重庆市巴蜀中学2022-2023学年高三上学期高考适应性月考（二）数学试题答案.docx

巴蜀中学 2023 届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分）题号答案12345678BCADCCDD【解析】1由角的周期性变化可知：A Ì B ，故选B32cos x = 解得x = + 2k(k ÎZ) 或x = - + 2k(k ÎZ) ，故选C266235334a = 50.1 > 50 =1= log 5 > log 4 = b > log 1= 0.a > b > 0，又<< ，c = tan< 0 ，5555a > b > c ，故选A由函数定义域可以排除 C ，由函数奇偶性可以排除 A ，又因当 xÎ(0，1) 时，- e-x > 0，ln | x |< 0，ex- e-x< 0 ，所以B 选项错误，D 选项正确，故选Dexx2ln | x |5如图 1 所示，在等腰三角形中，OB = 3，ÐAOB = 30°，可得æö323Bç ， ÷ ，由题意，点B 的坐标6 次一个循环，即以6 为周期，ç÷2èøæö33B 与B 重合，故有Bç ，-÷ ，故选Cç÷23522èøì图 1A = 0.5,ïïAsinj = 0.25，æö16由卷图可知í又w ÎN*，|j | ，w = 2，j = ， f (x) = sin 2x + ，ç÷T2 3262è6 øï<< ，ï234îé1æ3è öù5 øû12é2 æ ö ù5 ø 6û12æ 2sinç x + ö÷ ，故选C30 øg(x) = fçx -÷ú=sinê çë3 èx -÷+=êúëè 3æ25223öCC78 人中选5 人，分三组的分组分配问题：C85ç+ C5 ÷A3 = 8400 ，故选D33èø数学参考答案·第1 页（共9 页） 8设切点坐标 (x0，x03- 3x0) ， f (x) = x3 - 3x2 ， f ¢(x) = 3x2 6x，曲线 f (x) 在2-x30- 3x0 - t2(x0，x03- 3x02) 处的切线斜率为3x02- 6x0 ，又切线过点P(2，t) ，切线斜率为，x0-2x30- 3x0 - t2= 3x02- 6x0，即2x03- 9x0 +12x0 + t = 0， 过点P(2，t) 可作曲线 y = f (x) 的2x0三条切线，方程2x0图象与x 轴有 3 个交点，h(x ) 的极大值与极小值异号，h (x ) 6x0-23- 9x02+12x + t = 0 有3 个解令h(x ) = 2x3 - 9x0+12x + t ，则h(x )200000¢=2-18x0 +12 ，令00h(x ) = 0 ，得x =1或2，h(2)h(1) < 0 ，即(t + 4)(t + 5) < 0 ，解得-5 < t < -4 ，故选D00二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分）题号答案9101112BDABDABCABD【解析】æè6öø3kæ köø+ ，0 ； f (x) -2sinç=-2x÷=9对称轴为 x =+，k ÎZ ；对称中心为ç÷2è122æè ö3 øk-2 cos 2x + ；两个零点的距离：x - x = (k ÎZ) ，故选BDç÷12210选项A：g(x) 有两条对称轴x = 2 ，x = 7 ，g(x) = g(4 - x) = g(14 - x)，g(x) = g(x +10)周期为10，所以正确；选项B：g(x) = g(14 - x) = g(24 - x) ，x =12 是y = g(x) 的对称轴，所以正确；选项C：由对称性g(1) = g(3) = g(11) = 0 ，g(x) = 0 至少有3 个解，所以错误；选项D：周期为10，2，2022 有202 个周期，g(1) = 0 ，至少有202´ 2 +1= 405 个解，所以正确，故选ABD1 对 于 A ： sin A + sin B < sin A + sinæ - A = sin A + cos A 2 ， 正 确 ； 对 于 B ：öø1ç÷è2cos A + cos B > cos A + cosæ - A = sin A + cos A = 2 sin A +öøæè ö4 ø>1 ，正确；关于C ：ç÷ç÷è2cos(A + B) = cos Acos B - sin Asin B > 0 ，sin Asin B < cos Acos B ，tan Atan B <1，正确；关于D：tan A + tan B tanC tan Atan B tanC 0（也可用特殊值法排除）错误，故选ABC+=<数学参考答案·第2 页（共9 页） éëù2û12选项A："xÎ 0， ，xcos x0 ，故2sin x - xcos x - x 2sin x - x 2x - x = x ，所以正êú确；选项B：f (x) = 2sin x - xcos x - x ，f ¢(x) = 2 cos x - cos x + xsin x -1= cos x + xsin x -1，æè öéëù0，¢¢=， ¢ = ， ¢÷ ，f (x) 在 ê2 øú 单调递增，f (x)0 ，2ûf (x) xcos x0 f (0) f (x)0 0x 0ç所以B 正确；选项C：由选项B 可知当0 < x 时， f ¢(x) > 0 ，单调递增，无零点；当2 x 时， f ¢(x) cos x xsin x 1æ öè 2 ø2=+f ç- 单调递减； ¢=1 0- > ， ¢ = - < ，由f ()20÷2零点存在性定理知有唯一零点，f ¢(x) 在(0，) 有1 个零点，所以C 错误；选项D：“a 0”由选项 B 可知不等式成立；法一：若 f (x)ax ，则令h(x) = 2sin x - xcos x - x - ax ，h(0) = 0 ，h¢(x) cos x xsin x -1- a ，h¢(0)0 即h¢(0) = -a0 ，a0 ；只需证明a0=+不等式成立，显然；法二：令h(x) = 2sin x - xcos x - x - ax ，h¢(x) = cos x + xsin x -1- a ，éëù2ûéë ù2ûh (x) xcos x0，"xÎ 0，¢¢=，¢ 在h (x)0，单调递增，当a0 时，不等式成立，当a > 0êúêú时，h¢(0) = -a < 0 ，h¢æ ö2 øæè ö2 ø=-1- a ，$x Î 0， ，"xÎ(0，x )，h¢(x) < 0 ，h(x) 单调ç÷0ç÷è20递减，h(0) = 0 ，h(x) < 0 即 f (x) < ax ，不合题意，综上可知，a0 命题成立，所以D 正确，故选ABD三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）题号答案13141516235éë1ù2û6-1， 2 +êú12【解析】w |113T = |24古典概型，样本空间样本点总数为55=120 ，事件所占样本个数为A A = 72 ，故3324A723P(A) = 1205数学参考答案·第3 页（共9 页） æè ö4 ø115 g(x) = sin xcos x - (sin x + cos x) ； 令 t = sin x + cos x = 2 sin x + ÷Î- 2， 2 ， 则çt2-11é1ùy =- t = (t -1)2 -1Î -1， 2 + êú22ë2û62sin A = cos Bcos Asin B - sin Bsin Asin B ，2sin A + sin Bsin Asin B = sin Bcos Bcos A，sin Asin Bcos Bsin Bcos Bsin A(2 + sin Bsin B) = cos Asin Bcos B，=cos A 2 + sin Bsin B 3sin2 B + 2cos2Btan Btan2 B + 21166=，tan A= ，当且仅当3tan2 B = 2 ，即tan B =时322 6 1233tan B +tan B6有最大值 12四、解答题（共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）sin Acos A 1+ cos Bsin B（1）证明：由tan A =知：sin A(1+ cos B) = sin Bcos A Þ sin A = sin Bcos A - sin Acos B = sin(B - A) ； （3分）æè ö2 øæ öè 2 2 øæ öè 2 2 ø由AÎ 0， ，B - AÎ - ， ，y = sin x 在 - ， 上单调递增知：B = 2A ç÷ç÷ç÷（5分）ìæè ö2 øAÎ 0， ，ïç÷ïïæ ö2 øæ öè 6 4 ø（2）解：由锐角ABC 知íB = 2AÎ 0， ， Þ AÎ ， ，ç÷ç÷èïïæöøïA + B = 3AÎ ，ç÷îè 2（7分）æötan B - tan A3故= tan(B - A) = tan AÎç ，1÷ （10分）ç÷1+ tan A g tan B8（本小题满分12分）解：（1） f (x) = Acos xç3èø1æçö31Asin x + cos x÷ + 2(2sin2 x -1) - + 2÷224èø数学参考答案·第4 页（共9 页） 3AA3æ Aè 4öø=A g sin 2x + g (cos 2x +1) - 2cos 2x - + 2 =A g sin 2x +- 2 g cos 2x + 2ç÷444414A2- A + 4 g sin(2x +j) + 2 ，（4分）1故 f (x)max=A2- A + 4 + 2 = 2 + 3 ，解得A = 2 （6分） ö433æ（2）由（1）知 f (x) =sin 2x - cos 2x + 2 = 3 sin 2x -+ 2 ， （8分）ç÷22è3 øéë3 ù4 ûé 7 ùë 3 6 ûæ 5è12 øö1故xÎ 0， Þ 2x - Î - ， ，故 f (x) = f = 3 + 2 ，f (x) = f (0) = ，êúêúç÷maxmin32éë1ùû故y = f (x) 的值域为 ， 3 + 2 （12分）êú219（本小题满分12分）1）证明：由ABCD，AB BC ，AB = 2BC = 2CD 得AD BD ，（平面PBD 平面ABCD ，交线为BD，由PB = PD 知PO 平面ABCD ，故PO AD ，（3 分）由AD BD ，AD PO ，BD I PO = O ，BD Ì 平面PBD ，PO Ì 平面PBD ，故AD 平面PBD （5 分）（2）解：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图2 所示的空间直角坐标系O - xyz ，则O(0，0，0)，A(- 2，- 2 2，0)，B( 2，0，0)，C(0， 2，0)，D(- 2，0，0) ，uur uuur设P(0，0，a) ，则由PA PC 知PA g PC = a2 - 4 = 0，a = 2 ，图 2故P(0，0，2) ；（7 分）ur设平面PBC 的法向量为m = (x，y，z) ，ruuuruuur由BC = (- 2， 2，0) ，BP = (- 2，0，2) ，有íur uuurm g BP = - 2x + 2z = 0，uuurì= -+2y = 0，ïm g BC2xïîur取z =1，则m = ( 2， 2，1) ；设平面PAD 的法向量为n = (a，b，c) ，数学参考答案·第5 页（共9 页） uuuruuur由DP = ( 2，0，2) ，AD = (0，2 2，0) ，有ír uuurn g AD = 2 2b = 0，uuurì=+=ïn g DP2a 2c 0，ïîr取c =1，则n = (- 2，0，1) ，（11 分）rrur r记平面PAD 与平面PBC 所成角为q ，则cosq =| cosám，nñ |= ur r =m | n |m g n | -1|15=|5 g 3 15（12 分）20（本小题满分12分）解：（1）记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件A，第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况：前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对， （2分）2æè1 ö3ø1 æ 1 ö 1 1g 1-5故P(A) =+ C1ggg= （5分）ç÷2ç÷3 è 3ø 2 3 27（2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为X（单位：元），1在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为 ，选择继续作答且答611错的可能性为 ，选择停止作答的可能性为 ，32【法一】排异法：22æè2 ö3 ø1 2 11 2 1 1 æ 1 ö 2 14942252= ，27 81 81 81P(X = 0) =+ C1ggg+ C1gggg+gg=+ç÷22ç ÷3 3 33 3 6 3 è 3ø 3 3（7分）132 11P(X =100) =P(X = 200) =gg= ，（8分）（9分）3 2921 11gg= ，33 292æè1 ö 2 1= 1 ， （10分）P(X = 300) =P(X = 400) =ggç÷3ø 3 2 27132 1 11ggg= ，（11分）3 6 2 54故P(X 450) =1- 521191113（12分）-=81927 54 162数学参考答案·第6 页（共9 页） 231 1 11【法二】P(X = 500) =ggg= ，（6分）3 6 2 543æè1 ö1P(X = 600) + P(X =1000) = ，（7分）ç÷3ø 272æè1 ö 2 11P(X = 700) =P(X = 800) =P(X = 900) =gg= ，（8分）（9分）（10分）ç÷3ø 3 6 812132 æ 1 ö1gg=，ç÷3 è 6 ø 1622231 æ 1 ö1gg=，ç÷3 è 6 ø 1621111113故P(X 450) =+=（12分）5427 81 162 162 16221（本小题满分12 分）c2解：（1）由e =知a = 2b = 2c ，（2 分）a2ab+ b22b23b233dO®直线AB=b =1，故b = ，a = 3 ，a22故椭圆C 的标准方程为x2+y2=1 （4 分）332（2）kMN = 0 时：Q(0，1)，M (-1，1)，N(1，1) ，故| OQ | g | MN |= 2； （5 分）kMN ¹ 0 时：设直线l 的方程为x = my + t ，|t |+1由直线l 与圆x2 + y2 =1相切，所以d =1，即t2 = m2 +1，（6 分）m2ì22xy+=1，ïï33联立í得(m2 + 2)y2 + 2mty + t2 - 3 = 0 ，2ïïx = my + t，îìï-2mty + y =，ï12m2+2由韦达定理：í（8 分）t2- 3ïy y =，ïî12m2 + 2数学参考答案·第7 页（共9 页） æè2t+ 2，m2+ 2 ø-mt öMN 中点Q 的坐标为，ç÷m22-mt ö2t2 (m2 + 4)(m2+1)(m2 + 4) ，æè2töæ故| OQ |= ç÷ + ç+ 2 ø è m2 + 2 ø÷ =m2m2+ 2m2+ 2æè-2mtö2t2-+3|MN |= 1+ m2 | y - y |= 1+ m2- 4 g12çm2+ ÷m22 ø22 (m2 +1)(m2 4)+21 m2 6 + 3m2 2t+-2=，m2+ 2m2+ 2（10 分）æö故| OQ | g | MN |= 2 g (m2 +1)(m2 4)+= 2ç1+æm2öç14÷æè9ù÷ = 2ç1+÷Îç2， ，ú(m2 + 2)2m4+ 4m2 + 4 ø4ûèç÷çm2+ 4 ÷èm2øéë9ù4û综上：| OQ | g | MN | 的取值范围是 2， （12 分）êú22（本小题满分12 分）解：（1） f ¢(x) =ex-1 -1，（1 分）令 f ¢(x) <0 得x 1，令 f (x) 0 得x >1，<¢>故 f (x) 在(-¥，1) 上单调递减，在(1，+ ¥) 上单调递增 （4 分）a（2）g(x)=xex-1- x -aln x Þ g¢(x) (x +1)e=x-1- - ，g(1) = 0 恒成立Þ g¢(1) =1- a ，1x（5 分）当a 0 时：g(x) = x(ex-1 -1) aln x ，-故xÎ(0，1) 时，g(x) < 0 ，xÎ(1，+ ¥) 时，g(x) > 0 ，只有x =1一个零点，不符合题意；（6 分）a当0 < a <1时：g¢(x) = (x +1)ex-1 -1- 在xÎ(0， ) 时单调递增，且g (1) 1 a 0 ，+ ¥¢= ->x¢= -¥ 知必存在x0΢=由lim g (x)(0，1) 使得g (x ) 0 ，0®0+xg(x) 在xÎ(0，x ) 时单调递减，在xÎ(x ，+ ¥) 时单调递增；00结合g(x)min = g(x ) < g(1) = 0 ，lim g(x) = lim g(x) = +¥ 知：0®0+x®+¥x数学参考答案·第8 页（共9 页） g(x) 在(0，x ) 和(x ，+ ¥) 上各存在一个零点，共有两个零点；（8 分）001当 a =1 时： g¢(x) = (x +1)ex-1-1-在 xÎ(0，+ ¥) 时单调递增，且 g¢(1) = 0 ，故xg(x)min = g(1) = 0 ，只有x =1一个零点，不符合题意；（9 分）a当a >1时：g¢(x) = (x +1)ex-1 1 在xÎ(0， ) 时单调递增，且g (1) 1 a 0 ，- -+ ¥¢= -<x¢= +¥ 知必存在x0Î(1，+ ¥) 使得g (x ) 0 ，¢=由 lim g (x)0x®+¥g(x) 在xÎ(0，x ) 时单调递减，在xÎ(x ，+ ¥) 时单调递增，00结合g(x)min = g(x ) < g(1) = 0 ，lim g(x) = lim g(x) = +¥ 知：0®0+x®+¥xg(x) 在(0，x ) 和(x ，+ ¥) 上各存在一个零点，共有两个零点， （11 分）00综上所述：aÎ(0，1) U (1，+ ¥) （12 分）数学参考答案·第9 页（共9 页）