元二次方程的判别式=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.(1)由>0,得-32<m<32.所以当-32<m<32时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.(2)由=0,得m=±32.也就是当m=±32时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)由<0,得m<-32或m>32.从而当m<-32或m>32时,方程没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.【思维提升】直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系,判断方法:(1)联立y=kx+m,x2a2+y2b2=1,消y得一元二次方程(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.(2)计算=4a2b2(a2k2-m2+b2),当>0时,方程有两解,直线与椭圆相交;当=0时,方程有一解,直线与椭圆相切;当<0时,方程无解,直线与椭圆相离.提醒:设直线方程时要考虑直线斜率不存在的情况.【即学即练】1.已知直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则实数m的取值范围为()A.m|m1B.m|m1或0<m<1C.m|m1且m5D.m|0<m<5且m1【解析】选C.由题意,直线y=kx+1,可得直线恒过定点P(0,1),要使得直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,只需点P(0,1)在椭圆的内部或在椭圆上,可得m1m5,即实数m的取值范围为m|m1且m5.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.32B.26C.27D.42【解析】选C.设椭圆长轴长为2a且a>2,则椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1.由x2a2+y2a2-4=1x+3y+4=0,可得(4a2-12)y2+83(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0,因为直线与椭圆只有一个交点,则=0,即192(a2-4)2-16(a2-3)×(16-a2)×(a2-4)=0.解得a=0或a=2或a=7,又由a>2,所以a=7,所以长轴长2a=27.学习任务三与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例3】(2021·北京高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为45.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交y=-3于点M,直线AC交y=-3于点N.若|PM|+|PN|15,求k的取值范围.【思路探求】(1)根据已知条件求出a,b,从而得到椭圆方程.(2)设直线l的方程,与椭圆方程联立结合题干条件将|PM|+|PN|化为关于k的式子.【解析】(1)因为椭圆E过点A(0,-2),故b=2,以四个顶点围成的四边形面积为45,故12×2a×2b=2ab=45,联立b=2,2ab=45,a2=b2+c2,解得a=5,b=2,c=1,故椭圆E的标准方程为x25+y24=1;(2)由题意知,直线l的斜率存在,且直线l的方程为y=kx-3,设B(x1,y1),C(x2,y2),联立y=kx-3,4x2+5y2=20,消y整理得(5k2+4)x2-30kx+25=0,=(-30k)2-4×(5k2+4)×25=400×(k2-1)>0,故k>1或k<-1, x1+x2=-30k5k2+4=30k5k2+4,x1·x2=255k2+4,y1+y2=k(x1+x2)-6=-245k2+4,y1·y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=36-20k25k2+4.直线AB的方程为y+2=y1+2x1x,令y=-3,则x=-x1y1+2,故M-x1y1+2,-3,同理N-x2y2+2,-3,所以|PM|+|PN|=x1y1+2+x2y2+2=x1·(y2+2)+x2·(y1+2)(y1+2)(y2+2)=x1·(kx2-1)+x2·(kx1-1)y1·y2+2(y1+y2)+4=2kx1x2-(x1+x2)y1·y2+2(y1+y2)+4=2k×255k2+4-30k5k2+436-20k25k2+4-485k2+4+4=|5k|15,即|k|3,解得-3k3.综上,k的取值范围为-3,-1)(1,3.【思维提升】解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程,当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论.(2)在具体求解时,常采用设而不求、整体代换的方法,可使运算简单.(3)不要忽视判别式的作用,在解题中判别式起到了限制参数范围的作用.【即学即练】1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,直线l:y=3x与椭圆C相交于A,B两点(A在B上方),若AFBF,则椭圆C的离心率为_. 【解析】设原点为O,由椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,直线l:y=3x与椭圆C相交于A,B两点,AFBF,知AOF=60°,OF=OA,所以三角形OAF是正三角形,A12c,32c,所以|FB|=3c,由椭圆的定义可得3c+c=2a,可得e=ca=23+1=3-1.答案:3-12.(2022·新高考卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l的方程为_. 【解析】如图,令AB的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x126+y123=1,x226+y223=1,所以x126-x226+y123-y223=0,即(x1-x2)(x1+x2)6+(y1+y2)(y1-y2)3=0,所以(y1+y2)(y1-y2)(x1-x2)(x1+x2)=-12,即kOE·kAB=-12,设直线AB:y=kx+m,k<0,m>0,令x=0得y=m,令y=0得x=-mk,即M(-mk,0),N(0,m),所以E-m2k,m2,即k×m2-m2k=-12,解得k=-22或k=22(舍去),又|MN|=23,即|MN|=m2+(2m)2=23,解得m=2或m=-2(舍去),所以直线AB:y=-22x+2,即x+2y-22=0.答案:x+2y-22=0 - 9 -