第2节 导数与函数的单调性.doc

第2节导数与函数的单调性考试要求1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性.常用结论1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x(a，b)时，f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x(a，b)时，f(x)0恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x(a，b)时，f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x(a，b)时，f(x)0有解.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数.()答案(1)×(2)(3)×(4)解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)反例，f(x)，虽然f(x)0，但f(x)在其定义域(，0)(0，)上不具有单调性.2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(d)f(e)答案CD解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上单调递增，因为abc，所以f(c)f(b)f(a).当x(c，e)时，f(x)0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为cde，所以f(c)f(d)f(e).3.(选修二P97T2改编)函数f(x)x32x24x的单调递增区间是_.答案(，2)，解析由f(x)3x24x4(3x2)(x2)0，得x2或x，故f(x)的单调递增区间为(，2)，.4.若yx(a0)在2，)上单调递增，则a的取值范围是_.答案(0，2解析法一由y10，得xa或xa.yx的单调递增区间为(，a，a，).函数在2，)上单调递增，2，)a，)，a2.又a0，0a2.法二y1，依题意知10在x2，)上恒成立，即a2x2恒成立，x2，)，x24，a24，又a0，0a2.考点突破·题型剖析考点一不含参函数的单调性例1 (1)下列函数在(0，)上单调递增的是()A.f(x)sin 2x B.f(x)xexC.f(x)x3x D.f(x)xln x答案B解析对于A，f(x)2cos 2x，f10，不符合题意；对于B，f(x)(x1)ex0，符合题意；对于C，f(x)3x21，f0，不符合题意；对于D，f(x)1，f(2)0，不符合题意.(2)若函数f(x)，则函数f(x)的单调递减区间为_.答案(1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令(x)ln x1(x0)，(x)0，(x)在(0，)上单调递减，且(1)0，当x(0，1)时，(x)0，当x(1，)时，(x)0，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.感悟提升确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.训练1 (1)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A.(0，1) B.(1，)C.(，1) D.(1，1)答案A解析f(x)2x(x0)，令f(x)0，得x1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cos x，则f(x)的单调递增区间为_.答案，解析f(x)12sin x，x(0，).令f(x)0，得x或x，当0x或x时，f(x)0，当x时，f(x)0，f(x)在和上单调递增，在上单调递减.考点二含参函数的单调性例2 已知函数f(x)ax2(a1)xln x，a>0，试讨论函数yf(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).令f(x)0，得x或x1.当0<a<1时，>1，x(0，1)或时，f(x)>0；x时，f(x)<0，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，1，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a>1时，0<<1，x或(1，)时，f(x)>0；x时，f(x)<0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减.综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a>1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减.感悟提升若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.训练2 (2021·全国乙卷节选)讨论函数f(x)x3x2ax1的单调性.解由题意知f(x)的定义域为R，f(x)3x22xa，对于f(x)0，(2)24×3a4(13a).当a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增；当a<时，令f(x)0，即3x22xa0，解得x1，x2，令f(x)>0，则x<x1或x>x2；令f(x)<0，则x1<x<x2.所以f(x)在(，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增.综上，当a时，f(x)在R上单调递增；当a<时，f(x)在，(，)上单调递增，在上单调递减.考点三函数单调性的应用角度1由单调性求参数例3 已知g(x)2xln x.(1)若函数g(x)在区间1，2内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若g(x)在区间1，2上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.解(1)g(x)2(x>0).g(x)0在1，2上恒成立，即20在1，2上恒成立，a2x2x在1，2上恒成立，a(2x2x)max，x1，2，(2x2x)max3，a3.实数a的取值范围是3，).(2)g(x)在1，2上存在单调递增区间，则g(x)0在1，2上有解，即a2x2x在1，2上有解，a(2x2x)min，又(2x2x)min10，a10，实数a的取值范围是(10，).角度2比较大小例4 (1)(2023·湖州质检)已知函数f(x)3x2cos x.若af(3 )，bf(2)，cf(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a答案D解析由题意，得f(x)32sin x.因为1sin x1，所以f(x)>0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为>1，所以3 >3.又log24<log27<log28，即2<log27<3，所以2<log27<3 ，所以f(2)<f(log27)<f(3 )，即b<c<a.(2)已知函数f(x)xsin x，xR，则f，f(1)，f的大小关系为_.答案ff(1)f解析由题意易得函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上单调递增，所以ff(1)f，即ff(1)f.角度3解不等式例5 已知函数f(x)exex2x1，则不等式f(2x3)1的解集为_.答案解析f(x)exex2x1，定义域为R，f(x)exex2220，当且仅当x0时取“”，f(x)在R上单调递增，又f(0)1，原不等式可化为f(2x3)f(0)，即2x30，解得x，原不等式的解集为.感悟提升1.根据函数单调性求参数的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).2.利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小.3.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式.训练3 (1)已知函数f(x)ln x，设af，bf(2)，cf，则()A.abc B.bacC.cba D.cab答案C解析易知f(x)，又x(0，)时，ex1，所以f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，故ff(2)f，即cba.(2) 已知函数g(x)2xln x在区间1，2上不单调，则实数a的取值范围是_.答案(10，3)解析g(x)，函数g(x)在区间1，2上不单调，g(x)0在区间(1，2)内有解，则a2x2x2在(1，2)内有解，易知函数y2x2x在(1，2)上是减函数，y2x2x的值域为(10，3)，因此实数a的取值范围为(10，3).分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.函数f(x)xln x1的单调递减区间是()A. B.C. D.(e，)答案C解析f(x)1ln x，令f(x)0，得0x，所以f(x)的单调递减区间为.2.已知函数f(x)x(exex)，则f(x)()A.是奇函数，且在(0，)上单调递减B.是奇函数，且在(0，)上单调递增C.是偶函数，且在(0，)上单调递减D.是偶函数，且在(0，)上单调递增答案D解析因为f(x)x(exex)，xR，f(x)x(exex)x(exex)f(x)，所以f(x)是偶函数，当x0时，f(x)exexx(exex)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.3.若函数f(x)x3x2ax4的单调递减区间为1，4，则实数a的值为()A.2 B.1 C.3 D.4答案D解析f(x)x23xa，且f(x)的单调递减区间为1，4，f(x)x23xa0的解集为1，4, 1，4是方程f(x)0的两根，则a(1)×44.4.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()答案D解析f(x)0的解集对应yf(x)的单调递增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的单调递减区间，验证只有D符合.5.(2023·深圳质检)若函数f(x)x24xbln x在区间(0，)上单调递减，则实数b的取值范围是()A.1，) B.(，1C.(，2 D.2，)答案C解析函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)0在(0，)上恒成立，即f(x)2x40，即b2x24x，2x24x2(x1)222，b2.6.函数f(x)xln x，af(2)，bf，cf，则()A.bca B.cbaC.cab D.acb答案A解析由f(x)1ln x0得x，由f(x)0，得0x，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，0，ff，即bc，cfln 0，af(2)2ln 20，ca，即bca.7.(2023·豫南地区联考)不等式2ln xxln 2的解集是()A.(1，2) B.(2，4)C.(2，) D.(4，)答案B解析设f(x)(x0)，则f(x)，当0xe时，f(x)0，当xe时，f(x)0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减.原不等式可化为，即f(x)f(2)，结合f(2)f(4)，可得2x4.8.函数f(x)(x1)exx2的单调递增区间为_，单调递减区间为_.答案(，0)，(ln 2，)(0，ln 2)解析f(x)xex2xx(ex2)，令f(x)0，得x0或xln 2，当x(，0)(ln 2，)时，f(x)0，当x(0，ln 2)时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(，0)，(ln 2，)，单调递减区间为(0，ln 2).9.(2023·丽水模拟)已知函数f(x)x3mx2nx1的单调递减区间是(3，1)，则mn的值为_.答案2解析f(x)x22mxn，由f(x)的单调递减区间是(3，1)，得f(x)0的解集为(3，1)，则3，1是f(x)0的解，2m312，n1×(3)3，可得m1，n3，故mn2.10.若函数h(x)ln xax22x在1，4上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_.答案(1，)解析因为h(x)在1，4上存在单调递减区间，所以h(x)ax20在1，4上有解，所以当x1，4时，a有解，而当x1，4时，1，1(此时x1)，所以a1.11.已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f(x)(x>0).又由题意知f(1)0，所以k1.(2)由(1)知，f(x)(x>0).设h(x)ln x1(x>0)，则h(x)<0，所以h(x)在(0，)上单调递减.由h(1)0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f(x)<0.综上f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间为(1，).12.讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增.综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增.【B级能力提升】13.(2023·济南调考)“m1”是“函数f(x)2x2mxln x在(0，)上单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若函数f(x)在(0，)上单调递增，则f(x)4xm0在(0，)上恒成立，即m4x在(0，)上恒成立.因为g(x)4x24，当且仅当x时，等号成立，所以m4.因为(，1)(，4，所以“m1”是“函数f(x)在(0，)上单调递增”的充分不必要条件.14.(多选)(2023·衡水质检)下列不等式成立的是()A.2ln ln 2 B.lnlnC.5ln 44ln 5 D.eln 答案AD解析设f(x)(x0)，则f(x)，当0xe时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当xe时，f(x)0，函数f(x)单调递减.2e，ff(2)，即2ln ln 2，A正确；e，f()f()，即ln ln，B不正确；e45，f(4)f(5)，即5ln 44ln 5，C不正确；e，f(e)f()，即eln ，D正确.15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f(x).若x>0时，f(x)<2x，则不等式f(2x)f(x1)>3x22x1的解集是_.答案解析令g(x)f(x)x2，则g(x)是R上的偶函数.当x>0时，g(x)f(x)2x<0，则g(x)在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增.由f(2x)f(x1)>3x22x1得f(2x)(2x)2>f(x1)(x1)2，即g(2x)>g(x1)，于是g(|2x|)>g(|x1|)，则|2x|<|x1|，解得1<x<.16.已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2·在区间(t，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，当a0时，f(x)的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0，1)；当a0时，f(x)为常函数，无单调区间.(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x)(x0).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上不是单调函数，即g(x)在区间(t，3)上有变号零点.由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9，又g(3)0，即m，m9.即实数m的取值范围是.