第二章 §2.6　指数与指数函数.docx

§2.6指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用知识梳理1根式(1)如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且nN*.(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(3)()na.当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂正数的正分数指数幂，(a>0，m，nN*，n>1)正数的负分数指数幂，(a>0，m，nN*，n>1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3指数幂的运算性质arasars；(ar)sars；(ab)rarbr(a>0，b>0，r，sR)4指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a>0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)，即x0时，y1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(，)上是增函数在(，)上是减函数常用结论1指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.2如图所示是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数yax(a>0且a1)的图象越高，底数越大思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)4.(×)(2)2a·2b2ab.(×)(3)函数y3·2x与y2x1都不是指数函数()(4)若am<an(a>0，且a1)，则m<n.(×)教材改编题1化简的结果为()A5 B.C D5答案B解析原式.2函数f(x)ax12(a>0且a1)的图象恒过定点_答案(1,3)3已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_答案c<b<a解析yx是R上的减函数，>>0，即a>b>1，又c<01，c<b<a.题型一指数幂的运算例1(1)(2022·沧州联考)(a>0，b>0)_.答案解析原式.(2)若3(x>0)，则_.答案解析由3，两边平方，得xx17，再平方得x2x247，x2x2245.(x1x1)3×(71)18.教师备选(2022·杭州模拟)化简(a>0，b>0)的结果是()A. B. C. D.答案B解析ab1.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加运算的先后顺序(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数跟踪训练1(1)已知a>0，则化为()A BC D答案B解析原式.(2)计算：0_.答案8解析原式1|3|2341388.题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a2 022b，下列等式可以成立的是()Aab0 Ba<b<0C0<a<b D0<b<a答案ABD解析如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或ab0，故选ABD.(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点b的取值范围是(0,2)教师备选在同一直角坐标系中，指数函数yx，二次函数yax2bx的图象可能是()答案B解析指数函数yx的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象二次函数yax2bx(axb)x，有零点，0.A，B选项中，指数函数yx在R上单调递增，故>1，故A错误，B正确C，D选项中，指数函数yx在R上单调递减，故0<<1，故C，D错误思维升华(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解跟踪训练2(1)(2022·吉林模拟)已知函数f(x)(xa)(xb)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是()答案A解析由图象可知，b<1,0<a<1，所以函数g(x)axb是减函数，g(0)1b<0，所以选项A符合(2)(2022·哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(xa)<1成立，则a的取值范围是()A(，) B(，1)C. D(，1)答案B解析由题设知，x>0使xa<ex成立，令yxa，y1ex，x>0时有y1ex(0,1)，而yxa(a，)，当a<1时，x>0，使得ex(xa)<1成立题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(1)(2022·永州模拟)若a0.30.7，b0.70.3，c1.20.3，则a，b，c的大小关系是()Aa>b>c Bc>b>aCb>c>a Da>c>b答案B解析函数y0.3x在R上是减函数，0<0.30.7<0.30.3<0.301，又幂函数yx0.3在(0，)上单调递增，03<0.7，0<0.30.3<0.70.3，0<a<b<1，而函数y1.2x是R上的增函数，c1.20.3>1.201，c>b>a.(2)(2020·全国)若2x2y<3x3y，则()Aln(yx1)>0 Bln(yx1)<0Cln|xy|>0 Dln|xy|<0答案A解析设函数f(x)2x3x.因为函数y2x与y3x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增原式等价于2x3x<2y3y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即yx>0，所以A正确，B不正确因为|xy|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确命题点2解简单的指数方程或不等式例4(1)(2022·长岭模拟)已知y4x3·2x3的值域为1,7，则x的取值范围是()A2,4 B(，0)C(0,1)2,4 D(，01,2答案D解析y4x3·2x3的值域为1,7，14x3·2x37.12x1或22x4.x0或1x2.(2)当0<x<时，方程ax(a>0且a1)有解，则实数a的取值范围是_答案(4，)解析依题意，当x时，yax与y有交点，作出y的图象，如图，所以解得a>4.命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_答案(，4解析令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t是增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4教师备选1(多选)下列各式比较大小正确的是()A1.72.5>1.73 B.C1.70.3>0.93.1 D.答案BCD解析y1.7x为增函数，1.72.5<1.73，故A不正确；，yx为减函数，故B正确；1.70.3>1，而0.93.1(0,1)，1.70.3>0.93.1，故C正确；yx为减函数，又y在(0，)上单调递增，故D正确2(2022·泸州模拟)已知函数f(x)ex，若f(a2)f(a2)0，则实数a的取值范围是_答案2,1解析因为f(x)ex，定义域为R，f(x)exexf(x)，所以f(x)ex为奇函数又因为f(x)ex在R上为增函数，所以f(a2)f(a2)0f(a2)f(a2)f(a2)f(a2)，即a2a2，a2a20，解得2a1.思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练3(1)设m，nR，则“m<n”是“mn>1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析mn>1，即mn>0，mn<0，m<n.故“m<n”是“mn>1”的充要条件(2)已知函数f(x)，若f(x)有最大值3，则a的值为_答案1解析令g(x)ax24x3，则f(x)g(x)，f(x)有最大值3，g(x)有最小值1，则解得a1.课时精练1(2022·佛山模拟)已知a，b，c，则()Ac<b<a Ba<b<cCb<a<c Dc<a<b答案A解析因为a，b，所以a>b，因为b，c，则b>c.综上所述，a>b>c.2若函数f(x)axb的图象如图所示，则()Aa>1，b>1 Ba>1,0<b<1C0<a<1，b>1 D0<a<1,0<b<1答案D解析根据图象，函数f(x)axb是单调递减的，所以指数函数的底数a(0,1)，根据图象的纵截距，令x0，y1b(0,1)，解得b(0,1)，即a(0,1)，b(0,1)3(2022·福建三明一中检测)函数f(x)ax(a>0，a1)在区间1,2上的最大值是最小值的2倍，则a的值是()A.或 B.或2C. D2答案B解析当a>1时，函数单调递增，f(x)max2f(x)min，f(2)2f(1)，a22a，a2；当0<a<1时，函数单调递减，f(x)max2f(x)min，f(1)2f(2)，a2a2，a，综上所述，a2或a.4(2020·新高考全国)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A1.2天 B1.8天 C2.5天 D3.5天答案B解析由R01rT，R03.28，T6，得r0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)2I(t1)，即，所以2，即0.38(t2t1)ln 2，所以t2t11.8.5(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数yax(a>0且a1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()答案ABD解析由图可得a12，即a2，yaxx单调递减，且过点(1,2)，故A正确；yxax2为偶函数，在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增，故B正确；ya|x|2|x|为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y|logax|log2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确6(多选)如果函数ya2x2ax1(a>0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A. B2C3 D.答案AC解析令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a>1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0<a<1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax2214，解得a (负值舍去)综上知a3或a.7已知a>0，b>0，则 _.答案 1解析1.8已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是_答案3,0)解析当0x4时，f(x)8,1，当ax<0时，f(x)，所以8,1，即8<1，即3a<0.所以实数a的取值范围是3,0)9已知函数f(x)b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a>0，所以a2，b3.所以f(x)3·2x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均单调递减，所以yxx在(，1上也单调递减，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.10已知定义域为R的函数f(x)ax(k1)ax(a>0且a1)是奇函数(1)求实数k的值；(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m22)f(m)>0，求实数m的取值范围解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)a0(k1)a01(k1)0，k2，经检验k2符合题意，所以k2.(2)f(x)axax(a>0且a1)，f(1)<0，a<0，又a>0，且a1，0<a<1，而yax在R上单调递减，yax在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)axax在R上单调递减，不等式f(m22)f(m)>0可化为f(m22)>f(m)，m22<m，即m2m2<0，解得2<m<1，实数m的取值范围是(2,1)11已知0<a<b<1，则()A>(1a)bB(1a)b>C(1a)a>(1b)bD(1a)a>(1b)b答案D解析因为0<a<1，所以0<1a<1，所以y(1a)x是减函数，又0<b<1，所以>b，b>，所以<(1a)b，(1a)b<，所以A，B均错误；又1<1a<1b，所以(1a)a<(1b)a<(1b)b，所以C错误；因为0<1b<1a<1，所以(1a)a>(1a)b>(1b)b，所以D正确12(多选)(2022·南京模拟)若直线y2a与函数y|ax1|(a>0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是()A. B. C. D2答案AB解析当a>1时，由图象得0<2a<1，0<a<，a>1，此种情况不存在；当0<a<1时，由图象得0<2a<1，0<a<，0<a<1，0<a<.13(2022·大连模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，也称取整函数，例如：3.74，2.32.已知f(x)，则函数yf(x)的值域为()A0 B1,0C2，1,0 D1,0,1答案C解析f(x)，ex>0，ex1>1，0<<2，2<<0，f(x)，f(x)为2或1或0.14(2022·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(x0)f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”设f(x)3xm1(mR，m0)是定义在1,1上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)3xm1是定义在1,1上的“倒戈函数”，存在x01,1满足f(x0)f(x0)，m1m1，2m2，构造函数y2，x01,1，令t，t，yt22在上单调递增，在(1,3上单调递减，t1取得最大值0，t或t3取得最小值，y，2m<0，m<0.15(2022·重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增，且对xR，有f(f(x)2x)3，则f(log43)_.答案1解析根据题意，对xR，有f(f(x)2x)3，又f(x)是定义在R上的增函数，在R上存在常数a使得f(a)3，f(x)2xa，f(a)2aa3，解得a1，f(x)2x1，f(log43)11.16(2022·上海模拟)已知函数f(x)2xa·2x(a为常数，aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)k·f(x)3在x0,1上有实根，求实数k的取值范围解(1)函数f(x)2xa·2x的定义域为xR，又f(x)2xa·2x，当f(x)f(x)，即2xa·2x2xa·2x时，可得a1，即当a1时，函数f(x)为偶函数；当f(x)f(x)，即2xa·2x(2xa·2x)2xa·2x时，可得a1，即当a1时，函数f(x)为奇函数(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a1，即f(x)2x2x，f(2x)22x22x(2x2x)22，由题可得，(2x2x)22k(2x2x)3(2x2x)2k(2x2x)50，令t2x2x，则有t2kt50，x0,1，2x1,2，根据对勾函数的性质可知，2x2x，即t，方程t2kt50在t上有实数根，则kt，令(t)t，(t)在上单调递增，且(2)，k，实数k的取值范围是.