考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算 (2).docx

考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算1.(2021·新高考I卷·T10)已知O为坐标原点,点P1(cos,sin),P2(cos,-sin),P3(cos(+),sin(+),A(1,0),则( )A.=B.=C.·=·D.·=·【命题意图】本题考查平面向量的基本知识,旨在考查逻辑推理与运算求解能力.【解析】选AC.对于A:|=cos2+sin2=1, |=cos2+sin2=1,所以A对;因为|=(cos-1)2+sin2=2-2cos,|=(cos-1)2+sin2=2-2cos,所以B错;因为·=(1,0)·(cos(+),sin(+)=cos(+),·=coscos-sinsin=cos(+),·=·,所以C对;而·=(1,0)·(cos,sin)=cos,·=(cos,-sin)·(cos(+),sin(+)=coscos(+)-sinsin(+)=cos(2+),所以D错.2.(2021·全国甲卷·T13)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=. 【命题意图】本题考查向量的概念以及运算法则,考查向量的垂直以及坐标运算,考查考生运算求解能力.【解析】因为|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,所以52=|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=32-2×1+b2.所以b2=18,即|b|=32.答案:323. (2021·全国甲卷·T14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若ac,则k=. 【命题意图】本题考查向量的概念以及运算法则,考查向量的垂直以及坐标运算,考查考生运算求解能力.【解析】c=(3+k,1),a·c=0,所以3(3+k)+1=0,所以k=-103.答案:-1034.(2021·全国乙卷理科·T14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-b)b,则=. 【命题意图】本题考查平面向量的基本运算,考查考生基本的运算能力.【解析】由题意得(a-b)·b=0,即15-25=0,解得=35.答案:355.(2021·全国乙卷文科·T13)已知向量a=(2,5),b=(,4),若ab,则=. 【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算.【解析】由已知,ab,则2×4=5,故=85.答案:856.(2021·浙江高考·T17)已知平面向量a,b,c(c0)满足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0.记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d-a在c方向上的投影为z,则x2+y2+z2的最小值是. 【命题意图】本题主要考查平面向量的投影概念、平面向量运算和均值不等式的应用.考查考生解决问题的综合能力.【解析】令a=(1,0),b=(0,2),c=(m,n),因为(a-b)·c=0,所以m-2n=0,故c=(2n,n).因为d在a,b方向(即x轴和y轴正方向)上的投影为x,y,所以可设d=(x,y),因为d-a在c方向上的投影为:z=(d-a)·c|c|=2x+y-25,所以2x+y-5z=2.解法一:x2+y2+z2=(2x)24+y21+(-5z)25(2x+y-5z)24+1+5=25,当且仅当2x4=y1=-5z5,2x+y-5z=2,即x=25,y=15,z=-55时“=”成立.解法二:令M(x,y,z),2x+y-5z=2为空间中一平面,M为平面上一点,O为空间直角坐标系原点,求x2+y2+z2的最小值,即求|OM|2的最小值,即求点O到平面的距离的平方.易知,平面的法向量为m=(2,1,-5),在平面上任取一点N(1,0,0),因为|OM|min=210=105,所以|OM|min2=25.【答案】257.(2021·北京新高考·T13)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+b)·c=;a·b=. 【命题意图】本题考查平面向量的线性运算、数量积,意在考查考生的数学运算素养.【解析】a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),所以(a+b)·c=0,a·b=3.答案:0 38.(2021·新高考II卷·T15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,| b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a= 【命题意图】本题考查平面向量的数量积,意在考查基本运算求解能力.【解析】由已知可得a+b+c2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2a·b+b·c+c·a=0,因此a·b+b·c+c·a=-92.答案:-92