第七章 §7.2　球的切、接问题　培优课.docx

§7.2球的切、接问题题型一定义法例1(1)已知ABC90°，PA平面ABC，若PAABBC1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为()A B. C2 D.答案D解析如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PABC，又因为ABBC，PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB，所以BCPB，在RtPBC中，OBPC，同理OAPC，所以OAOBOCPC，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在RtABC中，AC.在RtPAC中，PC，球O的半径RPC，所以球的体积为3.延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体PABC的内切球的半径为_答案解析设四面体PABC的内切球半径为r.由本例(1)知，SPACPA·AC×1×，SPABPA·AB×1×1，SABCAB·BC×1×1，SPBCPB·BC××1，VPABC×AB·BC·PA××1×1×1，VPABC(SPACSPABSABCSPBC)·r·r，r.(2)在矩形ABCD中，BC4，M为BC的中点，将ABM和DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若APD150°，则三棱锥MPAD的外接球的表面积为()A12 B34C68 D126答案C解析如图，由题意可知，MPPA，MPPD.且PAPDP，PA平面PAD，PD平面PAD，所以MP平面PAD.设ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得2r，即2r，所以r4.设三棱锥MPAD的外接球的半径为R，则(2R)2PM2(2r)2，即(2R)246468，所以4R268，所以外接球的表面积为4R268.思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可跟踪训练1(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为_答案解析设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有正六棱柱的底面外接圆的半径r，球心到底面的距离d.外接球的半径R1.V球.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，其中AD1，AB2，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，则四棱锥PABCD的外接球表面积为()A. B. C. D.答案A解析如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAPD，取AD的中点E，则PEAD，PE平面ABCD，则PEAB，由ADAB，ADPEE，AD，PE平面PAD，可知AB平面PAD，由PAD为等边三角形，E为AD的中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球的球心OIEFPE×，AOAC，设外接球半径为R，则R2AI2AO2OI222，所以四棱锥PABCD的外接球表面积为S4R24×.题型二补形法例2(1)在四面体ABCD中，若ABCD，ACBD2，ADBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A2 B4 C6 D8答案C解析由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2y23，x2z25，y2z24，则有(2R)2x2y2z26(R为外接球的半径)，得2R23，所以外接球的表面积为S4R26.(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE平面ABCD，AB2，BCCE1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为_，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为_答案6解析如图添加的三棱锥为直三棱锥EADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADFBCE，因为CE平面ABCD，AB2，BCCE1，所以SCBECE×BC×1×1，直三棱柱ADFBCE的体积为VSEBC·DC×21，添加的三棱锥的体积为V；如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADFBCE中，CE平面ABCD，FD平面ABCD，即ECBFDA90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，连接DO，DO即为球的半径，连接DM，因为DMAF，MO1，所以DO2DM2MO21，所以外接球的表面积为4·DO26.思维升华(1)补形法的解题策略侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；直三棱锥补成三棱柱求解(2)正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.跟踪训练2已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA1，PB2，PC3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A. B14 C56 D.答案B解析以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PABBCAPC被平面ABC所截的三棱锥PABC符合要求，如图，长方体PABBCAPC与三棱锥PABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP，设外接球的半径为R，则(2R)2PP2PA2PB2PC212223214，则所求表面积S4R2·(2R)214.题型三截面法例3(1)(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥OABC的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图所示，因为ACBC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB.连接OO1，则OO1平面ABC，OO1，所以三棱锥OABC的体积VSABC×OO1××1×1×.(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_答案解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB中，PAPB3，D为AB的中点，AB2，E为切点，则PD2，PEOPDB，故，即，解得r，故内切球的体积为3.思维升华(1)与球截面有关的解题策略定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的(2)正四面体的外接球的半径Ra，内切球的半径ra，其半径Rr31(a为该正四面体的棱长)跟踪训练3(1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为()A4 B8 C12 D16答案B解析如图所示，设球O的半径为R，由球的体积公式得R3，解得R2.设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，则r2cos ，圆柱的高为4sin ，圆柱的侧面积为4cos ×4sin 8sin 2，当且仅当，sin 21时，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积的最大值为8.(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_答案解析易知AC10.设ABC的内切圆的半径为r，则×6×8×(6810)·r，所以r2.因为2r4>3，所以最大球的直径2R3，即R，此时球的体积VR3.课时精练1正方体的外接球与内切球的表面积之比为()A. B3C3 D.答案C解析设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R，所以R，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r1，即r，所以，正方体的外接球与内切球的表面积之比为3.2(2022·开封模拟)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为()A36 B48C36 D24答案A解析设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为的扇形，得2r×2，解得r2.作出圆锥的轴截面如图所示设圆锥的高为h，则h4.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R，则有R，即R，解得R3，所以该圆锥的外接球的体积为36.3已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A16 B20C24 D32答案A解析如图所示，在正四棱锥PABCD中，O1为底面对角线的交点，O为外接球的球心VPABCD×S正方形ABCD×36，所以S正方形ABCD6，即AB.因为O1C.设正四棱锥外接球的半径为R，则OCR，OO13R，所以(3R)2()2R2，解得R2.所以外接球的表面积为4×2216.4已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A. B. C. D.答案A解析如图将棱长为1的正四面体B1ACD1放入正方体ABCDA1B1C1D1中，且正方体的棱长为1×cos 45°，所以正方体的体对角线AC1，所以正方体外接球的直径2RAC1，所以正方体外接球的体积为R3×3，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为.5(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为13，则这两个圆锥的体积之和为()A3 B4 C9 D12答案B解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为31，即AD3BD，设球的半径为R，则，可得R2，所以ABADBD4BD4，所以BD1，AD3，因为CDAB，AB为球的直径，所以ACDCBD，所以，所以CD，因此，这两个圆锥的体积之和为×CD2·(ADBD)×3×44.6(2022·蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：2.45，3.14)()A20 cm3 B22 cm3C26 cm3 D30 cm3答案C解析如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1并延长交AC于F，易知O1为ABC的中心，点F为边AC的中点易得BFa，则SABCa2，BO1BFa，DO1a，VDABC·SABC·DO1a3，VDABCVOABCVOBCDVOABDVOACD4VOABC4××a2·ra2r，a2ra3ra，球O的体积V·3·3×2.45×3.1426(cm3)7(多选)已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA平面ABC，PA6，ABAC，AB2，AC2，点D为AB的中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是()A. B C9 D13答案BCD解析三棱锥PABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，2R2，R，取BC的中点O1，O1为ABC的外接圆圆心，OO1平面ABC，如图当OD截面时，截面的面积最小，OD2，此时截面圆的半径为r1，截面面积为r2，当截面过球心时，截面圆的面积最大为R213，故截面面积的取值范围是，138(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为1，则下列说法中正确的是()A正方体的外接球的表面积为12B正方体的内切球的体积为C正方体的棱长为2D线段MN的最大值为2答案ABC解析设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.M，N分别为外接球和内切球上的动点，MNminaa1，解得a2，即正方体的棱长为2，正方体外接球的表面积为4×()212，内切球体积为，则A，B，C正确；线段MN的最大值为1，则D错误9已知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA1，SBSC2，则三棱锥SABC的外接球的半径是_答案解析如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R，则(2R)21222229，4R29，R.即这个外接球的半径是.10已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为_答案1解析如图，过点P作PD平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE.因为ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为ABC的中心因为ABBC2，所以SABC3，DE1，PE.所以S三棱锥表3××2×333.因为PD1，所以三棱锥的体积V×3×1.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，由S三棱锥表·r，得r1.11等腰三角形ABC的腰ABAC5，BC6，将它沿高AD翻折，使二面角BADC成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为_答案解析由题意，设BCD所在的小圆为O1，半径为r，又因为二面角BADC为60°，即BDC60°，所以BCD为边长为3的等边三角形，由正弦定理可得，2r2，即DE2，设外接球的半径为R，且AD4，在RtADE中，(2R)2AD2DE24R242(2)228，所以R，所以外接球的体积为VR3×()3.12已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若ABAC1，AA12，BAC，则球O的体积为_答案解析设ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O平面ABC，ABAC1，AA12，BAC，2r2，即O1A1，O1OAA1，OA2，即直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径R2，V球×23.