第四章 §4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ).docx

§4.6函数yAsin(x)考试要求1.结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义；能借助图象理解参数，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型知识梳理1简谐运动的有关概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0振幅周期频率相位初相ATfx2.用“五点法”画yAsin(x)(A>0，>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点x02xyAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A>0，>0)的图象的两种途径常用结论1函数yAsin(x)k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”2由ysin x到ysin(x)(>0，>0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度3函数yAsin(x)图象的对称轴由xk，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)把ysin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为ysin x.(×)(2)将ysin 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin的图象()(3)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.(×)(4)如果yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.()教材改编题1为了得到函数ysin的图象，只要把ysin 3x的图象()A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向左平移个单位长度答案C2为了得到y3cos的图象，只需把y3cos图象上的所有点的()A纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D横坐标缩短到原来的，纵坐标不变答案D3如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，A>0,0<<，则这段曲线的函数解析式为_答案y10sin20，x6,14解析从题图中可以看出，从614时的图象是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A×(3010)10，b×(3010)20，又×146，所以.又×102k，kZ，0<<，所以，所以y10sin20，x6,14.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(1)(2021·全国乙卷)把函数yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数ysin的图象，则f(x)等于()Asin BsinCsin Dsin答案B解析依题意，将ysin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以ysinysin的图象f(x)sin的图象(2)(2022·天津二中模拟)将函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数ycos的图象，则等于()A. B.C. D.答案C解析ysin 2xcos.将函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数ycoscoscos，由题意知22k(kZ)，则k(kZ)，又0<，所以.教师备选1要得到函数ycos的图象，可以把函数ysin的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案D解析函数ycossinsinsin，所以只需将ysin的图象向左平移个单位长度就可以得到ycos的图象2(2020·江苏)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_答案x解析将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y3sin3sin.令2xk，kZ，得对称轴的方程为x，kZ，分析知当k1时，对称轴为直线x，与y轴最近思维升华(1)由ysin x的图象到ysin(x)的图象的变换：向左平移(>0，>0)个单位长度而非个单位长度(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，为负时应先变成正值跟踪训练1(1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f(x)sin.下列结论正确的是()Af(x)的最小正周期为2Bf 是f(x)的最大值C把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf(x)的图象D把函数yf(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)sin的图象答案AC解析T2，故A正确当x2k(kZ)，即x2k(kZ)时，f(x)取得最大值，故B错误ysin x的图象ysin的图象，故C正确f(x)sin图象上所有点的g(x)sin的图象，故D错误(2)(2022·开封模拟)设>0，将函数ysin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则的最小值为()A3 B6 C9 D12答案D解析将函数ysin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，故为函数ysin的周期，即(kN*)，则12k(kN*)，故当k1时，取得最小值12.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2(1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)Acos(x)b的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析依题意，解得故f(x)2cos(x)1，而f 1，f 1，故T，则2；2cos11，故2k(kZ)，又|<，故，f(x)2cos1；将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y2cos1，再向左平移个单位长度，得到g(x)2cos12cos1，令2kx2k(kZ)，故3kx3k(kZ)，故函数g(x)的单调递增区间为(kZ)(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)2cos (x)的部分图象如图所示，则f _.答案解析由题意可得，T，T，2，当x时，x2×2k，kZ，2k(kZ)令k1可得，据此有f(x)2cos，f 2cos2cos .教师备选1(2022·天津中学月考)把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)等于()Asin BsinCsin Dsin答案D解析先根据函数图象求函数g(x)Asin(x)的解析式，由振幅可得A1，显然，所以T，所以，所以2，所以g(x)sin(2x)，再由gsin0，由|<可得，所以g(x)sin，反向移动先向左平移个单位长度可得sinsin，再将横坐标伸长到原来的2倍可得f(x)sin.2.已知函数f(x)Acos(x)(A>0，>0,0<<)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)_.答案解析由题意得，A，T4，.又因为f(x)Acos(x)为奇函数，所以k，kZ，由0<<，取k0，则，所以f(x)cos，所以f(1).思维升华确定yAsin(x)b(A>0，>0)的步骤和方法(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求.确定函数的最小正周期T，则.(3)求，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入跟踪训练2(1)(2020·全国改编)设函数f(x)cos在，上的图象大致如图，则f(x)的解析式为()Af(x)cosBf(x)cosCf(x)cosDf(x)cos答案B解析由图象知<T<2，即<<2，所以1<|<2.因为图象过点，所以cos0，所以k，kZ，所以k，kZ.因为1<|<2，故k1，得，所以f(x)cos.(2)(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则_，为了得到偶函数yg(x)的图象，至少要将函数yf(x)的图象向右平移_个单位长度答案6解析由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T2×6(2)16，则f(x)2sin，由于函数f(x)的图象过点(2,0)且在x2附近单调递增，2×2k(kZ)，可得2k(kZ)，<<，f(x)2sin，假设将函数f(x)的图象向右平移t个单位长度可得到偶函数g(x)的图象，且g(x)f(xt)2sin2sin，k(kZ)，解得t28k(kZ)，t>0，当k1时，t取最小值6.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3(2022·衡阳模拟)若函数f(x)2sin(x)的最小正周期为，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象()A关于直线x对称B关于点对称C关于直线x对称D关于点对称答案D解析依题意可得2，所以f(x)2sin(2x)，所以f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)2sin，又函数g(x)为偶函数，所以k，kZ，解得k，kZ，又|<，所以，所以f(x)2sin，由2xk，kZ，得x，kZ，所以f(x)图象的对称轴为x，kZ，排除A，C，由2xk，kZ，得x，kZ，则f(x)图象的对称中心为，kZ，排除B，当k1时，故D正确命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_答案(2，1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根y和ysin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_答案2,1)解析同例题知，的取值范围是，2m<1，m的取值范围是2,1)命题点3三角函数模型例5(多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t15时，游客随舱旋转至距离地面最远处以下关于摩天轮的说法中，正确的为()A摩天轮离地面最近的距离为4米B若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h60cos t68C若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1t2的最小值为30Dt1，t20,20，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米答案BC解析由题意知，摩天轮离地面最近的距离为1281208(米)，故A不正确；t分钟后，转过的角度为t，则h6060cos t860cos t68，故B正确；h60cos t68，周期为30，由余弦型函数的性质可知，若t1t2取最小值，则t1，t20,30，又高度相等，则t1，t2关于t15对称，则15，则t1t230，故C正确；令0t，解得0t15，令t2，解得15t30，则h在t0,15上单调递增，在t15,20上单调递减，当t15时，hmax128，当t20时，h60cos ×206898>90，所以h90在t0,20只有一个解，故D不正确教师备选(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()A点P第一次到达最高点需要20秒B当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h4cos2答案ABC解析设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为hAsin(t)B，由题意得解得故h4sin2.故D错误；对于A，令h6，即h4sin26，解得t20，故A正确；对于B，令t155，代入h4sin2，解得h2，故B正确；对于C，令t50，代入h4sin2，解得h2，故C正确思维升华(1)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题跟踪训练3(1)(多选)(2022·青岛模拟)已知函数f(x)cos 2xcos sin 2xsin 的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是()A直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴B函数f(x)在上单调递减C函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到ycos 2x的图象D函数f(x)在上的最小值为1答案ABD解析f(x)cos 2xcos sin 2xsin cos(2x)的图象的一个对称中心为，2×k，kZ，k，kZ.0<<，.则f(x)cos.f coscos 1，直线x是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；当x时，2x，函数f(x)在上单调递减，故B正确；函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到ycoscos的图象，故C错误；当x时，2x，函数f(x)在上的最小值为cos 1，故D正确(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足yf(t)Rsin(t)，则下列叙述正确的是()A水斗作周期运动的初相为B在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3D当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6答案AD解析对于A，由A(3，3)，知R6，T120，所以；当t0时，点P在点A位置，有36sin ，解得sin ，又|<，所以，故A正确；对于B，可知f(t)6sin，当t(0,60，t，所以函数f(t)先增后减，故B错误；对于C，当t(0,60，t，sin，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当t100时，t，P的纵坐标为y3，横坐标为x3，所以|PA|33|6，故D正确课时精练1函数f(x)2cos的振幅、初相分别是()A2， B2，C2， D2，答案C解析振幅为2，当x0时，即初相为.2将函数f(x)sin的图象，向右平移个单位长度后得到函数g(x)的解析式为()Ag(x)sin 2xBg(x)sinCg(x)sinDg(x)sin答案C解析向右平移个单位长度后得，g(x)sinsin.3(2022·苏州模拟)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则f 等于()A B.C1 D.答案D解析因为函数f(x)sin(x)的最小正周期为，所以2，所以f(x)sin(2x)，图象向左平移个单位长度后所得函数为ysinsin，因为ysin是偶函数，所以k(kZ)，所以k(kZ)，因为|<，所以k0，所以f(x)sin，所以f sinsin .4(2022·天津五十七中月考)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为()A. B.C. D.答案A解析根据函数f(x)Asin(x)的部分图象，可得A1，·，2.结合“五点法”作图可得2×，f(x)sin.将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得ysin的图象再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)sinsin的图象令2kx2k，kZ，解得4kx4k，kZ，可得函数g(x)的单调递增区间为，kZ，令k0，可得一个单调递增区间为.5(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)(sin xcos x)Cf(x)sin xDf(x)sin x答案AD解析f(x)sin xcos xsin与f(x)sin x经过平移后能够重合6(多选)(2022·深圳模拟)设函数f(x)sin的图象为曲线E，则下列结论中正确的是()A.是曲线E的一个对称中心B若x1x2，且f(x1)f(x2)0，则|x1x2|的最小值为C将曲线ysin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合D将曲线ysin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线E重合答案BD解析函数f(x)sin的图象为曲线E，令x，求得f(x)1，为最小值，故f(x)的图象关于直线x对称，故A错误；若x1x2，且f(x1)f(x2)0，则|x1x2|的最小值为×，故B正确；将曲线ysin 2x向右平移个单位长度，可得ysin的图象，故C错误；将曲线ysin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得ysin的图象，与曲线E重合，故D正确7(2022·北京丰台区模拟)将函数f(x)cos 2x的图象向左平移(>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象若函数g(x)的图象关于原点对称，则的一个取值为_(答案不唯一)答案解析将函数f(x)cos 2x的图象向左平移(>0)个单位长度，可得g(x)cos(2x2)，由函数g(x)的图象关于原点对称，可得g(0)cos 20，所以2k，kZ，kZ，当k0时，.8(2022·济南模拟)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的_倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移_个单位长度(本题所填数字要求为正数)答案2解析曲线C1：ycos xsinsin，先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线ysin向右至少平移个单位长度9已知函数f(x)Asin(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在0，上的图象(要列表)；(3)函数yf(x)的图象可由函数ysin x的图象经过怎样的变换得到？解(1)因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为当x时，f(x)取得最大值2，所以A2，同时2×2k，kZ，2k，kZ，因为<<，所以，所以f(x)2sin.(2)因为x0，所以2x.列表如下，2x2x0f(x)120201描点、连线得图象(3)将ysin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数ysin的图象，再将ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin的图象，再将ysin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)2sin的图象10已知向量m，n(cos x，cos 2x)，函数f(x)m·n.(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期；(2)将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的值域解(1) f(x)m·nsin xcos xcos 2x sin 2xcos 2xsin.所以函数的最大值为1，最小正周期为T.(2)由(1)得f(x)sin.将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后得到ysinsin的图象因此g(x)sin，又x，所以2x，sin.故g(x)在上的值域为.11函数f(x)Asin(x)b的图象如图，则f(x)的解析式和Sf(0)f(1)f(2)f(2 020)f(2 021)f(2 022)f(2 023)的值分别为()Af(x)sin 2x1，S2 023Bf(x)sin 2x1，S2 023Cf(x)sin x1，S2 024Df(x)sin x1，S2 024答案D解析由图象知又T4，b1，A，f(x)sin1.由f(x)的图象过点得sin1，cos 1.2k，kZ，取k0得0.f(x)sin x1，f(0)f(1)f(2)f(3)4.又2 0244×506，S4×5062 024.12(多选)关于函数f(x)2cos2xcos1的描述正确的是()A其图象可由ysin 2x的图象向左平移个单位长度得到Bf(x)在上单调递增Cf(x)在0，上有3个零点Df(x)在上的最小值为答案AD解析f(x)2cos2xcos1sin 2xcos 2xsin，对于A，由ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得到ysinsin，故选项A正确；对于B，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确；对于C，令f(x)0，得2xk，kZ，解得x，kZ，因为x，所以k1，x；k2，x，所以f(x)在0，上有2个零点，故选项C不正确；对于D，因为x，所以2x，所以sin，所以f(x)，所以f(x)在上的最小值为，故选项D正确13(2022·上海市吴淞中学月考)定义运算a1a4a2a3，将函数f(x)(>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是_答案解析f(x)cos xsin x2sin，图象向左平移个单位长度得，g(x)2sin，g(x)为奇函数，则k，kZ，解得k，kZ，所以的最小值为.14据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为_元答案6 000解析作出函数简图如图三角函数模型为yAsin(x)B，由题意知A×(9 0005 000)2 000，B×(9 0005 000)7 000，T2×(93)12，.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3，0，故f(x)2 000sin x7 000(1x12，xN*)f(7)2 000×sin 7 0006 000(元)故7月份的出厂价格为6 000元15(多选)将函数f(x)cos(>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)1，则下列说法正确的是()Ag(x)为奇函数Bg0C当5时，g(x)在(0，)上有4个极值点D若g(x)在上单调递增，则的最大值为5答案BCD解析由题意得g(x)cossin.因为g(0)1，所以sin1，所以2k，4k1，kN，从而g(x)sincos x，显然为偶函数，故A错误；gcos 0，故B正确；当5时，g(x)cos 5x，令g(x)cos 5x±1得5xk，x，kZ.因为0<x<，所以x的值为，即函数g(x)在(0，)上有4个极值点，故C正确；若函数g(x)cos x在上单调递增，则，即0<5，故D正确16(2022·深圳模拟)已知函数f(x)Asin(x)，其中A>0，>0,0<<，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x处取到最小值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；(3)若关于x的方程g(x)m2在x上有两个不同的实根，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)Asin(x)，其中A>0，>0,0<<，由题知函数f(x)的最小正周期为，解得4，又函数f(x)在x处取到最小值2，则A2，且f 2，即2k，kZ，令k0可得，f(x)2sin.(2)函数f(x)2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y2sin，再向左平移个单位长度可得g(x)2sin2cos 2x，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，g(x)的单调递增区间为(kZ)(3)方程g(x)m2在x上有两个不同的实根，作出函数g(x)2cos 2x，x的图象，由图可知2<m2或m22，解得4<m2或m0.m的取值范围为4<m2或m0.