考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差 (3).docx
考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差一、选择题1.(2020·新高考全国卷)（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量X所有可能的取值为1,2,n,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,n),i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-i=1npilog2pi,()A.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=1n(i=1,2,n),则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m),则H(X)H(Y)【命题意图】本题考查不等式的性质、离散型随机变量的分布列和利用导数研究函数的单调性,考查运算能力,体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养.【解析】选AC.当n=1时,由题意知P(X=1)=p1=1,所以H(X)=-p1log2p1=0,故A项正确;当n=2时,P(X=1)=p1,P(X=2)=p2,p1+p2=1,所以H(X)=-p1log2p1-p2log2p2,当p1=12时,p2=12,易得H(X)=1,当p1=34时,p2=14,可得:H(X)=-34log234-14log214=2-34log23<1,这就否定了H(X)随p1的增大而增大,故B项错误;当pi=1n(i=1,2,n)时,H(X)=n×(-1nlog21n)=-log21n=log2n,所以H(X)随n的增大而增大,故C项正确;因为H(X)=-(p1log2p1+p2mlog2p2m)-(p2log2p2+p2m-1log2p2m-1)-(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),H(Y)=-(p1+p2m)log2(p1+p2m)-(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)-(pm+pm+1)log2(pm+pm+1),因为(p1+p2m)log2(p1+p2m)=p1log2(p1+p2m)+p2mlog2(p1+p2m)>p1log2p1+p2mlog2p2m,同理:(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)>p2log2p2+p2m-1log2p2m-1,(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>pmlog2pm+pm+1log2pm+1.所以(p1+p2m)log2(p1+p2m)+(p2+p2m-1)log2(p2+p2m-1)+(pm+pm+1)log2(pm+pm+1)>(p1log2p1+p2mlog2p2m)+(p2log2p2+p2m-1log2p2m-1)+(pmlog2pm+pm+1log2pm+1),即-H(Y)>-H(X),所以H(X)>H(Y),故D项错误.二、 填空题 2.(2020·浙江高考·T16)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则P(=0)=;E()=. 【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的概率与数学期望等基础知识,考查基本思维能力,体现逻辑推理与数学建模等核心素养.【解析】由题知,随机取出红球的概率为14,随机取出绿球的概率为14,随机取出黄球的概率为12,的取值情况共有0,1,2,P(=0)=14+14×13=13,P(=1)=12×13+14×23×12+12×13×12=13,P(=2)=12×13×12+12×13×12+12×13×12+14×23×12=13,所以E()=1×13+2×13=1.答案:131三、解答题3.(2020·江苏高考·T23)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).【命题意图】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p1=13×1=13,q1=23×1=23.p2=13p1+23×13q1=727,q2=23p1+23×23+13×13q1=1627.(2)当n2时,pn=13pn-1+23×13qn-1=13pn-1+29qn-1,qn=23pn-1+23×23+13×13qn-1+23×(1-pn-1-qn-1)=-19qn-1+23,所以2pn+qn=13(2pn-1+qn-1)+23,则2pn+qn-1=13(2pn-1+qn-1-1),又2p1+q1-1=13,所以2pn+qn=1+13n.Xn的概率分布如下:Xn012P1-pn-qnqnpn则E(Xn)=qn+2pn=1+13n.
