三招破解三角形解的个数问题资料文档.docx
三招破解三角形解的个数问题下面是关于解三角形解的个数的探究 在任意三角形中，A，B，C三个角，a，b，c三条边，这六个变量中，如果已知其中的任意三个，在很多情况下，可以将三角形唯一确定。然而，有没有例外呢？这取决于这三个已知条件之间的关系。 1、已知三角形的三个角A，B，C：几何证明：根据相似三角形的知识，已知三角形的三个角，则三角形的形状唯一确定，但不能确定三边的长度。三角形有无数解。代数证明：三角形的外接圆直径取任意正实数时，都成立。对于每一个2R，都有对应的a，b，c的值。因此，三角形有无数解。 2、已知三角形的两角A，B，及其夹边c：几何证明：根据ASA定理，三角形有唯一解。代数证明：根据A+B+C=，可唯一确定C。已知C，c，A，B，根据正弦定理，可唯一确定a，b。即，三角形有唯一解。 3、已知三角形的两角A，B，及其中一角的对边a：几何证明：根据ASA定理，三角形有唯一解。代数证明：根据A+B+C=，可唯一确定C。已知A，a，B，C，根据正弦定理，可唯一确定b，c。即，三角形有唯一解。 4、已知4、已知三角形的两边a，b，及其夹角C：几何证明：根据SAS定理，三角形有唯一解。代数证明：根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，可确定c2。又由于c>0，可唯一确定c。已知C，c，a，b，根据正弦定理，可唯一确定sinA，sinB。再根据内角和、大边对大角，可唯一确定A，B。即，三角形有唯一解。 5、已知三角形的两边a，b，及其中一边的对角A：（1）若已知角为锐角：如下图，已知A，a，b。以C为圆心、a为半径作圆，与c所在射线的交点即点B位置。随着a的取值范围的不同，圆与射线的交点的个数也不相同： 即，当A为锐角时：当a<bsinA时，无交点，三角形无解；当a=bsinA时，有一个交点，三角形有唯一解；当bsinA<a<b时，有两个交点，三角形有两个解；当a=b时，除点A本身外，只有一个交点，三角形有唯一解；当a>b时，有一个交点，三角形也有唯一解。（2）当A为直角时：根据勾股定理，当a<b或a=b时，c无实数根，即三角形无解。根据HL定理，当勾股定理能够成立时，即a>b时，三角形有唯一解。（3）当A为钝角时：像（1）中那样作图。发现：若a>b，则三角形有唯一解；否则，三角形无解。 代数证明：a2=b2+c2-2bccosA（余弦定理）c2+(-2bcosA)c+(b2-a2)=0=(-2bcosA)2-4(b2-a2)=4b2cos2A-4b2+4a2=4a2-b2(1-cos2A)=4(a2-b2sin2A)分类讨论：<0：4(a2-b2sin2A)<0a2-b2sin2A<0a2<b2sin2A又a>0，b>0，sinA>0a<bsinA此时，方程无实数根，c不存在。即，当a<bsinA时，三角形无解。=0：4(a2-b2sin2A)=0a2-b2sin2A=0a2=b2sin2A又a>0，b>0，sinA>0a=bsinA此时，方程有两个相同的实数根。分类讨论：（1）-(-2bcosA)/1>0：2bcosA>0又b>0cosA>0A为锐角此时，两根之和为正又两根相等两根都为正c为正，且唯一确定。已知A，a，b，c，根据正弦定理，可唯一确定B，C。即，当A为锐角，且a=bsinA时，三角形唯一确定。（2）-(-2bcosA)/1<0：2bcosA<0又b>0cosA<0A为钝角此时，两根之和为负又两根相等两根都为负没有使c成立的根。即，当A为钝角，且a=bsinA时，三角形无解。（3）-(-2bcosA)/1=0：2bcosA=0cosA=0A为直角此时，两根之和=0又两根相等两根都=0没有使c成立的根。即，当A为直角，且a=bsinA时，三角形无解。>0：4(a2-b2sin2A)>0a2-b2sin2A>0a2>b2sin2A又a>0，b>0，sinA>0a>bsinA此时，方程有两个不相等的实数根。分类讨论：（1）(b2-a2)/1<0：b2-a2<0a2>b2又a>0，b>0a>bsinA<=1bsinA<=b当a>b时，a必定大于bsinA，方程一定有解。此时，两根乘积为负，即两根一正一负，只有一个c满足条件。因此，c唯一确定。已知A，a，b，c，根据正弦定理，可唯一确定B，C。即，当a>b时，三角形唯一确定。（2）(b2-a2)/1=0：b2-a2=0a2=b2又a>0，b>0a=b此时，两根乘积=0其中一根=0。分类讨论：（i）-(-2bcosA)/1>0：2bcosA>0又b>0cosA>0A是锐角此时，两根之和>0又一根为零另一根为正c唯一确定已知A，a，b，c，根据正弦定理，可唯一确定B，C。即，当A为锐角，且a=b时，三角形唯一确定。（ii）-(-2bcosA)/1=0：2bcosA=0又b>0cosA=0A是直角此时，两根之和=0又其中一根=0另一根=0没有使c成立的根三角形无解即，当A为直角，且a=b时，三角形无解。（iii）-(-2bcosA)/1<0：2bcosA<0又b>0cosA<0A是钝角此时，两根之和=0又其中一根为零另一根也为零没有使c成立的根三角形无解即，当A为直钝角，且a=b时，三角形无解。（3）(b2-a2)/1>0：b2-a2>0，a2<b2又a>0，b>0a<b此时两根乘积>0两根同号分类讨论：（i）-(-2bcosA)/1>0：2bcosA>0又b>0cosA>0A是锐角此时两根之和>0又两根同号两根都>0即，c有两个值。对于每一个c值，已知A，a，b，c，根据正弦定理，都可唯一确定B，C。即，当A为锐角，且a=b时，三角形有两解。2）-(-2bcosA)/1=0：此时两根之和为零又两根同号不成立。3）-(-2bcosA)/1<0：2bcosA<0又b>0cosA<0A为钝角此时两根之和<0又两根同号两根都<0没有使c成立的根三角形无解即，当A为直钝角，且a=b时，三角形无解。综上所述：若A为锐角：（1）当a<bsinA时，无解；（2）当a=bsinA或a=b或a>b时，有一解；（3）当bsinA<a<b时，有两解。若A为直角或钝角：（1）当a<b或a=b时，无解；（2）当a>b时，有一解。 6、已知三角形的三边a，b，c：几何证明：根据SSS定理，三角形有唯一解。代数证明：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，可唯一确定A。同理，可分别唯一确定B，C。即，三角形有唯一解。 可见，几何方法、代数方法得出的结果是相同的。初中时解三角形，大体上依赖于几何直观。然而，运用几何直观时，比较容易忽略一些特殊情况。相比而言，代数运算更加严谨、可靠，并且更加容易应对复杂的情况。因此，我们要在高中阶段学习并且应用正弦定理、余弦定理等代数工具。 数学，是个神奇的东西。三角形解的个数问题正余弦定理篇三角形解的个数问题 学习了正弦定理、余弦定理之后,学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。结合初中全等三角形的判定定理,若已知三角形的三边(且符合任意两边之和大于第三边)、两边一夹角、两角一边,则该三角形有唯一解。但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时,解的情况又如何呢?这个方法和学校老师教的画圆法有区别吗？有区别吗？有区别吗？本质上没有区别哦！该方法只是强调具体操作过程：第一步：定角度第二步：定哪条边的问题第三步：分析动点位置变化造成的距离变化通过对以上方法的探究，你掌握了三角形解的个数问题了吗？ 在学习数学的路上，如果你有任何疑问，欢迎向老周提问。亦或好的方法和建议，也欢迎同老周交流。甚而，任何好题、难题的分享，都会拉近我和你、我们和数学的距离。确定"三角形解个数"的三种策略
