十九 两点间的距离公式.docx
十九两点间的距离公式1.点P(4,1)到原点的距离是()A.4B.13C.15D.17【解析】选D.由两点间距离公式得P(4,1)到原点(0,0)的距离为42+12=17.2.以A(1,5),B(5,1),C(-9,-9)三点为顶点的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.根据两点间的距离公式,得|AB|=(1-5)2+(5-1)2=42,|AC|=(1+9)2+(5+9)2=274,|BC|=(5+9)2+(1+9)2=274,所以|AC|=|BC|AB|.又|AC|2+|BC|2|AB|2,所以ABC为等腰三角形.3.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB的长为()A.10B.5C.8D.6【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),则a=6,b=8,即A(6,0),B(0,8),所以|AB|=(6-0)2+(0-8)2=10.4.已知点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且|PQ|=|PM|,则a的值是()A.-2B.2C.-92D.92【解析】选C.因为点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且|PQ|=|PM|,所以a-(-2)2+2-(-3)2=(a-1)2+(2-1)2,解得a=-92.5.(多选题)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值可以为()A.-5B.-1C.1D.5【解析】选AC.由|AB|=(a+2)2+(3+1)2=5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.6.(多选题)已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到M,N的距离相等,则()A.|MN|=210B.直线MN的方程是x+3y-7=0C.直线MN的方程是x-3y+9=0D.x,y满足条件3x-y-4=0【解析】选AD.因为M(-1,3),N(5,1),所以|MN|=(5+1)2+(1-3)2=210,所以A说法正确;直线MN的方程为y-31-3=x+15+1,即x+3y-8=0,所以B,C说法错误;由点P(x,y)到M,N的距离相等可知(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,即3x-y-4=0,所以D说法正确.7.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则|AC|CB|的值为_. 【解析】由两点间的距离公式,得|AC|=3-(-1)2+(4-0)2=42,|CB|=(5-3)2+(6-4)2=22,故|AC|CB|=4222=2.答案:28.直线l:y=x被两条平行直线x+y-2=0和x+y-4=0截得的线段的长为_. 【解析】联立y=xx+y-2=0,得交点坐标为(1,1),联立y=xx+y-4=0,得交点坐标为(2,2),所以所求线段的长为(2-1)2+(2-1)2=2.答案:29.已知:等腰梯形ABCD中,ABDC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.【证明】如图所示,建立平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).所以|AC|=(b-0)2+(c-0)2=b2+c2,|BD|=(a-b-a)2+(c-0)2=b2+c2.故|AC|=|BD|.10.已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),求证:ABC是等腰三角形.【证明】因为A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),所以|AB|=(-4+2)2+(-3+1)2=22,|AC|=(0+2)2+(-5+1)2=25,|BC|=(0+4)2+(-5+3)2=25,所以|AC|=|BC|,又kAC=-1+5-2-0=-2,kBC=-3+5-4-0=-12,所以A,B,C三点不共线,所以ABC是等腰三角形.11.过点A(4,a)和B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=()A.1+m2B.2C.2D.无法确定【解析】选C.因为kAB=b-a5-4=b-a=1,所以|AB|=(5-4)2+(b-a)2=2.12.已知平面上两点A(x,2-x),B(22,0),则|AB|的最小值为()A.3B.13C.2D.12【解析】选D.因为|AB|=(x-22) 2+(2-x-0)2=2(x-324) 2+1412,当且仅当x=324时等号成立,所以|AB|min=12.13.已知ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC的周长是_. 【解析】|AB|=(2+1)2+32=32,|BC|=(2+1)2+0=3,|AC|=(2-2)2+32=3,则ABC的周长为6+32.答案:6+3214.点P在直线2x-y=0上,若M(4,-2)且|PM|=5,则点P的坐标为_. 【解析】设P(x,2x),由两点间距离公式得(x-4)2+(2x+2)2=5,解得x=1或-1,故P(1,2)或(-1,-2).答案:(1,2)或(-1,-2)15.如图,ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.用坐标法证明:|AE|=|CD|.【证明】以点B为坐标原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设ABD和BCE的边长分别为a和c,则A(-a,0),C(c,0),E(c2,3c2),D(-a2,3a2),所以|AE|=(c2+a) 2+(3c2-0) 2=a2+ac+c2,|CD|=(c+a2) 2+(0-3a2) 2=a2+ac+c2,所以|AE|=|CD|.16.已知kR,则(x+1)2+4-(x-5)2+100的最小值是_. 【解析】(x+1)2+4-(x-5)2+100可转化为点P(x,0)到点A(-1,2),B(5,10)的距离之差,当P,A,B三点不共线时,有|PA|-|PB|<|AB|,当P,A,B三点共线时,有|PA|-|PB|=|AB|,故|PA|-|PB|AB|=10,即-10|PA|-|PB|10,当且仅当点P为直线AB与x轴的交点时,|PA|-|PB|取得最小值-10,即原式取得最小值-10.答案:-10 - 5 -
