第三章 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算.docx

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(axb)的导数知识梳理1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数记作f(x0)或.f(x0)  .(2)函数yf(x)的导函数f(x) .2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，且0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a>0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a>0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有f(x)±g(x)f(x)±g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)；cf(x)cf(x)5复合函数的定义及其导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积常用结论1区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条2.(f(x)0)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线(×)(3)f(x0)f(x0).(×)(4)若f(x)sin (x)，则f(x)cos (x)(×)教材改编题1函数f(x)ex在x1处的切线方程为_答案y(e1)x2解析f(x)ex，f(1)e1，又f(1)e1，切点为(1，e1)，切线斜率kf(1)e1，即切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2.2已知函数f(x)xln xax22，若f(e)0，则a_.答案解析f(x)1ln x2ax，f(e)2ae20，a.3若f(x)ln(1x)e1x，则f(x)_.答案e1x题型一导数的运算例1(1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是()A.B(x2ex)2xexC.sinD.1答案AD解析·(ln x)，故A正确；(x2ex)(x22x)ex，故B错误；2sin，故C错误；1，故D正确(2)函数f(x)的导函数为f(x)，若f(x)x2fsin x，则f _.答案解析f(x)2xfcos x，ff，f，f .教师备选1函数ysin 2xcos 2x的导数y等于()A2cosBcos 2xsin xCcos 2xsin 2xD2cos答案A解析y2cos 2x2sin 2x2cos.2(2022·济南模拟)已知函数f(x)exsin xexcos x，则f(2 021)f(0)等于()Ae2 021cos 2 021 Be2 021sin 2 021C. De答案B解析因为f(x)exsin xexcos x，所以f(x)exsin xk(k为常数)，所以f(2 021)f(0)e2 021sin 2 021.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元跟踪训练1(1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)xg(x)x21，且f(1)1，则f(1)g(1)等于()A1 B2 C3 D4答案C解析当x1时，f(1)g(1)0，f(1)1，得g(1)1，原式两边求导，得f(x)g(x)xg(x)2x，当x1时，f(1)g(1)g(1)2，得f(1)g(1)2g(1)2(1)3.(2)已知函数f(x)ln(2x3)axex，若f(2)1，则a_.答案e2解析f(x)·(2x3)aexax·(ex)aexaxex，f(2)2ae22ae22ae21，则ae2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2021·全国甲卷)曲线y在点(1，3)处的切线方程为_答案5xy20解析y，所以y|x15，所以切线方程为y35(x1)，即5xy20.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·青岛模拟)直线ykx1与曲线f(x)aln xb相切于点P(1,2)，则2ab等于()A4 B3 C2 D1答案A解析直线ykx1与曲线f(x)aln xb相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入ykx1，可得k12，解得k1， f(x)aln xb， f(x)，由f(1)1，解得a1，可得f(x)ln xb，P(1,2)在曲线f(x)ln xb上，f(1)ln 1b2，解得b2，故2ab224.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线yaex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由yaex，若切点为(x0，)，则切线方程的斜率k>0，切线方程为y(xx01)，又P(1，e)在切线上，(2x0)e，即(2x0)有两个不同的解，令(x)ex(2x)，(x)(1x)ex，当x(，1)时，(x)>0；当x(1，)时，(x)<0，(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，(x)max(1)e，又x时，(x)0；x时，(x)，0<<e，解得a>1，即实数a的取值范围是(1，)教师备选1已知曲线f(x)x3x3在点P处的切线与直线x2y10垂直，则P点的坐标为()A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1，3)答案C解析设切点P(x0，y0)，f(x)3x21，又直线x2y10的斜率为，f(x0)3x12，x1，x0±1，又切点P(x0，y0)在yf(x)上，y0xx03，当x01时，y03；当x01时，y03.切点P为(1,3)或(1,3)2(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线yln xx2(1a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是()A2，) B4，)C(，2 D(，4答案C解析因为yln xx2(1a)x，所以yx1a，因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，所以ytan 1对于任意的x>0恒成立，即x1a1对任意x>0恒成立，所以xa，又x2，当且仅当x，即x1时，等号成立，故a2，所以a的取值范围是(，2思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线yxm与曲线yex2n相切，则()Amn为定值 B.mn为定值Cmn为定值 Dmn为定值答案B解析设直线yxm与曲线yex2n切于点(x0，)，因为yex2n，所以1，所以x02n，所以切点为(2n,1)，代入直线方程得12nm，即mn.(2)若函数f(x)ln x2x2ax的图象上存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析直线2xy0的斜率k2，又曲线f(x)上存在与直线2xy0平行的切线，f(x)4xa2在(0，)内有解，则a4x2，x>0.又4x24，当且仅当x时取“”a422.a的取值范围是2，)题型三两曲线的公切线例4(1)(2022·邯郸模拟)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax(aR)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于()A0 B1 C3 D1或3答案D解析由f(x)xln x求导得f(x)1ln x，则f(1)1ln 11，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为yx1，因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2(a1)x10有两个相等的实数根，因此(a1)240，解得a1或a3，所以a1或a3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：yax2(a>0)与曲线C2：yex存在公共切线，则a的取值范围为_答案解析由yax2(a>0)，得y2ax，由yex，得yex，曲线C1：yax2(a>0)与曲线C2：yex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点(x1，ax)，与曲线C2切于点(x2，)，则2ax1可得2x2x12，a，记f(x)，则f(x)，当x(0,2)时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x(2，)时，f(x)>0，f(x)单调递增当x2时，f(x)min.a的取值范围是.延伸探究在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为_答案解析由本例(2)知，两曲线C1与C2存在两条公共切线，a有两个不同的解函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，且f(x)minf(2)，又x0时，f(x)，x时，f(x)，a>.教师备选1若f(x)ln x与g(x)x2ax两个函数的图象有一条与直线yx平行的公共切线，则a等于()A1 B2 C3 D3或1答案D解析设在函数f(x)ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k1，解得x1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为yx1，此切线和g(x)x2ax也相切，故x2axx1，化简得到x2(a1)x10，只需要满足(a1)240，解得a1或a3.2已知曲线yex在点(x1，)处的切线与曲线yln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x11)(x21)等于()A1 B2 C1 D2答案B解析已知曲线yex在点(x1，)处的切线方程为y(xx1)，即曲线yln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yx1ln x2，由题意得得x2，x11ln x211x1，则.又x2，所以x2，所以x211，所以(x11)(x21)2.思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解跟踪训练3(1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)2x2m，g(x)3ln xx，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A2 B5 C1 D0答案C解析根据题意，设两曲线yf(x)与yg(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)2x2m，可得f(x)4x，则切线的斜率为kf(a)4a，由g(x)3ln xx，可得g(x)1，则切线的斜率为kg(a)1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以4a1，解得a1或a(舍去)，又由g(1)1，即公共点的坐标为(1，1)，将点(1，1)代入f(x)2x2m，可得m1.(2)已知f(x)ex(e为自然对数的底数)，g(x)ln x2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_答案yex或yx1解析设直线l与f(x)ex的切点为(x1，y1)，则y1，f(x)ex，f(x1)，切点为(x1，)，切线斜率k，切线方程为y(xx1)，即y·xx1，同理设直线l与g(x)ln x2的切点为(x2，y2)，y2ln x22，g(x)，g(x2)，切点为(x2，ln x22)，切线斜率k，切线方程为y(ln x22)(xx2)，即y·xln x21，由题意知，与相同，把代入有x11，即(1x1)(1)0，解得x11或x10，当x11时，切线方程为yex；当x10时，切线方程为yx1，综上，直线l的方程为yex或yx1.课时精练1(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是()A(x2)2xB(xcos x)cos xxsin xC(ln 10)D(e2x)2ex答案B解析(x2)2x3，A错；(xcos x)cos xxsin x，B对；(ln 10)0，C错；(e2x)2e2x，D错2(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y2cos xsin x在(，2)处的切线方程为()Axy20 Bxy20Cxy20 Dxy20答案D解析y2sin xcos x，当x时，k2sin cos 1，所以在点(，2)处的切线方程，由点斜式可得y21×(x)，化简可得xy20.3(2022·长治模拟)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)等于()A1 B0 C2 D4答案B解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)13×0.4已知点A是函数f(x)x2ln x2图象上的点，点B是直线yx上的点，则|AB|的最小值为()A. B2C. D.答案A解析当与直线yx平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线yx的距离为|AB|的最小值f(x)2x1，解得x1或x(舍去)，又f(1)3，所以切点C(1,3)到直线yx的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min.5设曲线f(x)aexb和曲线g(x)cos c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则bca的值为()A0 B C2 D3答案D解析f(x)aex，g(x)sin ，f(0)a，g(0)0，a0，又M(0,2)为f(x)与g(x)的公共点，f(0)b2，g(0)1c2，解得c1，bca2103.6(2022·邢台模拟)设点P是函数f(x)2exf(0)xf(1)图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析f(x)2exf(0)xf(1)，f(x)2exf(0)，f(0)2f(0)，f(0)1，f(x)2exxf(1)，f(x)2ex1>1.点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，tan >1.0，)，.7.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()Af(3)>f(2)Bf(3)<f(2)Cf(3)f(2)>f(3)Df(3)f(2)<f(2)答案BCD解析f(x0)的几何意义是f(x)在xx0处的切线的斜率由图知f(2)>f(3)>0，故A错误，B正确设A(2，f(2)，B(3，f(3)，则f(3)f(2)kAB，由图知f(3)<kAB<f(2)，即f(3)<f(3)f(2)<f(2)，故C，D正确8(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)f(x).若f(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是()Af(x)x33x4Bf(x)ln x2xCf(x)sin xcos xDf(x)xex答案ABC解析对A，f(x)x33x4，f(x)3x23，f(x)6x，当x时，f(x)<0，故A为凸函数；对B，f(x)ln x2x，f(x)2，f(x)，当x时，f(x)<0，故B为凸函数；对C，f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin，当x时，f(x)<0，故C为凸函数；对D，f(x)xex，f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex，当x时，f(x)>0，故D不是凸函数9(2022·马鞍山模拟)若曲线f(x)xcos x在x处的切线与直线axy10平行，则实数a_.答案1解析因为f(x)xcos x，所以f(x)cos xxsin x，f()cos ·sin 1，因为函数在x处的切线与直线axy10平行，所以af()1.10已知函数f(x)excos x，若f(0)1，则a_.答案2解析f(x)excos xexsin xexcos xexsin x，f(0)a11，则a2.11(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算设f(x)，则f(x)_，其在点(0,1)处的切线方程为_答案y1解析f(x)，故f(x)(x2)，则f(0)0.故曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程为y1.12已知函数f(x)x3ax2x(aR)，若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为_答案(，1)(3，)解析因为f(x)x3ax2x(aR)，所以f(x)3x22axa1，因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22axa10有两个不等的实根，则4a212>0，即a22a3>0，解得a3或a1，所以a的取值范围是(，1)(3，)13拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f(x)在a，b上满足以下条件：在a，b上图象连续，在(a，b)内导数存在，则在(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)f(a)f(c)(ba)(f(x)为f(x)的导函数)则函数f(x)xex1在0,1上这样的c点的个数为()A1 B2 C3 D4答案A解析函数f(x)xex1，则f(x)(x1)ex1，由题意可知，存在点c0,1，使得f(c)1，即(1c)ec11，所以ec1，c0,1，作出函数yec1和y的图象，如图所示，由图象可知，函数yec1和y的图象只有一个交点，所以ec1，c0,1只有一个解，即函数f(x)xex1在0,1上c点的个数为1.14(2021·新高考全国)若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则()Aeb<a Bea<bC0<a<eb D0<b<ea答案D解析方法一设切点(x0，y0)，y0>0，则切线方程为yb(xa)，由得(1x0a)b，则由题意知关于x0的方程(1x0a)b有两个不同的解设f(x)ex(1xa)，则f(x)ex(1xa)exex(xa)，由f(x)0得xa，所以当x<a时，f(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(a)ea(1aa)ea，当x<a时，ax>0，所以f(x)>0，当x时，f(x)0，当x时，f(x)，函数f(x)ex(1xa)的大致图象如图所示，因为f(x)的图象与直线yb有两个交点，所以0<b<ea.方法二(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线 ，则点(a，b)在曲线yex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.15若曲线ysin 2xcos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1x2|的最小值为()A. B. C. D答案B解析ysin 2xcos2xsin 2x×sin，ycos，曲线的切线斜率在1,1范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是1.不妨设在A点处切线的斜率为1，则有2x12k1(k1Z)，2x22k2(k2Z)，则可得x1x2(k1k2)k(kZ)，|x1x2|min.16(2022·南昌模拟)已知曲线C1：yexm，C2：yx2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实数m的取值范围是_答案(，2ln 22)解析由题意知，l1，l2的斜率存在，设直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则可得故k1k1，整理得mln k11，同理可得，当直线l2：yk2xb2与C1，C2都相切时，有mln k21，综上所述，只需mln k1(k>0)有两解，令f(k)ln k1，则f(k)，故当f(k)>0时，0<k<4，当f(k)<0时，k>4，所以f(k)在(0,4)上单调递增，在(4，)上单调递减，故f(k)maxf(4)ln 412ln 22，所以只需满足m<2ln 22即可