第一章 §1.5　一元二次方程、不等式.docx

§1.5一元二次方程、不等式考试要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法知识梳理1二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式b24ac>00<0二次函数yax2bxc(a>0)的图象方程ax2bxc0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x<x1，或x>x2Rax2bxc<0(a>0)的解集x|x1<x<x22.分式不等式与整式不等式(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(，a)(a，)，|x|<a(a>0)的解集为(a，a)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)若方程ax2bxc0无实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2bxc>0的解集为(x1，x2)，则a<0.()(3)若ax2bxc>0恒成立，则a>0且<0.(×)(4)不等式0等价于(xa)(xb)0.(×)教材改编题1若集合Ax|x29x>0，Bx|x22x3<0，则AB等于()ARBx|x>1Cx|x<3或x>9Dx|x<1或x>3答案C解析Ax|x>9或x<0，Bx|1<x<3，ABx|x<3或x>92若关于x的不等式ax2bx2>0的解集为，则ab_.答案14解析依题意知解得ab14.3一元二次不等式ax2ax1<0对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析依题意知即4<a<0.题型一一元二次不等式的解法命题点1不含参的不等式例1(1)不等式2x2x3<0的解集为()A.B.C.D.答案C解析2x2x3<0可化为2x2x3>0，即(x1)(2x3)>0，x<1或x>.(2)(多选)已知集合M，集合N，则()AMBNCMNDMN答案ACD解析由题设可得M1,3，N(1,4，故A正确，B错误；MNx|1x4，故C正确；而MNx|1<x3，故D正确命题点2含参的不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x1<0(a>0)解原不等式变为(ax1)(x1)<0，因为a>0，所以(x1)<0.所以当a>1时，解得<x<1；当a1时，解集为；当0<a<1时，解得1<x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a>1时，不等式的解集为.延伸探究在本例中，把a>0改成aR，解不等式解当a>0时，同例2，当a0时，原不等式等价于x1<0，即x>1，当a<0时，<1，原不等式可化为(x1)>0，解得x>1或x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为，当a1时，不等式的解集为，当a>1时，不等式的解集为，当a0时，不等式的解集为x|x>1，当a<0时，不等式的解集为.教师备选解关于x的不等式x2ax10.解由题意知，a24，当a24>0，即a>2或a<2时，方程x2ax10的两根为x，原不等式的解为x.若a240，则a±2.当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1；当a2时，原不等式可化为x22x10，即(x1)20，x1.当a24<0，即2<a<2时，原不等式的解集为.综上，当a>2或a<2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当a2时，原不等式的解集为1；当2<a<2时，原不等式的解集为.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类(2)根据判别式与0的关系判断根的个数(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论跟踪训练1(1)(多选)已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|x3或x4，则下列说法正确的是()Aa>0B不等式bxc>0的解集为x|x<4C不等式cx2bxa<0的解集为Dabc>0答案AC解析关于x的不等式ax2bxc0的解集为(，34，)，所以二次函数yax2bxc的开口方向向上，即a>0，故A正确；对于B，方程ax2bxc0的两根分别为3,4，由根与系数的关系得解得bxc>0ax12a>0，由于a>0，所以x<12，所以不等式bxc>0的解集为，故B不正确；对于C，由B的分析过程可知所以cx2bxa<012ax2axa<012x2x1>0x<或x>，所以不等式cx2bxa<0的解集为，故C正确；对于D，abcaa12a12a<0，故D不正确(2)解关于x的不等式(x1)(axa1)>0.解当a0时，原不等式可化为x1>0，即x>1；当a0时，(x1)(axa1)0的两根分别为1,1.当a>0时，1<1，原不等式的解为x>1或x<1.当a<0时，1>1，原不等式的解为1<x<1.综上，当a0时，原不等式的解集为x|x>1；当a>0时，原不等式的解集为；当a<0时，原不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒(能)成立问题命题点1在R上恒成立问题例3(2022·漳州模拟)对xR，不等式(a2)x22(a2)x4<0恒成立，则a的取值范围是()A2<a2 B2a2Ca<2或a2 Da2或a2答案A解析不等式(a2)x22(a2)x4<0对一切xR恒成立，当a20，即a2时，4<0恒成立，满足题意；当a20时，要使不等式恒成立，需即有解得2<a<2.综上可得，a的取值范围为(2,2命题点2在给定区间上恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)<5m恒成立，则实数m的取值范围为_答案解析要使f(x)<m5在x1,3上恒成立，即m2m6<0在x1,3上恒成立有以下两种方法：方法一令g(x)m2m6，x1,3当m>0时，g(x)在1,3上单调递增，所以g(x)maxg(3)，即7m6<0，所以m<，所以0<m<；当m0时，6<0恒成立；当m<0时，g(x)在1,3上单调递减，所以g(x)maxg(1)，即m6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m的取值范围是.方法二因为x2x12>0，又因为m(x2x1)6<0在x1,3上恒成立，所以m<在x1,3上恒成立令y，因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m<即可所以m的取值范围是.命题点3给定参数范围的恒成立问题例5(2022·宿迁模拟)若不等式x2px>4xp3，当0p4时恒成立，则x的取值范围是()A1,3B(，1C3，)D(，1)(3，)答案D解析不等式x2px>4xp3可化为(x1)px24x3>0，由已知可得(x1)px24x3min>0(0p4)，令f(p)(x1)px24x3(0p4)，可得x<1或x>3.教师备选函数f(x)x2ax3.若当x2,2时，f(x)a恒成立，则实数a的取值范围是_若当a4,6时，f(x)0恒成立，则实数x的取值范围是_答案7,2(，33，)解析若x2ax3a0在x2,2上恒成立，令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a<6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是7,2令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，)思维升华恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数一般情况下，求谁的范围，谁就是参数(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论跟踪训练2(1)已知关于x的不等式x24xa23a在R上有解，则实数a的取值范围是()Aa|1a4 Ba|1<a<4Ca|a4或a1 Da|4a1答案A解析因为关于x的不等式x24xa23a在R上有解，即x24xa23a0在R上有解，只需yx24xa23a的图象与x轴有公共点，所以(4)24×(a23a)0，即a23a40，所以(a4)(a1)0，解得1a4，所以实数a的取值范围是a|1a4(2)当x(1,2)时，不等式x2mx4<0恒成立，则m的取值范围是()A(，4 B(，5)C(，5 D(5，4)答案C解析令f(x)x2mx4，当x(1,2)时，f(x)<0恒成立，即解得m5.课时精练1不等式912x4x2的解集为()AR BC. D.答案C解析原不等式可化为4x212x90，即(2x3)20，2x30，x，原不等式的解集为.2(2022·揭阳质检)已知p：|2x3|<1，q：x(x3)<0，则p是q的()A充要条件B充分不必要条件C既不充分也不必要条件D必要不充分条件答案B解析p：|2x3|<1，则1<2x3<1，可得p：1<x<2，又q：x(x3)<0，由x(x3)<0，可得q：0<x<3，可得p是q的充分不必要条件3(2022·南通模拟)不等式(m1)x2mxm1<0的解集为，则m的取值范围是()Am<1 BmCm Dm或m答案B解析不等式(m1)x2mxm1<0的解集为，不等式(m1)x2mxm10恒成立当m10，即m1时，不等式化为x20，解得x2，不是对任意xR恒成立，舍去；当m10，即m1时，对任意xR，要使(m1)x2mxm10，只需m1>0且(m)24(m1)(m1)0，解得m.综上，实数m的取值范围是m.4(2022·合肥模拟)不等式x2ax40对一切x1,3恒成立，则a的最小值是()A5 B C4 D3答案C解析x1,3时，x2ax40恒成立，则a恒成立，又x1,3时，x24，当且仅当x2时取等号4，a4.故a的最小值为4.5(多选)满足关于x的不等式(axb)(x2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是()A(2，1) B(3，6)C(2,4) D.答案AD解析不等式(axb)(x2)>0的解集为，方程(axb)(x2)0的实数根为和2，且即a2b<0，故选AD.6(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2axb>0(a>0)的解集是x|xd，则下列四个结论中正确的是()Aa24bBa24C若不等式x2axb<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0D若不等式x2axb<c的解集为(x1，x2)，且|x1x2|4，则c4答案ABD解析由题意，知a24b0，所以a24b，所以A正确；对于B，a2a224，当且仅当a2，即a时等号成立，所以B正确；对于C，由根与系数的关系，知x1x2b<0，所以C错误；对于D，由根与系数的关系，知x1x2a，x1x2bcc，则|x1x2|24，解得c4，所以D正确7不等式>1的解集为_答案(1,4)解析>1，1>0，即>0，即1<x<4.原不等式的解集为(1,4)8一元二次方程kx2kx10有一正一负根，则实数k的取值范围是_答案(，0)解析kx2kx10有一正一负根，解得k<0.9已知关于x的不等式x2axb>0.(1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值；(2)若ba1，求此不等式的解集解(1)根据题意得解得a2，b8.(2)当ba1时，x2axb>0x2ax(a1)<0，即x(a1)(x1)<0.当a11，即a2时，原不等式的解集为；当a1<1，即a<2时，原不等式的解集为(a1，1)；当a1>1，即a>2时，原不等式的解集为(1，a1)综上，当a<2时，不等式的解集为(a1，1)；当a2时，不等式的解集为；当a>2时，不等式的解集为(1，a1)10若二次函数f(x)ax2bxc(a0)，满足f(x2)f(x)16x且f(0)2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x1,2，使不等式f(x)>2xm成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)2，得c2，所以f(x)ax2bx2(a0)，由f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)2(ax2bx2)4ax4a2b，又f(x2)f(x)16x，得4ax4a2b16x，所以故a4，b8，所以f(x)4x28x2.(2)因为存在x1,2，使不等式f(x)>2xm成立，即存在x1,2，使不等式m<4x210x2成立，令g(x)4x210x2，x1,2，故g(x)maxg(2)2，所以m<2，即m的取值范围为(，2)11(多选)已知函数f(x)4ax24x1，x(1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是()A0 B1 C2 D3答案CD解析因为f(x)4ax24x1，所以f(0)1<0成立当x(1,0)(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<4x1，所以4a<min，当x(1,0)(0,1)时，(，1)(1，)，所以244，当且仅当x时，等号成立，所以4a<4，解得a<1.12(2022·南京质检)函数ylg(c2xx2)的定义域是(m，m4)，则实数c的值为_答案3解析依题意得，一元二次不等式x22xc>0，即x22xc<0的解集为(m，m4)，所以m，m4是方程x22xc0的两个根，所以解得m1，c3.13若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_答案4,3解析原不等式为(xa)(x1)0，当a<1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a<1；当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1<a3，综上可得4a3.14若不等式x2ax2>0在1,5上有解，则a的取值范围是_答案解析对于方程x2ax20，a28>0，方程x2ax20有两个不相等的实数根，又两根之积为负，必有一正根一负根，设f(x)x2ax2，于是不等式x2ax2>0在1,5上有解的充要条件是f(5)>0，即5a23>0，解得a>.故a的取值范围是.15(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2(2a1)x2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析令x2(2a1)x2a0，解得x1或x2a.当2a>1，即a>时，不等式x2(2a1)x2a<0的解集为x|1<x<2a，则3<2a4，解得<a2；当2a1，即a时，不等式x2(2a1)x2a<0无解，所以a不符合题意；当2a<1，即a<时，不等式x2(2a1)x2a<0的解集为x|2a<x<1，则22a<1，解得1a<.综上，a的取值范围是.16已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)<0的解集是(0,5)(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(2)若对于任意x1,1，不等式t·f(x)2恒成立，求t的取值范围解(1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根，可得解得所以f(x)2x210x.不等式组即解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5k7，解得2k<1，所以k的取值范围是2，1)(2)tf(x)2，即t(2x210x)2，即tx25tx10，当t0时显然成立，当t>0时，有即解得t，所以0<t；当t<0时，函数ytx25tx1在1,1上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t5t10，解得t，即t<0，综上，t的取值范围是.