十三 倾斜角与斜率.docx
十三倾斜角与斜率1.经过两点A(2,1),B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是()A.(-,1)B.(-1,+)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+)【解析】选A.因为直线l的倾斜角为锐角,所以斜率k=m-11-2>0,所以m<1.2.经过A(3a,-2),B(0,a2+1)两点的直线的斜率为-43,则实数a的值为()A.1B.3C.0或1D.1或3【解析】选D.直线AB的斜率k=a2+1-(-2)0-3a=a2+3-3a=-43,整理得a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.3.在平面直角坐标系中,正ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为()A.-23B.0C.3D.23【解析】选B.如图,易知kAB=3,kAC=-3,所以kAB+kAC=0.4.已知点A(2,-1),B(3,m),若m-33-1,3-1,则直线AB的倾斜角的取值范围为()A.3,56B. 0,356,)C.3,2)(2,56D.3,2)(56,【解析】选B.设直线AB的倾斜角为,则直线AB的斜率k=m+13-2=m+1,又m-33-1,3-1,则k的取值范围为-33,3,即tan 的取值范围为-33,3,又0<,则0,356,).5.(多选题)下列说法中正确的是()A.若直线的斜率存在,则必有一个倾斜角与之对应B.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D.若直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan 【解析】选ABC.由直线的倾斜角与斜率的概念,知A,B,C说法均正确;因为倾斜角是90°的直线没有斜率,所以D说法不正确.6.(多选题)已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标可能为()A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,-3)D.(0,3)【解析】选AC.设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0,n).由kPA=1,得0+1m-2=n+10-2=1,得m=3,n=-3.故点P的坐标为(3,0)或(0,-3).7.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍,则点P的坐标为_. 【解析】设P(x,0),由条件kPA=2kPB,则8-3-x=2×142-x,解得x=-5,故P(-5,0).答案:(-5,0)8.直线l经过点(-1,0),倾斜角为150°,若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到直线l',则直线l'的倾斜角为_,斜率为_. 【解析】如图所示,因为直线l的倾斜角为150°,所以绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,所得直线l'的倾斜角=(150°+60°)-180°=30°,斜率k=tan =tan 30°=33.答案:30°339.求图中各直线的倾斜角.【解析】(1)如图,可知OAB为直线l1的倾斜角.易知ABO=30°,所以OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°.(2)如图,可知xAB为直线l2的倾斜角,易知OBA=45°,所以OAB=45°,所以xAB=135°,即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图,可知OAC为直线l3的倾斜角,易知ABO=60°,所以BAO=30°,所以OAC=150°,即直线l3的倾斜角为150°.10.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.【证明】因为A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),所以kAB=-7-(-1)-2-1=2,kAC=-3-(-1)0-1=2,所以kAB=kAC.因为直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A,所以直线AB与直线AC为同一直线.故A,B,C三点共线.11.直线l过原点(0,0),且不过第三象限,那么l的倾斜角的取值范围是()A.|0°90°B.|90°<180°C.|90°<180°或=0°D.|90°135°【解析】选C.倾斜角的取值范围为0°<180°,直线过原点且不过第三象限,故其范围为90°<180°或=0°,切勿忽略x轴和y轴.12.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.+45°B.-135°C.135°-D.当0°<135°时,倾斜角为+45°当135°<180°时,倾斜角为-135°【解析】选D.根据题意,画出图形,如图所示.A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过图形可知:当0°<135°时,l1的倾斜角为+45°当135°<180°时,l1的倾斜角为45°+-180°=-135°.13.若三点A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能构成三角形,则实数k的取值范围为_. 【解析】kAB=k-1-2-3=1-k5,kAC=1-18-3=05=0.要使A,B,C三点能构成三角形,需三点不共线,即kABkAC,所以1-k50,所以k1.答案:(-,1)(1,+)14.设直线l的斜率为k,且-1<k<1,则直线l的倾斜角的取值范围是_. 【解析】当-1<k<0时,即-1<tan <0,此时135°<<180°.当0k<1时,即0tan <1,此时0°<45°.综上知直线l的倾斜角的取值范围是|0°<45°或135°<<180°.答案:|0°<45°或135°<<180°【补偿训练】已知直线l的倾斜角的取值范围为3,34,直线l的方向向量为(2,3m),则m的取值范围为_. 【解析】易知tan 3=3,tan 34=-1,画出正切函数的图象,如图所示.当3,34时,tan (-,-13,+),由题意知k=3m2,所以3m2-1或3m23,解得m-23或m233,所以m的取值范围为(-,-23233,+).答案: (-,-23233,+)15.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1).(1)求直线AB和直线AC的斜率;(2)若点D在线段AB上移动,求直线CD的斜率的取值范围.【解析】(1)由斜率公式得kAB=1-11-(-1)=0,kAC=3+1-12-(-1)=33,即直线AB和直线AC的斜率分别为0和33.(2)设直线CD的斜率为k,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kAC增大到kBC,又kBC=3+1-12-1=3,所以k的取值范围为33,3.16.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1x1),试求y+3x+2的最大值和最小值分别为_. 【解析】如图,可知y+3x+2表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k.由已知条件,可得A(1,1),B(-1,5).易知kPAkkPB.由斜率公式得kPA=43,kPB=8,所以43k8.故y+3x+2的最大值是8,最小值是43.答案:8,43关闭Word文档返回原板块- 7 -
