考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例 (4).docx

考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例一、填空题1.(2019·全国卷理科·T13)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos􀎮a,c􀎯=. 【解析】因为c2=(2a-5b)2=4a2+5b2-45a·b=9,所以|c|=3,因为a·c=a·(2a-5b)=2a2-5a·b=2,所以cos􀎮a,c􀎯=a·c|a|·|c|=21×3=23.答案:23【误区警示】本题容易忽视a,b为单位向量,致使解题困难.2.(2019·全国卷文科·T13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos􀎮a,b􀎯=. 【解题指南】直接代入向量的夹角公式计算.【解析】cos􀎮a,b􀎯=2×-8+2×68×100=-4202=-210.答案:-2103.(2019·北京高考文科·T9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=. 【命题意图】本题考查向量的垂直与数量积,重在考查运算求解能力.【解析】因为ab,所以a·b=-4×6+3m=0,所以m=8.答案:84.(2019·天津高考理科·T14同2019·天津高考文科·T14)在四边形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=. 【命题意图】本题考查向量的概念以及运算法则,考查数形结合思想,考查考生应用向量手段解决问题的能力和运算求解能力等.【解题指南】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解即可.【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为ADBC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为BAD=30°,AB=23,所以AF=2,即=25.因为=-=-25,所以·=(-)·=75·-25=75×23×5×32-12-10=-1.答案:-1【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(23,0),D532,52.因为ADBC,BAD=30°,所以ABE=30°,因为AE=BE,所以BAE=30°,所以直线BE的斜率为33,其方程为y=33(x-23),直线AE的斜率为-33,其方程为y=-33x.由y=33(x-23),y=-33x得x=3,y=-1,所以E(3,-1).所以·=32,52·(3,-1)=-1.答案:-15.(2019·浙江高考·T17)已知正方形ABCD的边长为1,当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|1+2+3+4+5+6|的最小值是,最大值是. 【命题意图】本题主要考查平面向量的应用,题目难度较大.从引入“基向量”入手,简化模的表现形式,利用转化与化归思想将问题逐步简化.【解析】1+2+3+4+5+6=(1-3+5-6)+(2-4+5+6)要使|1+2+3+4+5+6|的值最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+6|=0,此时只需要取1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1,此时|1+2+3+4+5+6|min=0,|1+2+3+4+5+6|2=|(1-3+5-6)+(2-4+5+6)|2=(1-3+5-6)2+(2-4+5+6)2(|1|+|3|+|5-6|)2+(|2|+|4|+|5+6|)2=(2+|5-6|)2+(2+|5+6|)2=8+4(|5-6|+|5+6|)+(5-6)2+(5+6)2=8+4(|5-6|+|5+6|)2+252+262=12+4(5-6)2+(5+6)2+2|52-62|=12+42(52+62)+2|52-62|=20,等号成立当且仅当1,-3,5-6均非负或者均非正,并且2,-4,5+6均非负或者均非正.比如1=1,2=1,3=-1,4=-1,5=1,6=1,则|1+2+3+4+5+6|max=20=25.答案:0256.(2019·江苏高考·T12)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则ABAC的值是. 【命题意图】主要考查平面向量的基本定理和数量积,选取,为基本量.【解析】如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.6·=3·(-)=32(+)·(-)=32(+)·=32=32=·-12+32=·,得12=32,即|=3|,故ABAC=3.答案:3