第3节 导数与函数的极值、最值.doc

第3节导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.则b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在区间a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.常用结论1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则x0为极值点.()(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.()(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()(4)函数f(x)在区间a，b上一定存在最值.()答案(1)×(2)(3)×(4)解析(1)反例：f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点.(3)反例：f(x)x2在区间(1，2)上的最小值为0.2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析由题意知在x1处f(1)0，且其两侧导数值符号左负右正.3.(选修二P98T6改编)已知f(x)x312x1，x，则f(x)的最大值为_，最小值为_.答案10解析f(x)3x2123(x2)(x2)，因为x，所以f(x)0，故f(x)在上单调递减，所以f(x)的最大值为f，最小值为f(1)10.4.函数f(x)x3ax22x1有极值，则实数a的取值范围是_.答案(，)(，)解析f(x)3x22ax2，由题意知f(x)有变号零点，(2a)24×3×20，解得a或a.考点突破·题型剖析考点一利用导数研究函数的极值角度1根据导函数图象判断极值例1 (多选)(2022·重庆检测)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则()A.3是函数yf(x)的极值点B.1是函数yf(x)的极小值点C.yf(x)在区间(3，1)上单调递增D.2是函数yf(x)的极大值点答案AC解析根据导函数的图象可知，当x(，3)时，f(x)<0，当x(3，1)时，f(x)0，所以函数yf(x)在(，3)上单调递减，在(3，1)上单调递增，可知3是函数yf(x)的极值点，所以A正确.因为函数yf(x)在(3，1)上单调递增，可知1不是函数yf(x)的极小值点，2也不是函数yf(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.感悟提升由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2求函数的极值例2 已知函数f(x)ln xax(aR).(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值.(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)>0在(0，)上恒成立，则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，若x，则f(x)>0，若x，则f(x)<0，故函数在x处有极大值.综上可知，当a0时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.感悟提升运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数在定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.角度3由函数的极值求参数例3 (1)(2023·绵阳质检)若x2是函数f(x)x22(a2)x4aln x的极大值点，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(2，)C.(2，) D.(2，2)答案A解析f(x)2x2(a2)(x0).若a0，当x2时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，所以当x2时，f(x)取得极小值，不满足题意，故舍去.若a2，由f(x)0可得0x2或xa，由f(x)0可得2xa，所以当x2时，f(x)取得极大值，满足题意.若2a0，由f(x)0可得0xa或x2，由f(x)0可得ax2，所以当x2时，f(x)取得极小值，不满足题意.若a2，则f(x)0在(0，)上恒成立，此时f(x)无极值.综上，a2满足条件，故选A.(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)x(ln xax)在(0，)上有两个极值，则实数a的取值范围为_.答案解析f(x)ln x12ax，由题意知ln x12ax0在(0，)上有两个不相等的实根，则2a，设g(x)，则g(x).当0x1时，g(x)0，g(x)单调递增；当x1时，g(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)的极大值为g(1)1，又当x1时，g(x)0，当x时，g(x)0，当x0时，g(x)，所以02a1，即0a.感悟提升(1)已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验.(2)判断极值点的个数，转化为导数的根的个数.训练1 (1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x<2时，f(x)>0；当2<x<1时，f(x)<0；当1<x<2时，f(x)<0；当x>2时，f(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.(2)(2023·长沙模拟)若x1是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极大值为_.答案5e3解析因为f(x)(x2ax1)ex1，可得f(x)ex1x2(a2)xa1，因为x1是函数f(x)的极值点，故可得f(1)0，即2a20，解得a1.此时f(x)ex1(x2x2)ex1(x2)(x1).由f(x)0可得x2或x1；由f(x)0可得2x1，故f(x)的极大值点为x2.则f(x)的极大值为f(2)(421)e35e3.(3)设函数g(x)ln xmx，若g(x)存在两个极值点x1，x2，则实数m的取值范围为_.答案解析g(x)m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2xm0有两个不相等的正数根x1，x2.令h(x)mx2xm，0，h(0)m0，故只需满足即可，解得0m.故m的取值范围为.考点二利用导数研究函数的最值角度1求已知函数的最值例4 已知函数f(x)xln xa(x1)，求函数f(x)在区间1，e上的最小值.解f(x)xln xa(x1)，则f(x)ln x1a，由f(x)0，得xea1.所以在区间(0，ea1)上f(x)单调递减，在区间(ea1，)上f(x)单调递增.(1)当ea11，即a1时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x) 的最小值为f(1)0.(2)当1ea1e，即1a2时，f(x)在1，ea1上单调递减，在ea1，e上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ea1)aea1.(3)当ea1e，即a2时，f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)的最小值为f(e)aeae.综上，当a1时，f(x)的最小值为0；当1a2时， f(x)的最小值为aea1；当a2时，f(x)的最小值为aeae.角度2由函数的最值求参数例5 (2023·苏州模拟)函数f(x)x3x在(a，10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_.答案2，1)解析由于f(x)x21，易知f(x)在(，1)和(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增，故若函数f(x)在(a，10a2)上存在最大值，则即2a1.感悟提升(1)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.(2)若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.训练2 已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.若f(x)在区间1，4上的最小值为8，求a的值.解f(x)，a0，由f(x)0得x或x.当x(0，)和时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减.易知f(x)(2xa)20，且f()0.(1)当1，即2a0时，f(x)在1，4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a±22，均不符合题意.(2)当14，即8a2时，f(x)在1，4上的最小值为f()0，不符合题意.(3)当4，即a8时，f(x)在1，4上的最小值可能在x1或x4处取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为f(4)8，符合题意.综上，a10.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2.已知函数f(x)2ln xax23x在x2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A.2 B.C.3ln 2 D.22ln 2答案B解析f(x)2ax3，f(x)在x2处取得极小值，f(2)4a20，解得a，f(x)2ln xx23x，f(x)x3，f(x)在(0，1)，(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减，f(x)的极大值为f(1)3.3.函数f(x)在2，)上的最小值为()A. B.e2 C. D.2e答案A解析依题意f(x)(x22x3)(x3)(x1)，故函数在(2，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，故函数在x3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3).4.(2023·三湘名校联考)已知函数f(x)x3(a1)x2x1没有极值，则实数a的取值范围是()A.0，1 B.(，01，)C.0，2 D.(，02，)答案C解析由f(x)x3(a1)x2x1，得f(x)x22(a1)x1.根据题意得2(a1)240，解得0a2.5.已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.答案C解析由图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点，1bc0，84b2c0，解得b3，c2，f(x)x33x22x，f(x)3x26x2，x1，x2是方程3x26x20的两根，x1x22，x1·x2，xx(x1x2)22x1x242×.6.(2023·哈尔滨质检)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值.若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是()A.15 B.15 C.10 D.13答案D解析因为f(x)3x22ax，f(x)在x2处取得极值，所以f(2)0，即124a0，解得a3，所以f(x)3x26x.又当n1，1时，f(n)3n26n单调递增，所以当n1时，f(n)的最小值为9.当m1，1时，f(m)m33m24，f(m)3m26m，令f(m)0，得m0或m2，所以f(m)在1，0上单调递减，在0，1上单调递增，所以当m0时，f(m)最小值为4.故f(m)f(n)的最小值为4(9)13.7.(多选)(2023·烟台模拟)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当ek0时，方程f(x)k有且只有两个实根D.若xt，)时，f(x)max，则t的最小值为2答案ABC解析由f(x)0，得x2x10，x，故A正确；f(x)，当x(，1)(2，)时，f(x)0，当x(1，2)时，f(x)0，f(x)在(，1)，(2，)上单调递减，在(1，2)上单调递增，f(1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；又f(1)e，f(2)，且当x时，f(x)，x时，f(x)0，f(x)的图象如图所示，由图知C正确，D不正确.8.(2023·广州模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)_.答案sin x(答案不唯一)解析正弦函数f(x)sin x为奇函数，且存在极值.9.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.答案3解析y3x2273(x3)(x3)，当0<x<3时，y>0；当x>3时，y<0.故当x3时，该商品的年利润最大.10.(2023·福州一模)已知函数f(x)xln xmex有两个极值点，则实数m的取值范围是_.答案解析f(x)ln x1mex(x0)，令f(x)0，得m，设g(x)，则g(x)(x0)，令h(x)ln x1，则h(x)0(x0)，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0，1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0，1上单调递增；当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，若f(x)有两个极值点，只要ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，只需0m，故m0.11.已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)<0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)<h(0)0，即f(x)<0，所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.12.(2023·南充诊断改编)已知函数f(x).设实数a>0，求函数F(x)af(x)在a，2a上的最小值.解因为F(x)af(x)，所以F(x)(a>0，x>0)，令F(x)>0得0<x<e，令F(x)<0得x>e，所以F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以F(x)在a，2a上的最小值F(x)minminF(a)，F(2a).因为F(a)F(2a)ln aln(2a)ln ，所以当0<a2时，F(a)F(2a)0，F(x)minF(a)ln a.当a>2时，F(a)F(2a)>0，F(x)minF(2a)ln(2a).综上所述，当0<a2时，F(x)在a，2a上的最小值为ln a，当a>2时，F(x)在a，2a上的最小值为ln(2a).【B级能力提升】13.(2023·安徽名校联考)若直线yaxb为函数f(x)ln x图象的一条切线，则2ab的最小值为()A.ln 2 B.ln 2C.1 D.2答案B解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)，设切点坐标为(x0，y0)，则y0ln x0，所以切线方程为y(xx0)，即yx1ln x0， 与已知对照，得a，b1ln x0，所以2abln x01.构造g(t)ln t1(t0)，则g(t)，所以g(t)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以当t2时，g(t)取得最小值，为ln 2，所以(2ab)minln 2.14.(多选)已知函数f(x)xln xx2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A.0x0 B.x0C.f(x0)2x00 D.f(x0)2x00答案AD解析f(x)ln x12x，x0是f(x)的极值点，f(x0)0，即ln x012x00，f0，又f(x)单调递增，0x0，即A正确，B不正确；f(x0)2x0x0ln x0x2x0x0(ln x0x02)x0(1x0)0，即D正确，C不正确.15.(2023·宁波模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面.比如方程x2y2z21表示球面，这就是一种常见的二次曲面.二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛.已知点P(x，y，z)是二次曲面4x2xyy2z0上的任意一点，且x0，y0，z0，则当取得最小值时，的最大值为_.答案解析易知z4x2xyy2，故1213，当且仅当y2x时等号成立，则当取最小值时，.令t(x0)，f(t)，则f(t)(t0)，所以当0t2时，f(t)0，当t2时，f(t)0，故f(t)在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，故f(t)f(2).故的最大值为.16.设g(x)x3ax2(xa)cos xsin x，aR，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解因为g(x)x3ax2(xa)cos xsin x，所以g(x)x2axcos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)0，所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.(1)当a<0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa<0，g(x)>0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa>0，g(x)<0，g(x)单调递减；当x(0，)时，xa>0，g(x)>0，g(x)单调递增.所以，当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a，当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.(2)当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.(3)当a>0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa<0，g(x)>0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa<0，g(x)<0，g(x)单调递减.当x(a，)时，xa>0，g(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上，当a<0时，g(x)在(，a)和(0，)上单调递增，在(a，0)上单调递减，极大值是g(a)a3sin a，极小值是g(0)a；当a0时，g(x)在(，)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.