第三章3.2.2第2课时　双曲线方程及性质的应用.docx

第三章 3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用【素养导引】1.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(数学建模)2.了解直线与双曲线的位置关系,能解决直线与双曲线位置关系的相关问题.(数学运算、逻辑推理)学习任务一双曲线方程的实际应用(数学建模)【典例1】青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一.如图,是一青花瓷花瓶,其外形上下对称,可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍,花瓶恰好能放入与其等高的棱长为40 cm的正方体包装箱内(箱壁的厚度不计),(1)求双曲线这部分的方程;(2)求双曲线离心率.【解析】(1)由题意作出轴截面,如图:M点是双曲线与截面正方形的交点之一,设双曲线的方程为:x2a2-y2b2=1,(a>0,b>0).由题意,瓶口直径为40 cm,最短瓶口直径为A1A2=20,所以a=10,M(20,20).故400100-400b2=1,解得b2=4003,所以双曲线这部分的方程为x2100-y24003=1(10|x|20).(2)c2=100+4003=7003,所以c=10213,所以e=213.关于双曲线的实际应用(1)建立坐标系时,应以双曲线的对称轴为x,y轴,对称中心为坐标原点建系,使求出的方程为标准方程;(2)将题目中的条件转化为双曲线的几何性质,进而转化为a,b的值,写出双曲线的标准方程,并注明变量的范围;(3)利用求出的双曲线的标准方程解决实际问题.提醒:双曲线的标准方程中的变量要根据方程和实际问题确定.景德镇陶瓷世界闻名,其中青花瓷最受大家的喜爱,如图1这个精美的青花瓷花瓶,它的颈部(图2)外形上下对称,基本可看作是离心率为343的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面,若该颈部中最细处直径为16厘米,颈部高为20厘米,求瓶口直径.【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线方程为x2a2-y2b2=1,由双曲线的性质可知:该颈部中最细处直径为实轴长,所以2a=16,可得a=8,因为离心率为343,即ca=343,可得c=343a=8343,所以b2=c2-a2=(8343)2-82=1 6009,所以双曲线的方程为x264-9y21 600=1,因为颈部高为20厘米,根据对称性可知颈部最右点纵坐标为10,将y=10代入双曲线可得x264-9×1001 600=1,解得x=±10,所以瓶口直径为20厘米.学习任务二直线与双曲线的位置关系(数学运算、逻辑推理)【典例2】已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问:A,B两点是否位于双曲线的同一支上?【解析】双曲线方程可化为x21-y23=1,故a2=1,b2=3,c2=a2+b2=4,所以c=2.所以F2(2,0),又直线l的倾斜角为45°,所以直线l的斜率k=tan 45°=1,所以直线l的方程为y=x-2,代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为x1·x2=-72<0,所以A,B两点不位于双曲线的同一支上.本例的条件不变,求|AB|.【解析】由上题可知,因为x1+x2=-2,x1·x2=-72,所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=2·(-2)2-4×(-72)=6.直线与双曲线相关的问题(1)弦长:将直线与双曲线方程联立、消元,利用公式|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2或者|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2.(2)弦的中点:将直线与双曲线方程联立、消元后利用根与系数的关系表示出中点坐标;利用“点差法”构造弦的中点、直线的斜率的关系式,代入已知条件解题.提醒:类比处理直线与椭圆的相关问题的方法.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,且过点P(2,3).(1)求C的方程;(2)若斜率为55的直线l与C交于P,Q两点,且与x轴交于点M,若Q为PM的中点,求l的方程.【解析】(1)因为e=ca=1+(ba) 2=2,所以ba=3,即b=3a.将点P的坐标代入x2a2-y23a2=1,得4a2-93a2=1,解得a2=1,故C的方程为x2-y23=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),因为Q为PM的中点,所以y1=2y2.因为直线l的斜率为55,所以可设l的方程为x=5y+t,联立x2-y23=1,x=5y+t,得14y2+65ty+3(t2-1)=0,=(65t)2-4×14×3(t2-1)=12(t2+14)>0,由根与系数的关系得y1+y2=-35t7,y1y2=3(t2-1)14.因为y1=2y2,所以y1+y2=3y2=-35t7,解得y2=-5t7,y1y2=2y22=2×(-5t7)2=3(t2-1)14,解得t2=21,即t=±21,故l的方程为x-5y±21=0.直线与双曲线的位置关系以过原点的直线和过焦点的直线为例:(1)设直线y=kx,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).当-ba<k<ba时,直线和双曲线的两支相交,有两个交点.当bak或k-ba时,直线和双曲线没有交点.(2)设过焦点F(c,0)的直线y=k(x-c),双曲线x2a2-y2b2=1.当k=±ba时,直线和双曲线相交,有一个交点.当-ba<k<ba时,直线和双曲线两支相交,有两个交点.当k<-ba或k>ba时,直线和双曲线一支相交,有两个交点.【加练备选】若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是()A.(-153,153)B.(0,153)C.(-153,0)D.(-153,-1)【解析】选D.将y=kx+2代入x2-y2=6,得,(1-k2)x2-4kx-10=0,则=16k2+40(1-k2)>0x1+x2=4k1-k2>0x1x2=-101-k2>0,解得-153<k<-1.学习任务三双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例3】1.设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2F1F2,|PF2|=163,O为坐标原点,则·=()A.-293B.163C.15D.-15【思路探求】利用双曲线的性质求出A,P的坐标,再求向量的数量积.【解析】选D.F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2F1F2,|PF2|=163,可得c=5,b2a=163,a2+b2=c2,解得a=3,b=4,则A(-3,0),P5,163,则·=-15.2.(2021·新高考I卷)在平面直角坐标系Oxy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2,记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T在直线x=12上,过点T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【思路探求】(1)根据题意知C为双曲线.结合F1(-17,0)及|MF1|-|MF2|=2,求出C的方程.(2)设AB及PQ的方程并与C的方程联合.结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,列出关于AB与PQ斜率的关系式.【解析】(1)因为|MF1|-|MF2|=2,所以轨迹C为双曲线右半支,c2=17,2a=2,所以a2=1,b2=16,所以C的方程为x2-y216=1(x>0).(2)设T12,n,设AB:y-n=k1x-12,联立y-n=k1x-12x2-y216=1,所以(16-k12)x2+(k12-2k1n)x-14k12-n2+k1n-16=0,所以x1+x2=k12-2k1nk12-16,x1x2=14k12+n2-k1n+16k12-16,|TA|=1+k12x1-12,|TB|=1+k12x2-12,所以|TA|·|TB|=(1+k12)x1-12x2-12=(n2+12)(1+k12)k12-16,设PQ:y-n=k2x-12,同理|TP|·|TQ|=(n2+12)(1+k22)k22-16,因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所以1+k12k12-16=1+k22k22-16,1+17k12-16=1+17k22-16,所以k12-16=k22-16,即k12=k22,因为k1k2,所以k1+k2=0.与双曲线有关的综合问题(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立联系求解.(2)当与直线知识综合时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.已知双曲线C:3x2-y2=3.(1)求双曲线的两条渐近线的夹角的大小;(2)设定点A(a,0)(a>0),求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值.【解题指南】(1)求出双曲线的两条渐近线方程,从而得到答案.(2)设Px,y,所以d=4x-a42+3a24-3,x(-,-11,+),然后由二次函数的性质讨论可得答案.【解析】(1)双曲线C的两条渐近线方程是y=±3x,则它们的夹角是3;(2)设Px,y为双曲线上任意一点,则3x2-y2=3,d=AP=(x-a)2+y2=4x2-2ax+a2-3,所以d=4x-a42+3a24-3,x(-,-11,+),所以二次函数y=4x2-2ax+a2-3的对称轴x=a4>0,定义域为(-,-11,+),当a41,即0<a4时,当x=1时,dmin=a-1,当a4>1,即a>4时,当x=a4时,dmin=3a24-3=3a2-122,综上所述dmin=a-1,0<a43a2-122,a>4. - 9 -