第三章 §3.5 利用导数研究恒(能)成立问题.docx
§3.5利用导数研究恒(能)成立问题题型一分离参数求参数范围例1(2022·北京模拟)已知函数f(x)(x2)exax2ax(aR)(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当x2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解(1)当a0时，f(x)(x2)ex，f(0)(02)e02，f(x)(x1)ex，kf(0)(01)e01，所以切线方程为y2(x0)，即xy20.(2)方法一当x2时，f(x)0恒成立，等价于当x2时，(x2)exax2ax0恒成立即a(x2)ex在2，)上恒成立. 当x2时，0·a0，所以aR.当x>2时，x2x>0，所以a恒成立设g(x)，则g(x)，因为x>2，所以g(x)>0，所以g(x)在区间(2，)上单调递增所以g(x)>g(2)e2，所以ae2. 综上所述，a的取值范围是(，e2方法二f(x)(x1)(exa)，当a0时，因为x2，所以x1>0，exa>0，所以f(x)>0，则f(x)在2，)上单调递增，f(x)f(2)0成立当0<ae2时，f(x)0，所以f(x)在2，)上单调递增，所以f(x)f(2)0成立当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f(x)<0；在区间(ln a，)上，f(x)>0，所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，f(x)0不恒成立，不符合题意综上所述，a的取值范围是(，e2教师备选(2022·重庆模拟)已知函数f(x)(m1)xmln xm，f(x)为函数f(x)的导函数(1)讨论f(x)的单调性；(2)若xf(x)f(x)0恒成立，求m的取值范围解(1)f(x)x(m1)，当m0，x(0,1)时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)单调递增当0<m<1，x(0，m)时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x(m,1)时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)>0，f(x)单调递增当m1，x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增当m>1，x(0,1)时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x(1，m)时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x(m，)时，f(x)>0，f(x)单调递增(2)由题意知xf(x)f(x)0恒成立，即mln x0恒成立，mln x.当x1时，mln x恒成立，当x>1时，m；当0<x<1时，m.令g(x)，则g(x)，当0<x<1时，g(x)<0，g(x)单调递减且g(x)<0，x0时，0，m0.当x>1时，令g(x)0，得x，当1<x<时，g(x)<0，g(x)单调递减，当x>时，g(x)>0，g(x)单调递增，g(x)g()e，me.综上知0me.思维升华分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题(2)af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min；af(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.跟踪训练1已知函数f(x)xln x(x>0)(1)求函数f(x)的极值；(2)若存在x(0，)，使得f(x)成立，求实数m的最小值解(1)由f(x)xln x，得f(x)1ln x，令f(x)>0，得x>；令f(x)<0，得0<x<.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增所以f(x)在x处取得极小值，且为f ，无极大值(2)由f(x)，得m.问题转化为mmin.令g(x)2ln xx(x>0)则g(x)1.由g(x)>0，得x>1；由g(x)<0，得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(x)ming(1)4，则m4.故m的最小值为4.题型二等价转化求参数范围例2已知函数f(x)ex1axln x(aR)(1)若函数f(x)在x1处的切线与直线3xy0平行，求a的值；(2)若不等式f(x)ln xa1对一切x1，)恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)ex1a，f(1)2a3，a1，经检验a1满足题意，a1，(2)f(x)ln xa1可化为ex1axa10，x>0，令(x)ex1axa1，则当x1，)时，(x)min0，(x)ex1a，当a时，(x)>0，(x)在1，)上单调递增，(x)min(1)1aa100恒成立，a符合题意当a>时，令(x)0，得xln a1.当x(0，ln a1)时，(x)<0，当x(ln a1，)时，(x)>0，(x)在(0，ln a1)上单调递减，在(ln a1，)上单调递增当ln a11，即<a1时，(x)在1，)上单调递增，(x)min(1)00恒成立，<a1符合题意当ln a1>1，即a>1时，(x)在1，ln a1)上单调递减，在(ln a1，)上单调递增，(x)min(ln a1)<(1)0与(x)0矛盾故a>1不符合题意综上，实数a的取值范围为(，1教师备选(2022·衡阳模拟)已知函数f(x)ax2ln x(aR)(1)讨论f(x)的单调性(2)若存在x(1，)，f(x)>a，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax，当a0时，f(x)>0，则f(x)在(0，)上单调递增，当a>0时由f(x)0，得x，由f(x)>0，得x，由f(x)<0，得x，于是有f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由f(x)>a，得a(x21)ln x<0，x(1，)，ln x<0，x21>0，当a0时，a(x21)ln x<0，满足题意；当a时，令g(x)a(x21)ln x(x>1)，g(x)>0，g(x)在(1，)上单调递增，则g(x)>g(1)0，不符合题意，当0<a<时，由g(x)>0，得x，由g(x)<0，得x，于是有g(x)在上单调递减，在上单调递增，g(x)ming<g(1)0，则当0<a<时，x(1，)，g(x)<0，综上，a的取值范围为.思维升华根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解跟踪训练2已知函数f(x)x2(a2)xaln x.(1)当a>2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x1，)，使f(x)<a成立，求实数a的取值范围解(1)x>0，f(x)2x(a2)，又>1，当f(x)>0时，0<x<1或x>，当f(x)<0时，1<x<，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为.(2)存在x1，)使f(x)<a成立a>f(x)min.由(1)可得，当a>2时，f(x)minf aaln<a，即ln<2，令t，(t)ln t(t>1)，(t)(t>1)，(t)在(1,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，(t)max(2)ln 21<2恒成立，即当a>2时，不等式恒成立；(另解：当a>2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf <f(1)1a<a.)当a2时，f(x)在x1，)上单调递增，f(x)minf(1)a1<a，a>，<a2，综合得，实数a的取值范围为.题型三双变量的恒(能)成立问题例3设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM成立g(x)3x22xx(3x2)，令g(x)0，得x0或x，g，又g(0)3，g(2)1，当x0,2时，g(x)maxg(2)1，g(x)ming，M1，满足条件的最大整数M为4.(2)对任意的s，t有f(s)g(t)，则f(x)ming(x)max.由(1)知当x时，g(x)maxg(2)1，当x时，f(x)xln x1恒成立，即axx2ln x恒成立令h(x)xx2ln x，x，h(x)12xln xx，令(x)12xln xx，(x)32ln x<0，h(x)在上单调递减，又h(1)0，当x时，h(x)0，当x1,2时，h(x)0，h(x)在上单调递增，在1,2上单调递减，h(x)maxh(1)1，故a1.实数a的取值范围是1，)教师备选已知函数f(x)(xR)，a为正实数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x1，x20,4，不等式|f(x1)f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)(xR)，所以f(x)(xR)，因为a>0，所以令f(x)>0，得0<x<3；令f(x)<0，得x<0或x>3.所以f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(，0)和(3，)(2)由(1)知f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减，所以f(x)在0,4上的最大值是f(3).又f(0)a<0，f(4)11ae4>0，所以f(0)<f(4)，所以f(x)在0,4上的最小值为f(0)a.若x1，x20,4，不等式|f(x1)f(x2)|<1恒成立，则需f(x)maxf(x)min<1在x0,4上恒成立，即f(3)f(0)<1，即a<1，解得a<.又a>0，所以0<a<.故实数a的取值范围为.思维升华“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有(1)x1，x2D，f(x1)>g(x2)f(x)min>g(x)max.(2)x1D1，x2D2，f(x1)>g(x2)f(x)min>g(x)min.(3)x1D1，x2D2，f(x1)>g(x2)f(x)max>g(x)max.跟踪训练3设f(x)xex，g(x)x2x.(1)令F(x)f(x)g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x21，)，且x1>x2，有mf(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为F(x)f(x)g(x)xexx2x，所以F(x)(x1)(ex1)，令F(x)>0，解得x>1，令F(x)<0，解得x<1，所以F(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，故F(x)minF(1).(2)因为任意x1，x21，)，且x1>x2，有mf(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，所以mf(x1)g(x1)>mf(x2)g(x2)恒成立，令h(x)mf(x)g(x)mxexx2x，x1，)，即只需h(x)在1，)上单调递增即可故h(x)(x1)(mex1)0在1，)上恒成立，故m，而e，故me，即实数m的取值范围是e，)课时精练1(2022·大同模拟)已知函数f(x)x(mex1)(1)当m1时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)当x>0时，f(x)x22x，求实数m的取值范围解(1)当m1时，f(x)x(ex1)，则f(1)e1，由f(x)ex1xex可得，f(1)2e1.所以函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(2e1)(x1)，即(2e1)xye0.(2)由x(mex1)x22x及x>0，得m.令g(x)(x>0)，则g(x)，当x(0,2)时，g(x)>0；当x(2，)时，g(x)<0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以x2是g(x)的极大值点，也是g(x)的最大值点，即g(x)maxg(2).所以m，故m的取值范围为.2(2022·长春模拟)设函数f(x)x2(a2)xaln x(aR). (1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)1恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)2x(a2)(x>0)，又f(3)40，所以a6，经检验符合条件，所以f(x)，令f(x)>0，有0<x<1或x>3；令f(x)<0，有1<x<3，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，(3，)，单调递减区间是(1,3)(2)由题意f(x)1f(x)min1，当a0时，令f(x)>0，有x>1；令f(x)<0，有0<x<1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)a1，所以a11，即a2，当a>0时，0<<1，即0<a<2时，存在f(1)a1<0；>1，即a>2时，存在f(1)a1<0；1，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，存在f(1)3<0，可知a>0时，f(x)1不恒成立综上，a2.3(2022·沈阳模拟)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，当x>0时，f(x)x2sin x，g(x)是定义在(0，)上的函数，且g(x)ax2(a>0)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于x11,1，x2(0，)，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)设x<0，则x>0，所以f(x)x2sin x，又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)x2sin x，又f(0)0，所以f(x)(2)由题意得f(x)min>g(x)min.当x0,1时，f(x)2xcos x>0，所以f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)minf(0)0；当x1,0)时，f(x)2xcos x>0，所以f(x)在1,0)上单调递增，所以f(x)minf(1)1sin 1<0，所以f(x)min1sin 1.对于g(x)，因为a>0，x>0，所以ax222，当且仅当ax，即x时等式成立所以g(x)min22，所以1sin 1>22，整理得a<，所以实数a的取值范围是.4(2022·昆明联考)已知函数f(x)eaxx.(1)若曲线yf(x)在点(0，f(0)处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)eaxln xax2对x(0，e恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)aeax1，则f(0)a11，即a2.f(x)2e2x1，令f(x)0，得x.当x<时，f(x)<0；当x>时，f(x)>0.故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)由f(x)eaxln xax2，x(0，e，即ax2xeax(ln x1)，有，故仅需即可设函数g(x)，则等价于g(eax)g(x)g(x)，当x(0，e时，g(x)>0，则g(x)在(0，e上单调递增，当x(0，e时，g(eax)g(x)等价于eaxx，即a恒成立设函数h(x)，x(0，e，则h(x)0，即h(x)在(0，e上单调递增，h(x)maxh(e)，则a即可，a的取值范围为.
