高考数学一轮复习热点难点精讲精析2.5指数函数.doc
综合复习材料高中资料高考一轮复习热点难点精讲精析：2.5指数函数一、幂的运算的一般规律及要求1相关链接(1)分数指数幂与根式根据可以相互转化.(2)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将 写成等必须认真考查a的取值才能决定,如而无意义.(3)在进行幂的运算时,一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行运算.(4)指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.指数幂的化简与求值的原则及结果要求（1）化简原则化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序.注：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质运算（2）结果要求若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂。2例题解析例1（1）化简：；（2）计算：分析：（1）因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算。（2）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求。解：（1）原式=；（2）原式=例2已知，求的值解：，又，二、指数函数的图象及应用1相关链接（1）图象的变换（2）从图象看性质函数的图象直观地反映了函数的基本性质图象在x轴上的身影可得出函数的定义域；图象在y轴上的身影可得出函数的值域；从左向右看，由图象的变化得出增减区间，进而得出最值；由图象是否关于原点（或y轴）对称得出函数是否为奇（偶）函数；由两个图象交战的横坐标可得方程的解。（3）应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.（4）利用图象解指数型方程、不等式：一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.2例题解析例1已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的单调区间.(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.(3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数.【方法诠释】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求解.(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.解析：(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-,0)上递减；函数f(x)在(0,+)上递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.由图象知,当时,解得两图象相交,从图象可见,当时,f(x)f(x+1)；当时,f(x)=f(x+1);当时,f(x)f(x+1).(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.例2已知函数y=()|x+1|。（1） 作出图象；（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x取什么值时函数有最值。分析：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值。解答：（1）由已知可得其图象由两部分组成：一部分是： 另一部分是：图象如图：（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。三、指数函数的性质及应用1、相关链接（1）与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同；先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y=af(x)的值域；（2）与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤求复合函数的定义域；弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；分层逐一求解函数的单调性；求出复合函数的单调区间（注意“同增异减”）。利用指数函数的性质可求解的问题及方法(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解这些问题的方法一致,只需根据条件灵活选择即可.2、例题解析例1(1)函数的定义域是_.(2)函数的单调递减区间为_,值域为_.(3)(2012·金华模拟)已知函数 (a0且a1)求f(x)的定义域和值域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性.【方法诠释】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.解析：(1)由题意知32x-13-3,2x-1-3,x-1,即定义域是-1,+).答案：-1,+)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,+)上单调递减,而在R上为单调递减,所以f(x)在(-,-2)上单调递减.又g(x)=-(x+2)2+77,答案：(-,-2)3-7,+)(3)f(x)的定义域是R,令得ax=-,ax0,-0,解得-1y1,f(x)的值域为y|-1y1.f(x)是奇函数.设x1,x2是R上任意两个实数,且x1x2,则x1x2,当a1时,从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的增函数.当0a1时, 从而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.例2如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a1)在区间上是增函数，求实数的取值范围分析：先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单调性的方法求解，或利用求导的方法来解。解答：由题意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax，令t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0).当a>1时，t= ax在上为增函数，则此时t1,而对于f(t)而言，对称轴t=>2,故f(x)在上不可能为增函数；当0<a<1时，t=ax在上为减函数，此时0<t<1,要使f(x)在上为增函数，则f(t)在上必为减函数，故1.a或a,。四、指数函数的综合应用例1已知f(x)= (ax-a-x)(a>0,a1).(1)判断f(x)的奇偶性(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x-1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围.思路分析：本题(1)(2)问判断f(x)的奇偶性、讨论它的单调性，由于已知函数的解析式，因此用定义判断或利用导数判断；(3)恒成立问题，实质上是探求f(x)的最小值.解答：(1) 函数的定义域为R，关于原点对称，(2)，f(x)为奇函数；（2）方法一：设，则 当a>1时， >0，>0，0，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)为增函数；当0<a<1时，<0，<0，1+>0，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)为增函数；综上可知：函数f(x)= (ax-a-x) (a>0,a1)在定义域上为增函数；方法二：f(x)= (ax-a-x)，f(x)= (axlna+a-xlna)=当a1时，f(x)0,此时f(x)为增函数；当0a1时，f(x)0,此时f(x)为增函数，综合可知：f(x)为增函数。(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，f(x)在区间-1,1上为增函数，f(-1)f(x)f(1)，f(x)min=f(-1)= (a-1-a)=·=-1，要使f(x)b在-1,1上恒成立，则只需b-1，故b的取值范围是(-,-1.方法指导：1.判断函数的奇偶性，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)之间的关系；2.在利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；3.解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现.4.解决与指数函数有关的综合问题时,除用研究函数图象与性质的相关知识及相关问题的处理方法外,同时,要适时地用指数函数的图象与性质.5.关于非具体函数（或具体函数）的不等式，往往先根据函数的单调性，将函数值间的不等式转化为自变量间的不等式.
