第5节 指数与对数的运算.doc

第5节指数与对数的运算考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作0.()na(nN*，且n>1).a(n为大于1的奇数).|a|(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a>0，m，nN*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.有理指数幂的运算性质arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.4.对数的概念如果axN(a>0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.5.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质alogaNN；logaabb(a>0，且a1).(2)对数的运算性质如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR).(3)换底公式：logab(a>0，且a1，b>0，c>0，且c1).常用结论换底公式的两个重要结论(1)logab(a>0，且a1；b>0，且b1).(2)logambnlogab(a>0，且a1；b>0；m，nR，且m0).【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“”或“×”)(1)4.()(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.()(3)log2x22log2x.()(4)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于4，故(1)错误.(2)当<1时，不可以，故(2)错误.(3)log2x22log2|x|，故(3)错误.(4)当M0，N0时，虽然MN0，但loga(MN)logaMlogaN不成立，故(4)错误.2.(必修一P127T5改编)设alg 2，blg 3，则log1210()A. B.C.2ab D.2ba答案A解析log1210.3.(必修一P110T8改编)已知aa3，则aa1_；a2a2_.答案747解析由aa3，得aa129，即aa17，则a2a2249，即a2a247.4.计算：022×log23log26_.答案解析原式1×log23log22log231×1.考点突破·题型剖析考点一指数幂的运算例1 (1)(2023·杭州调研)化简(a0，b0)的结果是()A. B. C. D.答案B解析a1b12ab1.(2)计算：2725631(1)0_.答案16解析原式(33)(7)2(44)14964116.感悟提升1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.训练1 (1)计算：·_(a0，b0).答案解析原式.(2)已知a2x5，则_.答案解析a2x1a2x51.考点二对数的运算例2 (1)log381log98·log232log23lg lg _.答案0解析原式log334·log32·log233lg430.(2)计算：_.答案1解析原式1.(3)已知lg 2a，lg 3b，用a，b表示log1815_.答案解析log1815.感悟提升1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a>0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.训练2 (1)(2023·豫北名校联考)已知2a7bk，若1，则k的值为()A.28 B. C.14 D.答案A解析2a7bk，alog2k，blog7k，logk2，logk7，2logk2logk7logk281，k28.故选A.(2)计算：log5352loglog5log514_.答案2解析原式log535log5log514log()2log5log2log51251log5531312.(3)计算：eln 3loglog34·log23_.答案3解析原式3log22log32·log23323.考点三指数与对数运算的实际应用角度1指数运算的实际应用例3 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：小时h)与储藏的温度t(单位：)满足的函数关系为Tektb(k，b为常数，其中e2.718 28)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0 时的有效保存时间是1 080 h，在10 时的有效保存时间是120 h，则该疫苗在15 时的有效保存时间为()A.15 h B.30 h C.40 h D.60 h答案C解析由题意知1 080eb，120e10kbe10k·eb，所以e10k(e5k)2，所以e5k，所以e15k，所以e15kbe15k·eb×1 08040(h).(2)(2020·新高考全国卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R01rT，R03.28，T6，得r0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)2I(t1)，即e0.38t22e0.38t1，所以e0.38(t2t1)2，即0.38(t2t1)ln 2，t2t11.8(天).角度2对数运算的实际应用例4 (1)(2022·临汾三模)我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将每年5月12日定为全国“防灾减灾日”.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯·里克林提出了关系式：lg E4.81.5M，其中E为地震释放出的能量，M为地震的里氏震级.已知2008年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级，2017年8月8日我国发生的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的(参考数据：21.5，31.6)()A.9.6倍 B.21.5倍 C.31.6倍 D.47.4倍答案C解析在lg E4.81.5M中，令M8，得lg E4.81.5×816.8，则E1016.8，因此汶川地震释放的能量为1016.8，令M7，得lg E4.81.5×715.3，则E1015.3，因此九寨沟地震释放的能量为1015.3，所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的101.51031.6(倍).(2)(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T220，P1 026时，二氧化碳处于液态B.当T270，P128时，二氧化碳处于气态C.当T300，P9 987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T360，P729时，二氧化碳处于超临界状态答案D解析对于A，当T220，P1 026时，lg Plg 1 026>lg 1033，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B，当T270，P128时，lg Plg 128(lg 102，lg 103)，即lg P(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C，当T300，P9 987时，lg Plg 9 987<lg 1044，且与4非常接近，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D，当T360，P729时，lg Plg 729(lg 102，lg 103)，即lg Plg 729(2，3)，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故选D.感悟提升解决指数、对数运算实际应用问题的步骤(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.训练3 (1)(2023·江西名校联考)法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“2p1(p为素数)”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，2671这个“梅森素数”的位数为(参考数据：lg 20.301)()A.19 B.20 C.21 D.22答案C解析依题意，lg(2671)lg 26767lg 267×0.30120.167，26711020.167.2671这个“梅森素数”的位数为21位.(2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为hm·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度()A.25天 B.30天 C.35天 D.40天答案B解析依题意，得解得m，a102，当h40%时，40%·at，即40%·a10·at10，解得at104(a10)2a20，于是得t1020，解得t30(天)，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.若代数式有意义，则2()A.2 B.3 C.2x1 D.x2答案B解析由有意义，得解得x2.所以x20，2x10，所以22|x2|2x1|2|x2|2x12(2x)3.2.已知lg 5a，则lg 20()A.4a B.0.6a C.2a D.2a4答案C解析lg 5a，lg 20lg lg 100lg 5lg 102lg 52lg 10lg 52a.3.(2022·浙江卷)已知2a5，log83b，则4a3b()A.25 B.5 C. D.答案C解析因为2a5，blog83，即23b3，所以4a3b.4.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：kAe，其中k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，Ea为反应活化能，A(A0)为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为k1和k2(此过程中R与Ea的值保持不变)，经计算M，若T22T1，则ln ()A. B.M C. D.2M答案A解析由题意知k1AeAeM，k2AeAeAe，e，则ln ln e.5.若log23×log36m×log96，则实数m的值为()A.4 B.6 C.9 D.12答案A解析log23×log36m×log96××××log2m，log2m2，m4.6.若2a5b10，则2()A.2 B.4 C.5 D.10答案C解析2a5b10，alog210，blog510，log25，22log255.7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为PP0ekt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 20.693，ln 51.609)()A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h答案B解析由已知得e10k，方程两边同取自然对数得ln 10k，所以k0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则e0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln 0.022 3t，解得t31.所以还需要经过311021 h使污染物减少到最初含量的50%.8.已知p，9pn，其中m0且m1，n0且n1，若2mn0，则p的值为()A.log32 B.log23 C.2 D.3答案A解析因为p，所以log3mp，得m3p，所以2mn2×3p9p2×3p(3p)20.即3p(23p)0.因为3p0，所以3p2，解得plog32.9.(0.064)2.50_.答案0解析原式1110.10.计算：log3lg 25lg 47log728_.答案解析原式log33lg 52lg 22223×2lg 52lg 2222(lg 5lg 2)22222.11.若ex2 024，ey1 012，则xy_.答案ln 2解析ex2 024，ey1 012，则2，即exy2，则xyln 2.12.(2023·长沙模拟)若alog23，3b2，则2a2a_，ab_.答案1解析2a2a2log232log233.3b2，blog32，ablog23×log32×1.【B级能力提升】13.(2023·广州测试)若0a1，b0，且abab2，则abab的值为()A.2 B.±2 C.2 D.答案A解析根据题意，由abab2，得(abab)2a2ba2b24，即a2ba2b6，则(abab)2a2ba2b2628，所以abab2(负值舍去)，故选A.14.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足TTa(T0Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度.若Ta25 ，现有一杯80 的热水降至75 大约用时1分钟，那么水温从75 降至55 ，大约还需要(参考数据：lg 30.48，lg 50.70，lg 111.04)()A.3.5分钟 B.4.5分钟C.5.5分钟 D.6.5分钟答案C解析由题意，Ta25 ，由一杯80 的热水降至75 大约用时1分钟，可得7525(8025)，所以.又水温从75 降至55 ，所以5525(7525)，即，所以，所以tlog5.5，所以水温从75 降至55 ，大约还需要5.5分钟.15.(2023·郑州调研)已知ab1，若logablogba，abba，则a2b_.答案8解析由logablogba，且logab·logba1，所以logab，logba是方程x2x10的两根，解得logba2或logba，又ab1，所以logba2，即ab2，又abba，从而b2bba，则a2b，且ab2，则b2，a4，所以a2b8.16.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与参考声强m0(m0约为1012，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即Llg ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x dm满足关系式y2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50 dm，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为_dm.答案45解析设B同学的声强为m W/m2，喷出泉水高度为x dm，则A同学的声强为10m W/m2，喷出泉水高度为50 dm，由10lg 2x，得lg mlg m00.2x，10lg 2×50，1lg mlg m010，得10.2x10，解得x45(dm)，B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm.