十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题24解析几何解答题（理科）含答案.docx

十年（20142023）年高考真题分项汇编解析几何解答题目录题型一：曲线和方程1题型二：直线与圆的方程3题型三： 椭圆的定义及性质5题型四：直线与椭圆的位置关系7题型五：双曲线的定义及性质12题型六：直线与双曲线的位置关系13题型七：抛物线的定义及性质15题型八：直线与抛物线的位置关系17题型九：圆锥曲线中的证明问题20题型十：圆锥曲线中的最值问题22题型十一：圆锥曲线中的综合问题25题型一：曲线和方程1.(2018年高考数学江苏卷·第18题)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程2.(2017年高考数学江苏文理科·第17题)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8点在椭圆上,且位于第一象限,过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标F1 O F2xy(第17题)3.(2016高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)如图，设椭圆()求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；()若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围4.(2014高考数学广东理科·第20题)已知椭圆的一个焦点为，离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程5.(2017年高考数学上海(文理科)·第20题)(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分)在平面直角坐标系y中,已知椭圆,为的上顶点,为上异于上、下顶点的动点,为正半轴上的动点(1)若在第一象限,且,求的坐标;(2)设,若以、为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标;(3)若,直线与交于另一点,且,求直线的方程 题型二：直线与圆的方程1(2015高考数学福建理科·第18题)已知椭圆E：过点，且离心率为()求椭圆E的方程；()设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由2.(2014高考数学江苏·第18题)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处(为河岸)，(1)求新桥的长；(2)当多长时，圆形保护区的面积最大？170 m60 m东北OABMC（第18题）3(2015高考数学广东理科·第20题)(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B(1)求圆的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由4.(2016高考数学江苏文理科·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点(1)设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；(2)设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；(3)设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围5.(2014高考数学北京理科·第19题)已知椭圆 (1)求椭圆C的离心率e(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，求直线AB与圆的位置关系，并证明你的结论。题型三： 椭圆的定义及性质1.(2020年新高考全国卷数学(海南)·第21题)已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值2.(2020江苏高考·第18题)在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，直线与椭圆相交于另一点(1)求的周长；(2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；(3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标3.(2020年高考课标卷理科·第20题)已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点(1)求的方程；(2)若点在上，点在直线上，且，求的面积4(2014高考数学江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结(1)若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；(2)若求椭圆离心率的值 F1F2OxyBCA(第17题)5.(2015高考数学重庆理科·第21题)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且(1)若，求椭圆的标准方程;(2)若求椭圆的离心率6.(2015高考数学四川理科·第20题)如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为()球椭圆的方程；()在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由7.(2015高考数学陕西理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为()求椭圆的离心率；()如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程8.(2015高考数学安徽理科·第20题)(本小题满分13分)设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为()求E的离心率e；()设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程题型四：直线与椭圆的位置关系全国卷设置一、解答题1(2023年北京卷·第19题)已知椭圆离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点求证：2.(2023年天津卷·第18题)设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程3.(2022高考北京卷·第19题)已知椭圆：的一个顶点为，焦距为(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值4.(2022年浙江省高考数学试题·第21题)如图，已知椭圆设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值5.(2021高考北京·第20题)已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|15时，求k的取值范围6.(2020天津高考·第18题)已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点()求椭圆方程；()已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点求直线的方程7.(2019·上海·第20题)已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.(1)若AB垂直于轴时，求；(2)当时，在轴上方时，求的坐标；(3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.8.(2018年高考数学天津(理)·第19题)(本小题满分14分)设椭圆的左焦点为，上顶点为，已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆在第一象限内的交点为，且与直线交于点，若(为原点)，求的值9.(2014高考数学重庆理科·第21题)如题(21)图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上， 的面积为(1)求该椭圆的标准方程；(2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径10.(2014高考数学浙江理科·第21题)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限(1)已知直线的斜率为，用表示点的坐标；(2)若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为11.(2014高考数学天津理科·第18题)设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为已知()求椭圆的离心率;()设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切求直线的斜率12(2014高考数学四川理科·第20题)已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形()求椭圆的标准方程；()设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点(i) 证明：平分线段(其中为坐标原点)；当最小时，求点的坐标13.(2014高考数学课标2理科·第20题)(本小题满分12分)设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N()若直线MN的斜率为，求C的离心率；()若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b14(2015高考数学新课标2理科·第20题)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；()若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由15.(2015高考数学天津理科·第19题)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，()求直线的斜率；()求椭圆的方程；()设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线(为原点)的斜率的取值范围16.(2015高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和，记得到的平行四边形的面积为(1)设，用坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)设与的斜率之积为，求面积的值17(2015高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点()求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；()设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由18.(2015高考数学江苏文理·第18题)如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3 (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程 𝐹BAOxylPC19.(2016高考数学天津理科·第19题)设椭圆的右焦点为，右顶点为已知，其中为原点，为椭圆的离心率 ()求椭圆的方程；()设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴交于点若，且，求直线的斜率的取值范围20.(2016高考数学课标卷理科·第20题)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，(I)当，时，求的面积；(II)当时，求k的取值范围21.(2016高考数学课标卷理科·第20题)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围题型五：双曲线的定义及性质1(2023年新课标全国卷·第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P证明:点在定直线上2.(2022新高考全国II卷·第21题)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在上；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分3.(2014高考数学江西理科·第21题)如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,(为坐标原点)(1)求双曲线的方程;(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值题型六：直线与双曲线的位置关系1(2021年新高考卷·第21题)在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为(1)求的方程；(2)设点在直线上，过两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和2.(2022新高考全国I卷·第21题)已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0(1)求l斜率；(2)若，求的面积3.(本小题满分14分)如图，双曲线的离心率为分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且()求双曲线的方程；()设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点证明直线DE垂直于轴。4.(2014高考数学辽宁理科·第20题)(本小题满分12分)圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)，双曲线过点P且离心率为(1)求的方程；(2)椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程5.(2014高考数学福建理科·第19题)(本小题满分13分)已知双曲线：的两条渐近线分别为 (1)求双曲线的离心率；(2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点(分别在第一，四象限)，且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由 6.(2016高考数学上海理科·第21题)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分来双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点(1)若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设，若的斜率存在，且，求的斜率题型七：抛物线的定义及性质1.(2023年全国甲卷理科·第20题)已知直线与抛物线交于两点，且(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，求面积的最小值2.(2021年高考浙江卷·第21题)如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围3.(2014高考数学湖北理科·第21题)在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为 ()求轨迹为的方程；()设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、 三个公共点时的相应取值范围4.(2014高考数学安徽理科·第19题)如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线，与分别交于两点，与分别交于两点()证明：；()过作直线(异于)与，分别交于两点，记与的面积分别为，求的值5.(2015高考数学新课标1理科·第20题)(本小题满分12分)在直角坐标系中，曲线：与直线(0)交与两点，()当时，分别求在点和处的切线方程；()轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。6.(2017年高考数学浙江文理科·第21题)如图,已知抛物线,点,抛物线上的点过点B作直线AP的垂线,垂足为()求直线斜率的取值范围;()求的最大值7.(2016高考数学课标卷理科·第20题)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.()若在线段上,是的中点,证明;()若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.8.(2016高考数学江苏文理科·第25题)如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线(1)若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和 求证：线段上的中点坐标为； 求的取值范围 题型八：直线与抛物线的位置关系1.(2021年高考全国乙卷理科·第21题)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为(1)求；(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值2.(2021年高考全国甲卷理科·第20题)抛物线C的顶点为坐标原点O焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且已知点，且与l相切(1)求C，的方程；(2)设是C上的三个点，直线，均与相切判断直线与的位置关系，并说明理由3.(2020年浙江省高考数学试卷·第21题)如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M(B，M不同于A)()若，求抛物线的焦点坐标；()若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值4.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第20题)设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程5.(2019·浙江·第21题)如图，已知点为抛物线的焦点过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记，的面积分别为，()求的值及抛物线的准线方程；()求的最小值及此时点的坐标 6.(2019·全国·理·第21题)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1)证明：直线AB过定点：(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积7.(2019·全国·理·第19题)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为(1)若，求的方程；(2)若，求8.(2019·北京·理·第18题)已知抛物线C：x2=2py经过点(2，1)()求抛物线C的方程及其准线方程；()设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点9.(2018年高考数学浙江卷·第21题)(本题满分15分)如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上(I)设中点为，证明：垂直于轴；(II)若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围10.(2018年高考数学课标卷(理)·第19题)(12分)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，(1)求的方程；(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程11.(2017年高考数学北京理科·第18题)已知抛物线 过点过点作直线与抛物线交于不同的两点,过点作轴的垂线分别与直线交于点,其中为原点()求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程;()求证:为线段的中点12.(2018年高考数学北京(理)·第19题)(本小题14分)已知抛物线经过点过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于()求直线的斜率的取值范围；()设为原点，求证：为定值题型九：圆锥曲线中的证明问题1.(2021年新高考全国卷·第20题)已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切证明：M，N，F三点共线的充要条件是2.(2020年高考课标卷理科·第20题)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E方程；(2)证明：直线CD过定点3.(2020年新高考全国卷(山东)·第22题)已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)(1)求C的方程：(2)点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值4.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第20题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足证明：直线HN过定点5.(2018年高考数学课标卷(理)·第20题)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，成等差数列，并求该数列的公差6.(2018年高考数学课标卷(理)·第19题)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)设为坐标原点，证明：7.(2015高考数学湖南理科·第22题)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为(1)求的方程；(2)过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向()若，求直线的斜率；()设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形8.(2017年高考数学新课标卷理科·第20题)已知椭圆,四点,中恰有三点在椭圆上(1)求的方程;(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点9.(2017年高考数学课标卷理科·第20题)(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足(1)求点 的轨迹方程；(2)设点 在直线 上，且证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 10.(2016高考数学四川理科·第20题)已知椭圆()的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆由且只有一个公共点(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，的直线平行椭圆交于不同的两点，且与直线交于，证明：存在常数，使得，并求的值11.(2016高考数学北京理科·第19题)(本小题14分)已知椭圆的离心率为 ，的面积为1(I)求椭圆的方程；()设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点求证： 为定值题型十：圆锥曲线中的最值问题1.(2015高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称(1)求实数的取值范围；(2)求面积的最大值(为坐标原点)2.(2014高考数学课标1理科·第20题)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点(1)求的方程;(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程3.(2015高考数学山东理科·第20题)平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上()求椭圆的方程；()设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 交椭圆于点(i)求的值；()求面积的最大值4.(2015高考数学湖北理科·第21题)(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系()求曲线的方程；()设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 5.(2017年高考数学山东理科·第21题)在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦距为()求椭圆的方程;()如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别为求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率6.(2016高考数学山东理科·第21题)(本小题满分14分)平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点(I)求椭圆的方程；(II)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，线段 的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点(i)求证：点在定直线上;(ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标题型十一：圆锥曲线中的综合问题1.(2023年新课标全国卷·第22题)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于 2.(2014高考数学湖南理科·第21题)如图 ，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为已知，且()求的方程；()过作的不垂直于轴的弦的中点当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值3.(2018年高考数学上海·第20题)(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：，与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点(1)用表示点到点的距离；(2)设，线段的中点在直线上，求的面积；(3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由4.(2014高考数学陕西理科·第22题)如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为(1)求的值；(2)过点的直线与分别交于(均异于点)，若，求直线的方程5.(2014高考数学山东理科·第21题)已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有当点的横坐标为3时，为正三角形()求的方程；()若直线，且和有且只有一个公共点，()证明直线过定点，并求出定点坐标；()的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由6.(2017年高考数学天津理科·第19题)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点若的面积为,求直线的方程 7.(2017年高考数学课标卷理科·第20题)(12分)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆(1)证明：坐标原点在圆上；(2)设圆过点，求直线与圆的方程 8.(2016高考数学上海理科·第20题)(本题满分14)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图 (1)求菜地内的分界线的方程(2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”9.(2023年全国乙卷理科·第20题)已知椭圆的离心率是，点在上(1)求方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点10.(2020年高考课标卷理科·第19题)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程11.(2019·天津·理·第18题)设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为()求椭圆的方程；()设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上若(为原点)，且，求直线的斜率12.(2019·全国·理·第21题)已知点，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线求的方程，并说明是什么曲线；过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点证明：是直角三角形；求面积的最大值13.(2019·江苏·第17题)如图，在平面直角坐标系中，椭圆:的焦点为，过作轴的垂线，在轴的上方，与圆:交于点，与椭圆交于点.连结并延长交圆于点，连结交椭圆于点，连结已知(1)求椭圆的标准方程；(2)求点的坐标14.(2014高考数学上海理科·第22题)在平面直角坐标系中，对于直线：和点，记若，则称点被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线(1)求证：点被直线分隔；(2)若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为，求证：15.(2014高考数学大纲理科·第21题)已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且(1)求的方程；(2)过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相较于两点，且四点在同一圆上，求的方程十年（20142023）年高考真题分项汇编解析几何解答题目录题型一：曲线和方程1题型二：直线与圆的方程6题型三： 椭圆的定义及性质14题型四：直线与椭圆的位置关系26题型五：双曲线的定义及性质50题型六：直线与双曲线的位置关系55题型七：抛物线的定义及性质63题型八：直线与抛物线的位置关系73题型九：圆锥曲线中的证明问题86题型十：圆锥曲线中的最值问题105题型十一：圆锥曲线中的综合问题114题型一：曲线和方程1.(2018年高考数学江苏卷·第18题)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于两点若的面积为，求直线l的方程【答案】解析：(1)因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为，又点在椭圆C上，解得因此，椭圆C的方程为；因为圆O的直径为，所以其方程为；(2)设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即由，消去y，得；(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以因为，所以因此，点P的坐标为因为三角形OAB的面积为，所以,从而设，由(*)得，因为，所以，即，解得，(舍去)，则，因此P的坐标为综上，直线l的方程为2.(2017年高考数学江苏文理科·第17题)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8点在椭圆上,且位于第一象限,过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标F1 O F2xy(第17题)【答案】(1)(2) 解析:解:(1)设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以, 解得,于是,因此椭圆E的标准方程是 (2)由(1)知, 设,因为点P为第一象限的点,故 当时,与相交于,与题设不符 当时,直线的斜率为,直线的斜率为 因为,所以直线的斜率为,直线的斜率为, 从而直线的方程:, 直线的方程: 由,解得,所以 因为点在椭圆上,由对称性,得,即或 又P在椭圆E上,故, 由,解得,;无解, 因此点P的坐标为 3.(2016高考数学浙江理科·第19题)(本题满分15分)如图，设椭圆()求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；()若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围【答案】【命题意图】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力解析：()设直线被椭圆截得的线段为，由 得，故，因此()假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足记直线，的斜率分别为，且，由()知，故，所以由于，得，因此， 因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值范围为4.(2014高考数学广东理科·第20题)已知椭圆的一个焦点为，离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程【答案】解：(1)依题意有故所求椭圆C的标准方程为 (2)当两条切线的斜率存在时，设过点的切线为联立消去得判别式化简得，即依题意得，即 当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得是直线 的四个交点，也满足，故点的