高考数学一轮复习热点难点精讲精析8.4椭圆.doc

综合复习材料高中资料高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4椭 圆（一）椭圆的定义以及标准方程相关链接1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为+=1(m>0,n>0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,AB)这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。（2）设方程：根据上述判断设方程。（3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。例题解析例1已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=_；方法诠释：注意|AF1|+|AF2|=10，|BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；解析：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得：|AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10,又已知|F2A|+|F2B|=12，所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8.答案：8例2已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。方法诠释：设椭圆方程为根据题意求得方程。解析：设所求的椭圆方程为，由已知条件得故所求方程为方法指导：1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解；2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有a>b>0.（二）椭圆的几何性质相关链接1.椭圆几何性质中的不等关系椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆，有等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式（或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.或者是：应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与的关系：注：椭圆离心率的范围:0<e<1.例题解析例已知椭圆的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1） 求椭圆的离心率；（2） 设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求的取值范围。思路解析：由与是共线向量可知ABOM，从而可得关于的等量关系，从而求得离心率；若求的取值范围，即需求cos的范围，用余弦定理即可。解答：（1）设（-c,0）,则（3） 设|=，|=，=，+=2，|=2（4）注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率时，除已知等式外，还需一个关于的等式，即可求得。（三）直线与椭圆的位置关系相关链接1直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：（1）>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；（2）=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；（3）<0，直线与椭圆相离，无公共点。故直线与椭圆位置关系判断的步骤：第一步：联立直线方程与椭圆方程；第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程；第三步：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.2直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于两点，则注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法注：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 例题解析 例1中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程思路解析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，最后解关于a、b的方程组即可解答：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得把直线方程代入椭圆方程整理得：。设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得： ，又AB的中点横坐标为，与方程联立可解出故所求椭圆的方程为：。例2已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解答：a=3,b=1,c=2，则F（-2，0）。由题意知：与联立消去y得：。设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=（四）与椭圆有关的综合问题例如图，已知椭圆C： 经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k0)有直线交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点（1）是否存在k，使对任意m>0,总有成立？若存在，求出所有k的值；（2）若，求实数k的取值范围。思路解析：第（1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由可知M点为ON中点，用坐标表示相关量可求。第（2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。解答：椭圆C： ，直线AB的方程为：y=k(x-m).由消去y得设，则则若存在k,使总成立，M为线段AB的中点，M为ON的中点，即N点的坐标为。由N点在椭圆上，则即即故存在k=±1,使对任意m>0，总有成立。（2）由得即注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐。（1）本题第（1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。（2）第（2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。