二十九　椭圆方程及性质的应用.docx

二十九椭圆方程及性质的应用1.已知直线l过点(3,-1)和椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线l过点(3,-1)且3225+(1)236<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆C有2个公共点.2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.y24+x23=1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1【解析】选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义:椭圆的焦点在x轴上;c=1.又离心率为ca=12,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为x24+y23=1.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P,若=2,则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.12【解析】选D.如图,因为=2,所以OA=2OF,所以a=2c,所以e=12.4.中国是世界上最古老的文明中心之一,对世界最重要的贡献之一就是发明了瓷器.中国陶瓷是世界上独一无二的,它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术.陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为()A.83B.22C.43D.4【解析】选C.由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),易知长轴长2a=8,短轴长2b=4,所以a=4,b=2,所以c=23,因此焦距为43.5.(多选题)已知椭圆C:x24+y28=1内一点M(1,2),直线l与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的是()A.椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0)B.椭圆C的长轴长42C.直线l的方程为x+y-3=0D.AB=433【解析】选BCD. 选项A,由椭圆方程知,其焦点坐标为(0,±2),错误;选项B,a2=8,即椭圆C的长轴长2a=42,正确;选项C,由题意,可设直线l为x=k(y-2)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,联立椭圆方程并整理得:(2k2+1)y2+4k(1-2k)y+8k2-8k-6=0,M为椭圆内一点,则>0,所以y1+y2=4k(2k1)2k2+1=4,可得k=-1,即直线l为x+y-3=0,正确;选项D,由C知,y1+y2=4,y1y2=103,则AB=1+k2·(y1+y2)24y1y2=433,正确.6.(多选题)若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有一个公共点,则斜率k的值可以为()A.63B.-63C.33D.-33【解析】选AB.把y=kx+2代入x23+y22=1,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知=0,所以k2=23,所以k=±63.7.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_. 【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为2a=4;最短弦为垂直于长轴的弦,因为c=1,将x=1代入x24+y23=1,得124+y23=1,解得y2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.答案:4,38.已知F1为椭圆C:x22+y2=1的左焦点,直线l:y=x-1与椭圆C交于A,B两点,那么|F1A|+|F1B|的值为_. 【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),由x2+2y2=2,y=x1,消去y,得3x2-4x=0.所以A(0,-1),B43,13.所以|AB|=423,所以|F1A|+|F1B|=4a-|AB|=42-423=823.答案:8239.点M(x,y)与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是12,求点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状.【解析】设d是点M到直线x=8的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P=M|MF|d=12,由此得(x2)2+y2|8x|=12.将上式两边平方,并化简,得3x2+4y2=48,即点M的轨迹方程为x216+y212=1,轨迹是焦点在x轴上的椭圆.10.已知椭圆C的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上一点,且到两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若已知直线y=x+m,当m为何值时,直线与椭圆C有公共点?【解析】(1)因为椭圆的焦点是F1(-2,0)和F2(2,0),椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6,所以设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以c=2,a=3,所以b2=a2-c2=32-(2)2=7,所以所求的椭圆方程为x29+y27=1.(2)由x29+y27=1,y=x+m得16x2+18mx+9m2-63=0,由=(18m)2-4×16(9m2-63)0,得m216,则-4m4,所以当m-4,4时,直线与椭圆C有公共点.11.若AB是过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAM·kBM=()A.-c2a2B.-b2a2C.-c2b2D.-a2b2【解析】选B.设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),kAM·kBM=y0y1x0x1·y0+y1x0+x1=y02y12x02x12=b2a2x02+b2+b2a2x12b2x02x12=-b2a2.12.(多选题)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论正确的是()A.卫星向径的取值范围是a-c,a+cB.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小【解析】选ABD.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是a-c,a+c,A正确;由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等,当卫星在左半椭圆弧运行时,由面积守恒规律知时间更长,B正确;aca+c=1e1+e=21+e-1,当比值越大,则e越小,椭圆轨道越圆,C错误;根据面积守恒规律可知,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,D正确.13.已知A(2,2)是椭圆x2m+y24=1上一点,F是椭圆的右焦点,设点F到直线x=4的距离为d,则m=_,|AF|d=_. 【解析】A(2,2)是椭圆x2m+y24=1上一点,代入可得4m+24=1,解得m=8.所以c=a2b2=2,所以F(2,0).所以|AF|=(22)2+(20)2=2.点F到直线x=4的距离为d=2,|AF|d=22.答案:82214.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)及点B(0,a),过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A,F为椭圆的右焦点,则ABF=_. 【解析】由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+a(k>0),与椭圆方程联立得y=kx+a,x2a2+y2b2=1,消去y,整理得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a4-a2b2=0,由=4a6k2-4(b2+a2k2)·(a4-a2b2)=0,得k=ca,从而y=cax+a.因为直线交x轴的负半轴于点A,所以A-a2c,0.又F(c,0),所以=-a2c,-a,=(c,-a),则·=0,故ABF=90°.答案:90°15.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,下顶点为B,过A,O,B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为32,-12.(1)求椭圆的方程;(2)已知点M在x轴正半轴上,过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N,若BMN=60°,求点M的坐标.【解析】(1)依题意知A(a,0),B(0,-b),因为AOB为直角三角形,所以过A,O,B三点的圆的圆心为斜边AB的中点,所以a2=32,-b2=-12,即a=3,b=1,所以椭圆的方程为x23+y2=1;(2)由(1)知B(0,-1),依题意知直线BN的斜率存在且小于0,设直线BN的方程为y=kx-1(k<0),则直线BM的方程为y=-1kx-1,由x2+3y2=3,y=kx1.消去y得(1+3k2)x2-6kx=0,解得xN=6k1+3k2,yN=kxN-1,所以|BN|=xN2+(yN+1)2=xN2+k2xN2=1+k2|xN|,所以|BN|=1+k2·6|k|1+3k2,在y=-1kx-1中,令y=0得x=-k,即M(-k,0),所以|BM|=1+k2,在RtMBN中,因为BMN=60°,所以|BN|=3|BM|,即1+k2·6|k|1+3k2=3·1+k2,整理得3k2-23|k|+1=0,解得|k|=33,因为k<0,所以k=-33,所以点M的坐标为33,0.16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=55,则椭圆方程为_,若直线l交椭圆于M,N两点,且BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,则直线l的方程为_. 【解析】由题意得b=4,又e2=c2a2=a2b2a2=1-16a2=15,解得a2=20.所以椭圆的方程为x220+y216=1.所以椭圆右焦点F的坐标为(2,0),设线段MN的中点为Q(x0,y0),由三角形重心的性质知=2,从而(2,-4)=2(x0-2,y0),解得x0=3,y0=-2,所以点Q的坐标为(3,-2).设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=6,y1+y2=-4,且x1220+y1216=1,x2220+y2216=1,以上两式相减得(x1+x2)(x1x2)20+(y1+y2)(y1y2)16=0,所以kMN=y1y2x1x2=-45·x1+x2y1+y2=-45×64=65,故直线l的方程为y+2=65(x-3),即6x-5y-28=0.答案:x220+y216=16x-5y-28=0 - 9 -