2023年新高考一轮复习讲义第33讲 数系的扩充与复数的引入含解析.docx

2023年新高考一轮复习讲义第33讲数系的扩充与复数的引入学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·全国·高考真题）（       ）ABCD2（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（       ）ABCD3（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（       ）A1B5C7D254（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（       ）A1BC2D5（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（2021·全国·高考真题（文）已知，则（       ）ABCD7（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（）ABCD8（2022·全国·高考真题（理）已知，且，其中a，b为实数，则（       ）ABCD9（2021·全国·高考真题（理）设，则（       ）ABCD10（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（       ）ABCD11（多选）（2022·山东潍坊·二模）若复数，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（       ）ABC若是纯虚数，那么D若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则12（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知复数满足方程，则（       ）A可能为纯虚数B该方程共有两个虚根C可能为D该方程的各根之和为213（多选）（2022·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（       ）A恒成立Bz可能是纯虚数C可能是实数D的最大值为14（多选）（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（       ）A若，则B若，则C若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则D若，则15（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_16（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知复数z满足，则_17（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知复数，则_18（2022·浙江省新昌中学模拟预测）若复数z满足，则z的模为_，虚部为_19（2022·浙江·三模）中国古代数学著作九章算术中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则_20（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足；的复数z，z=_21（2022·北京·101中学三模）设m为实数，复数（这里i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_22（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是_ 【素养提升】1（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；       乙：； 丙：；       丁：如果只有一个假命题，则该命题是（       ）A甲B乙C丙D丁2（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_.3（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则_.4（2022·全国·高三专题练习）若非零复数满足，则的值是_.5（2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，若，时，则_；对于，_第33讲数系的扩充与复数的引入学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·全国·高考真题）（       ）ABCD【答案】D【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.2（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（       ）ABCD【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.3（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（       ）A1B5C7D25【答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模【详解】由题意有，故故选：B4（2022·山东青岛·二模）复数（是虚数单位）的虚部是（       ）A1BC2D【答案】A【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.【详解】由题意可知，所以复数的虚部为.故选：A.5（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.6（2021·全国·高考真题（文）已知，则（       ）ABCD【答案】B【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】，.故选：B.7（2022·广东茂名·二模）已知复数z在复平面内对应的点为，是z的共轭复数，则（）ABCD【答案】B【分析】求出，再由复数的除法运算可得答案.【详解】复数z在复平面内对应的点为，.故选：B8（2022·全国·高考真题（理）已知，且，其中a，b为实数，则（       ）ABCD【答案】A【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:9（2021·全国·高考真题（理）设，则（       ）ABCD【答案】C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.10（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足，则（       ）ABCD【答案】C【分析】设，且，利用得，模长为1得，求出后可得.【详解】设，因为在复平面对应的点位于第一象限，所以，由得，因为复数z的模长为1，所以，解得，所以，.故选：C.11（多选）（2022·山东潍坊·二模）若复数，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（       ）ABC若是纯虚数，那么D若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则【答案】BC【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.【详解】对于A，A错误；对于B，；又，B正确；对于C，为纯虚数，解得：，C正确；对于D，由题意得：，D错误.故选：BC12（多选）（2022·山东泰安·模拟预测）已知复数满足方程，则（       ）A可能为纯虚数B该方程共有两个虚根C可能为D该方程的各根之和为2【答案】ACD【分析】依题意可得或，即或，从而求出，即可判断；【详解】解：由，得或，即或，解得或，即方程的根分别为、，所以故选：ACD.13（多选）（2022·福建省福州第一中学三模）设复数，当a变化时，下列结论正确的是（       ）A恒成立Bz可能是纯虚数C可能是实数D的最大值为【答案】ABD【分析】首先根据题意得到，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.【详解】，对选项A，故A正确.对选项B，当时，为纯虚数，故B正确.对选项C，令，即无解，故C错误.对选项D，当且仅当时取等号.所以的最大值为，故D正确.故选：ABD14（多选）（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知复数对应的向量为，复数对应的向量为，则（       ）A若，则B若，则C若与在复平面上对应的点关于实轴对称，则D若，则【答案】ABC【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.【详解】因为 ，所以，则，即，则，故选项正确；因为，所以，即，则，故选项正确；设，因为与在复平面上对应的点关于实轴对称，则，所以，则，故选项正确；若，满足，而，故选项错误；故选：ABC.15（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_【答案】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出【详解】故答案为：16（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知复数z满足，则_【答案】4【分析】根据复数的运算公式求出复数的代数形式，再由复数模的公式求.【详解】因为，所以，所以，故答案为：417（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知复数，则_【答案】【分析】根据复数的乘除法与共轭复数的概念求解即可【详解】，故故答案为：18（2022·浙江省新昌中学模拟预测）若复数z满足，则z的模为_，虚部为_【答案】     1     【分析】根据复数的除法运算与模的运算，结合虚部的定义求解即可【详解】由题，故，虚部为.故答案为：；19（2022·浙江·三模）中国古代数学著作九章算术中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数（i为虚数单位），则_【答案】【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】 ；故答案为： .20（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足；的复数z，z=_【答案】【分析】设，根据模长公式得出，进而得出.【详解】设，由条件可以得到，两边平方化简可得，故，；故答案为：21（2022·北京·101中学三模）设m为实数，复数（这里i为虚数单位），若为纯虚数，则的值为_【答案】【分析】先根据为纯虚数计算出的值，再计算 ，最后计算的值【详解】， 为纯虚数 故答案为：22（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是_ 【答案】2【分析】根据复数的几何意义表示，两点间距离，结合图形理解运算【详解】设复数z在复平面中对应的点为，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆表示点到点的距离，结合图形可得故答案为：【素养提升】1（2022·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：；       乙：；丙：；       丁：如果只有一个假命题，则该命题是（       ）A甲B乙C丙D丁【答案】B【分析】设，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.【详解】设，由于对应点在第二象限，所以，.甲，乙，丙，丁，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，的值应为.故选：B2（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_.【答案】【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足设，表示复数对应的点到点的距离数形结合可知的最大值 故答案为：3（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知，且z是复数，当的最大值为3，则_.【答案】【分析】由可知，化简可得其最值为，进而求出的值.【详解】设，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：.4（2022·全国·高三专题练习）若非零复数满足，则的值是_.【答案】【分析】由题设有、易得 ，同理，而，由此可知，即可求值.【详解】由题设有：，解得，且，即，同理有，又，故答案为：.5（2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，若，时，则_；对于，_【答案】          【分析】利用给定定理直接计算即得；令，求出等比数列前项的和，再利用复数相等求解作答.【详解】当，时，所以；，令，则，而，则，所以.故答案为：-i；第34讲数列的概念及简单表示法学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（       ）ABCD2（2022·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（       ）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项3（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，当时，则（       ）ABC5D4（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，则数列的通项公式为（       ）ABCD5（2022·海南中学高三阶段练习）已知数列满足，则（       ）A50B75C100D1506（2022·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，则（       ）A2020B2021C2022D20247（2022·全国·高三专题练习）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（     ）A数列是常数列B若，则是递增数列C若，则D若，则的最小项的值为8（2022·全国·高三专题练习）大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（       ）A200B210C220D2429（多选）（2022·广东惠州·高三阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（       ）AB数列是等比数列CD10（多选）（2022·江苏南京·高三开学考试）已知数列满足，则（       ）A2B是递增数列C-4是递增数列D11（多选）（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（       ）ABCD12（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，前n项和为，则（       ）ABCD13（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）在数列中，则的值为_.14（2022·湖北·高三开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为_.15（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知数列满足：先单调递减后单调递增：当时取得最小值写出一个满足条件的数列的通项公式_16（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知为数列的前n项和，则_，若的前n项和为，则_17（2022·广东广州·高三开学考试）已知集合，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，.,设数列的前n项和为.(1)若，求m的值；(2)求的值.18（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：【素养提升】1（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则（       ）ABCD2（2022·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（       ）ABCD3（多选）（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（       ）ABCD4（2022·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有， 设数列的前项和为，若，则的最大值为_第34讲数列的概念及简单表示法学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列， 则实数的取值范围为（       ）ABCD【答案】C【分析】由数列是单调递增数列，可得，从而有恒成立，由，可求得的取值范围.【详解】解：由题意得：由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又因为数列是单调递减数列所以当时，取得最大值，所以.故选：C.2（2022·北京·北大附中三模）已知数列满足，其中，则数列（       ）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】A【分析】求得数列的通项公式，再分析数列的单调性即可【详解】依题意，因为，其中，当时，当时，两式相除有，易得随着的增大而减小，故，且，故最小项为，最大项为故选：A3（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，当时，则（       ）ABC5D【答案】B【分析】直接由递推关系式得出数列的周期，再利用周期性即可求解.【详解】由题意得：，则数列的周期为3，则.故选：B.4（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，则数列的通项公式为（       ）ABCD【答案】A【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，得到，再利用累乘法求解.【详解】解：由，得：，即：，所以，所以故选：5（2022·海南中学高三阶段练习）已知数列满足，则（       ）A50B75C100D150【答案】A【分析】由已知得，两式相减得，由此代入可求得答案.【详解】解：，.两式相减得.则，故选：A.6（2022·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，则（       ）A2020B2021C2022D2024【答案】C【分析】利用化简可得出，则可求出答案.【详解】当时， ，当时，由得，两式相减可得，即，所以，可得，所以.故选：C.7（2022·全国·高三专题练习）数列的前项的和满足，则下列选项中正确的是（     ）A数列是常数列B若，则是递增数列C若，则D若，则的最小项的值为【答案】D【分析】由题设可得且()，进而可知时偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.【详解】当时，当时，则，而不一定成立，故不一定是常数列，A错误；由，显然且，即不单调，B错误；若，则，故，偶数项为3，奇数项为，而，C错误；若，则，故，偶数项为，奇数项为2，故的最小项的值为，D正确.故选：D8（2022·全国·高三专题练习）大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（       ）A200B210C220D242【答案】C【分析】由数列奇数项的前几项可归纳出奇数项上的通项公式，从而得到答案.【详解】根据题意，数列的前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇数项为0、4、12、24、40，有故其奇数项上的通项公式为故，故选：C9（多选）（2022·广东惠州·高三阶段练习）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（       ）AB数列是等比数列CD【答案】AB【分析】根据题意可得，从而可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项，再根据分组求和法即可求出，即可得出答案.【详解】解：，可得，又数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则，故C错误；则，故A正确；，故D错误.故选：AB.10（多选）（2022·江苏南京·高三开学考试）已知数列满足，则（       ）A2B是递增数列C-4是递增数列D【答案】ABD【分析】根据所给的递推公式，结合选项构造对应的表达式推导即可【详解】对于A，因为，故，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，且，根据对勾函数的单调性，为递增数列，故B正确；对于C，由，由题意，即可知不是递增数列；对于D，因为，所以，所以，所以，即.故选：ABD11（多选）（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，为其前n项和，则（       ）ABCD【答案】ABC【分析】根据条件依次可得，然后可得，然后可逐一判断.【详解】因为，所以，累加得，因为，所以，故选：ABC12（多选）（2022·江苏泰州·模拟预测）已知数列满足，前n项和为，则（       ）ABCD【答案】BCD【分析】根据首项判断A，由递推关系式可推出数列为递减数列，据此放缩后可判断D，再由放缩可得，据此可判断BC.【详解】由知，A错；，时，；时，D对；，；，时，B对，C对故选：BCD13（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）在数列中，则的值为_.【答案】【分析】根据条件求出数列的周期即可求解.【详解】因为，所以，所以数列是周期为的周期数列，所以.故答案为：.14（2022·湖北·高三开学考试）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为_.【答案】16【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.【详解】由得,当时，单调递减，且，当时，故当时，当时，且，所以当时，最小.故答案为：1615（2022·福建·莆田八中高三开学考试）已知数列满足：先单调递减后单调递增：当时取得最小值写出一个满足条件的数列的通项公式_【答案】【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设，则，当，数列单调递减，当，数列单调递增，即，可得当时数列取得最小值，故答案为：16（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知为数列的前n项和，则_，若的前n项和为，则_【答案】          【分析】根据（）即可得到，再对分奇偶两种情况讨论，即可得到，从而得解；【详解】解：当时，由得，当为偶数时，则，即当为奇数时，；当为奇数时，则，即当为偶数时，所以，所以故答案为：；17（2022·广东广州·高三开学考试）已知集合，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，.,设数列的前n项和为.(1)若，求m的值；(2)求的值.【解】（1）因为，所以数列中前项中含有A中的元素为1，3，5，7，9，27，共有14项，数列中前项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，排列后为1，3,3,，5，7，9，9，27，27，29，所以或17.（2）因为，所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，它们都是正奇数，均属于A，所以数列中前50项中含有A中的元素为1，3，5，7，9，27，29，79，81，83，共有46项，所以.18（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列满足，（其中）(1)判断并证明数列的单调性；(2)记数列的前n项和为，证明：【解】（1）单调递减，理由如下：，数列单调递减；（2），又，则.，则，当，累加可得，则，则，则，则【素养提升】1（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则（       ）ABCD【答案】B【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出【详解】，易得，依次类推可得由题意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；综上：故选：B             2（2022·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（       ）ABCD【答案】C【分析】先由判断出是递增数列且，再由结合累加法求得；再由结合累加法求得，即可求解.【详解】由，得，所以，又，所以数列是递增数列且，所以，所以，所以， .当，得，由得，则，同上由累加法得，所以，所以，则.故选：C.3（多选）（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（       ）ABCD【答案】BD【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；对于B, ,对，若,则，则,即，故B正确；对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；对于D, ,对，若,则，则，故，即，故D正确；故选：BD4（2022·上海长宁·二模）已知数列满足：对任意，都有， 设数列的前项和为，若，则的最大值为_【答案】【分析】先说明中不可能存在相邻两项为非负数，可得当时，则，当时，则，由此可求得答案.【详解】假设中存在相邻两项 为非负数，则，若，则，与条件矛盾；若，则，与条件矛盾，故中不可能存在相邻两项为非负数，当时，则，则根据得,故，当时，则，则根据得,故，所以总成立，又当n为奇数时， ，所以的奇偶性不同，则，当n为偶数时，故当k为奇数时, ,此时考查数列：符合题意，此时的最大值为0；故当k为偶数时, ,此时考查数列：符合题意，此时的最大值为 ，故的最大值为 ，故答案为：