专题05 首届新高考-圆锥曲线大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）含答案.pdf

专题专题 0505 首届新高考首届新高考-圆锥曲线大题综合（首届新高考江西圆锥曲线大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）广西、贵州、甘肃专用）一、解答题一、解答题1（2023福建龙岩福建龙岩统考模拟预测）统考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为1,0A，渐近线方程为2yx.直线l交C于,P Q两点，直线,AP AQ的斜率之和为-2.(1)证明：直线l过定点；(2)若在射线AQ上的点R满足APQARP，求直线PR的斜率的最大值.2（2023江苏无锡江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预测江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点1,0F的距离比它到y轴的距离大 1，E的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点11,A x y，22,B xy分别为曲线C上的第一象限和第四象限的点，且121294x xy y，求ABO与AFOV面积之和的最小值.3（2023河北河北统考模拟预测统考模拟预测）已知椭圆22:143xyC的左焦点为F，过点F作直线l交C于点A，B.(1)若23AFFB ，求直线l的斜率；(2)设4,0P，Q是C上异于A的点，且P，Q，A三点共线，求证：PFQPFB.4（2023福建厦门福建厦门统考模拟预测统考模拟预测）已知点0,0O，点0,1F，点M是x轴上的动点，点N在y轴上，直线MN与直线MF垂直，N关于M的对称点为P(1)求P的轨迹的方程；(2)过F的直线l交于,A B两点，A在第一象限，在A处的切线为,l l交y轴于点C，过C作OB的平行线交l于点,DACD是否存在最大值？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由5（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测统考模拟预测）已知为O坐标原点，2,0,0,1,0,1,2,1ABCD，,01OEOA DFDA ，CE和BF交点为P.(1)求点P的轨迹G；(2)直线(0)yxm m和曲线G交与MN，两点，试判断是否存在定点Q使14MQNQkk？如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.6（2023安徽合肥安徽合肥合肥市第六中学校考模拟预测）合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点00,Mxy在椭圆：2211612xy上，从原点O向圆:M222000 xxyyrr作两条切线分别与椭圆交于点A，B，若直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，且1234k k (1)求圆M的半径r；(2)探究22OAOB是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由7（2023安徽亳州安徽亳州安徽省亳州市第一中学校考模拟预测安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图 1，从双曲线右焦点2F发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图 2，其方程为2212221,xyF Fab分别为其左、右焦点，若从右焦点2F发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（2F A B 在同一直线上），满足3,tan4ABADABC.(1)当AB4时，求双曲线的标准方程；(2)过2F且斜率为 2 的直线与双曲线的两条渐近线交于,S T两点，点M是线段ST的中点，试探究212MFFF是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.8（2023湖南长沙湖南长沙长郡中学校考二模长郡中学校考二模）已知圆22:(2)16,2,0,ExyFT是圆E上任意一点，线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点Q，当点T运动时，点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0A的直线与曲线C相交于点2 4,3 3H，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与C相交于,M N两点，且ASM的面积是HSN面积的32倍，求直线l的方程9（2023湖南湖南校联考模拟预测校联考模拟预测）已知椭圆E：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线l与E交于A，B两点，2ABF的周长为 8，且点3(1,)2在E上(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与圆O：222xya交于 C，D 两点，当2 332 3,3CD时，求2ABF面积的取值范围10（2023河北唐山河北唐山唐山市第十中学校考模拟预测唐山市第十中学校考模拟预测）已知椭圆C：222210yxabab经过点()1,0A，且离心率为22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线1l，2l均过点 A，且互相垂直，直线1l与圆 O：222xya交于 M，N 两点，直线2l与椭圆 C 交于另一点 B，求MBN面积的最大值.11（2023黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模拟预测哈尔滨三中校考模拟预测）已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F、2F，离心率32e，1A、2A分别为椭圆 C 的左、右顶点，且12|4A A.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 O 为坐标原点，过2F的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求OAB面积的最大值；(3)若椭圆上另有一点 M，使得直线1MA与2A B斜率1k、2k满足212kk，请分析直线 BM是否恒过定点.12（2023黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨哈师大附中校考模拟预测哈师大附中校考模拟预测）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的渐近线方程为34yx=，焦距为 10，1A，2A为其左右顶点(1)求C的方程；(2)设点P是直线l：2x 上的任意一点，直线1PA、2PA分别交双曲线C于点M、N，2A QMN，垂足为Q，求证：存在定点R，使得QR是定值13（2023湖南长沙湖南长沙周南中学校考三模）周南中学校考三模）已知椭圆 E：222210 xyabab的左、右焦点分别为12,F F,焦距与短轴长均为 4.设过 F2的直线 l 交 E 于 M,N,过 M,N 分别作 E 在点 M,N 上的两条切线,记它们的交点为 P,MN 的中点为 Q.(1)证明：O,P,Q 三点共线；(2)过 F1作平行于 l 的直线分别交 PM,PN 于 A,B,求OAOBOP 的取值范围.参考结论：点 T(0 x,0y)为椭圆22221xyab(0ab)上一点,则过点 T(0 x,0y)的椭圆的切线方程为00221x xy yab.14（2023湖北武汉湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测）华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点3,0F的直线交双曲线2222:1(,0)xyCa bab于,M N两点，曲线C的左右顶点分别为12,A A，虚轴长与实轴长的比值为52(1)求曲线C的方程；(2)如图，点M关于原点O的对称点为点P，直线1AP与直线2A N交于点S，直线OS与直线MN交于点T，求T的轨迹方程15（2023广东深圳广东深圳深圳中学校考模拟预测）深圳中学校考模拟预测）已知定点(2,0)F，关于原点O对称的动点P，Q到定直线:4l x 的距离分别为pd，Qd，且|pQPFQFdd，记P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？(2)已知点M，N是直线1:2m xyk与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别为1M，1N（1M，1N不同于原点O），且直线1M N与直线:4l x 相交于点R，求RMN与11RM N面积的比值.16（2023江苏苏州江苏苏州校联考三模）校联考三模）已知点D是圆22:(4)72Qxy上一动点，点4,0A，线段AD的垂直平分线交线段DQ于点B.(1)求动点B的轨迹方程C；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点3,0,3,0EF.过曲线C上任一点P作曲线T的切线，切点分别为,M N，这两条切线,PM PN分别与曲线C交于点,G H（异于点P），证明：/MNGH.17（2023江苏扬州江苏扬州扬州中学校考模拟预测）扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)Cxpy p：上的点(,4)Q t到焦点F的距离的 5.(1)求抛物线方程及点Q的坐标.(2)过点(0,3)的直线l交C于,A B两点，延长AF，BF分别交抛物线于,M N两点.令1=FABSS，2=FMNSS，3=FANSS，4=FBMSS，求1342+SS SS的最小值.18（2023江苏苏州江苏苏州模拟预测模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点（其中点A在第一象限），过点A作C的切线交x轴于点P，直线PB交C于另一点Q，直线QA交x轴于点T.(1)求证：AFATBFQT；(2)记AOP，AFT，BQT的面积分别为1S，2S，3S，当点A的横坐标大于 2 时，求321SSS的最小值及此时点A的坐标.19（2023安徽合肥安徽合肥合肥一六八中学校考模拟预测合肥一六八中学校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F A为双曲线C的右支上一点，点A关于原点O的对称点为B，满足1260F AF，且222BFAF.(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C过点3,2，过圆222:O xyb上一点00,T xy作圆O的切线l，直线l交双曲线C于,P Q两点，且OPQ的面积为2 10，求直线l的方程.20（2023浙江浙江校联考模拟预测）校联考模拟预测）已知椭圆22:184xyE，下顶点为,A P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的平行线与直线:2l xy 交于M点，若点P关于点M的对称点为N，直线AN交椭圆于,A Q两点.(1)求椭圆E上点到直线l的距离的最大值；(2)已知1,1B过点B作BH垂直直线PQ，垂足为H，是否存在定点T，使得TH为定值，若存在求出定点T坐标和TH，若不存在，请说明理由.21（2023重庆重庆统考模拟预测统考模拟预测）已知椭圆222:1(1)xCyaa的右焦点为(c,0)F，点 A，B 在椭圆 C 上，点,02cD到直线FA的距离为2c，且ABF的内心恰好是点 D(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 O 为坐标原点，M，N 为椭圆上不重合两点，且 M，N 的中点 H 在直线12yx上，求MNO面积的最大值22（2023辽宁辽宁辽宁实验中学校考模拟预测辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆 C：222104xybb与 y 轴交于0,Ab，0,Bb两点，椭圆上异于 A，B 两点的动点 D 到 A，B 两点的斜率分别为1k，2k，已知1214k k (1)求椭圆 C 的方程；(2)过定点1,1G 与动点 D 的直线，与椭圆交于另外一点 H，若 AH 的斜率为3k，求23kk的取值范围23（2023江苏江苏金陵中学校联考三模金陵中学校联考三模）已知椭圆 E：221164xy，椭圆上有四个动点 A，B，C，D，/CD AB，AD 与 BC 相交于 P 点.如图所示.(1)当 A，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线 AD 与 BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点 P 的坐标为8,6，求直线 AB 的斜率.24（2023广东广州广东广州广州市培正中学校考模拟预测）广州市培正中学校考模拟预测）如图，在ABC中，点1,0,1,0AB.圆I是ABC的内切圆，且CI延长线交AB于点D，若2CIID.(1)求点C的轨迹的方程；(2)若椭圆22221(0)xyabab上点00,xy处的切线方程是00221x xy yab，过直线:4l x 上一点M引的两条切线，切点分别是P Q，求证：直线PQ恒过定点N；是否存在实数，使得PNQNPNQN，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.25（2023湖南邵阳湖南邵阳邵阳市第二中学校考模拟预测邵阳市第二中学校考模拟预测）已知双曲线C的离心率为 2，右焦点与抛物线28yx的焦点重合，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，点M为第二象限内的动点，过点M作双曲线C左支的两条切线，分别与双曲线C的左支相切于两点P，Q，已知MA，MB的斜率之比为3:1.(1)求双曲线C的方程；(2)直线PQ是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.(3)设APQ和BPQV的面积分别为1S和2S，求21SS的取值范围.参考结论：点00,R xy为双曲线22221xyab上一点，则过点R的双曲线的切线方程为00221x xy yab.26（2023湖北恩施湖北恩施校考模拟预测校考模拟预测）已知12,F F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点，以12FF为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G，若三角形12GF F的面积为 1，其内切圆的半径为23(1)求椭圆C的方程；(2)已知 A 是椭圆C的上顶点，过点2,1P 的直线与椭圆C交于不同的两点,D E，点D在第二象限，直线ADAE、分别与x轴交于,M N，求四边形DMEN面积的最大值27（2023湖北荆门湖北荆门荆门市龙泉中学校考模拟预测荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知椭圆 E：22142xy若直线l：2xmy与椭圆 E 交于 A、B 两点，交 x 轴于点 F，点 A，F，B 在直线l：2 2x 上的射影依次为点 D，K，G(1)若直线 l 交 y 轴于点 T，且1TAAF，2TBBF，当 m 变化时，探究12的值是否为定值？若是，求出12的值；否则，说明理由；(2)连接 AG，BD，试探究当 m 变化时，直线 AG 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明：否则，说明理由28（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测）统考模拟预测）已知曲线C上的动点P满足12|2PFPF，且122,0,2,0FF.(1)求C的方程；(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P.在以下两个条件中选择一个条件，证明另外一个条件成立.直线AB经过定点4,0M；点P在定直线14x 上.29（2023山东潍坊山东潍坊三模）三模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，且过点63,2D(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：1122yxmm 与椭圆C交于,A B两点，且在坐标平面内存在两个定点,P Q，使得PAPBQAQBk kk k（定值），其中,PAPBkk分别是直线,PA PB的斜率，,QAQBkk分别是直线,QA QB的斜率求的值；求四边形PAQB面积的最大值30（2023云南云南校联考模拟预测校联考模拟预测）已知圆C：2254xy，定点5,0D，如图所示，圆C上某一点1D恰好与点D关于直线PQ对称，设直线PQ与直线1DC的交点为T.(1)求证：TCTD为定值，并求出点T的轨迹E方程；(2)设1,0A，M为曲线E上一点，N为圆221xy上一点（M，N均不在x轴上）.直线AM，AN的斜率分别记为1k，2k，且124kk.求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标.专题专题 0505 首届新高考首届新高考-圆锥曲线大题综合（首届新高考江西、广圆锥曲线大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）西、贵州、甘肃专用）一、解答题一、解答题1（2023福建龙岩福建龙岩统考模拟预测统考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为1,0A，渐近线方程为2yx.直线l交C于,P Q两点，直线,AP AQ的斜率之和为-2.(1)证明：直线l过定点；(2)若在射线AQ上的点R满足APQARP，求直线PR的斜率的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)724【分析】（1）根据顶点坐标和渐近线得出双曲线方程，解设1122:,lykxm P x yQ xy，设直线,AP AQ的斜率分别为12,k k，通过化简表示出直线l的方程，即可得出结论.（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为2|APAQAR，求出R的坐标，最后直线PR的斜率用,AP AQ的斜率表示，即可求解.【详解】（1）由题知1,2ab，C的方程为：2212yx，显然直线l的斜率存在，设直线1122:,lykxm P x yQ xy，联立2212yxykxm，得2222220kxkmxm，且212122222,22kmmxxx xkk，设直线,AP AQ的斜率分别为12,k k，则121212,11yykkxx，故1221121212121212111yyx yx yyykkxxx xxx，又12211221x yx yxkxmxkxm12122422kkx xm xxk，2121222242222k mmyyk xxmmkk，2212222442222122kmkkkkmkmkk2224442222()mkkmmkmkmk，20mkmk，PQ不过点A，0,2,12mkmkyk x，所以直线l过定点()1,2-.（2）由题设直线:10PR yt xr r.由122112ykxyx，得211221124,22kkPkk.由111ykxyt xr，得1111,rkrPktkt.故21221141|2rkAPkkt，同理22222412rkAQARkkt.由APQARP 可知，2|APAQAR，即2212221122414122rkrkkktkkt.因为1212,2kk kk，化简得21217724624k kt .当1212212kkk k 时取等号，所以直线PR的斜率的最大值为724.2（2023江苏无锡江苏无锡江苏省天一中学校考模拟预测江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点1,0F的距离比它到y轴的距离大 1，E的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)已知点11,A x y，22,B xy分别为曲线C上的第一象限和第四象限的点，且121294x xy y，求ABO与AFOV面积之和的最小值.【答案】(1)24,00,0 x xyx(2)9 222【分析】（1）由题意直接求动点的轨迹方程即可；（2）当直线AB的斜率为 0 时，不适合题意，所以设出直线的方程与抛物线联立利用基本不等式求解即可.【详解】（1）设动点E的坐标为,x y，由已知得，2211xyx，化简得：24,00,0 x xyx，故曲线C的方程为24,00,0 x xyx.（2）如图：因为点11,A x y，22,B xy分别为曲线C上的第一象限和第四象限的点，所以当直线AB的斜率为 0 时，不适合题意；当直线AB的斜率不为 0 时，设直线AB的方程为xayt，由24xaytyx得，2440yayt，216160at，所以121244yyay yt，由1240y yt，得0t，因为121294x xy y，所以121294aytayty y，所以221212914ay yat yyt，所以2291444atatat，解得：92t 或12t （舍去），当92t 时，直线AB的方程为92xay，直线AB过定点902,，且满足0，且12418y yt ，所以1211212121911191193921122222444422ABOAFOSSyyyyyyyy y，当且仅当1211944yy，即19 2211y，222y 时取等号，故最小值为9 222.3（2023河北河北统考模拟预测统考模拟预测）已知椭圆22:143xyC的左焦点为F，过点F作直线l交C于点A，B.(1)若23AFFB ，求直线l的斜率；(2)设4,0P，Q是C上异于A的点，且P，Q，A三点共线，求证：PFQPFB.【答案】(1)212(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F的坐标，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得直线l的斜率；（2）求出直线AP的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求得点Q的坐标，再求直线QF的斜率，与直线BF的斜率比较可得证明.【详解】（1）依题意，椭圆22:143xyC的左焦点(1,0)F，当直线l的斜率为 0 时，此时A、B两点是椭圆长轴上的两点，向量(3,0)AF ，(1,0)FB 或(1,0)AF ，(3,0)FB 均不满足23AFFB ，不合题意，所以直线l的斜率不为 0.故可设直线l的方程为1xmy，11(,)A x y，22(,)B xy，由221143xmyxy得：22(34)690mymy，223636(34)0 mm，则122634myym，122934y ym，由23AFFB 可得11222(1,)3(1,)xyxy，所以122()3yy，即1232yy，由可得221234mym，221222233129()223434my yymm ，化简整理得2421m，所以2 2121m ，所以直线l的斜率为1212m.（2）证明：由4,0P，11(,)A x y可得直线AP的方程为11(4)4yyxx，由1122(4)4143yyxxxy得：2222211112221113(4)43264120(4)(4)(4)xyyyxxxxx，所以2112211323(4)4Qyxxxy，结合2211143xy可得：118552Qxxx，11113(4)452QQyyyxxx，即1111853(,)5252xyQxx，又(1,0)F，则111111352523(1)1QFyxykxxx ，所以111BFAFQFykkkx，所以PFQPFB.4（2023福建厦门福建厦门统考模拟预测统考模拟预测）已知点0,0O，点0,1F，点M是x轴上的动点，点N在y轴上，直线MN与直线MF垂直，N关于M的对称点为P(1)求P的轨迹的方程；(2)过F的直线l交于,A B两点，A在第一象限，在A处的切线为,l l交y轴于点C，过C作OB的平行线交l于点,DACD是否存在最大值？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由【答案】(1)24xy(2)存在；214yx【分析】（1）利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解，或者利用菱形的性质以及抛物线的定义可判断点P的轨迹是以0,1F为焦点，1y 为准线的抛物线（2）将问题转化为直线OB与l的倾斜角之差最大 联立直线与抛物线方程，得到韦达定理，求导得切线斜率，即可利用倾斜角与斜率的关系，结合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解.【详解】（1）法 1：设,0,0,M aNbP x y因为MFMN，所以0MF MN ，即20ab又2,xa yb，所以202xy，所以24xy法 2：如图，设F关于M的对称点为Q，由已知得，,FQ NP互相垂直平分所以四边形PFNQ为菱形，所以PFPQ因为M为FQ中点，所以1QFyy ，即Q点在定直线1y 上因为PQFN，所以PQ与直线1y 垂直即点P到定点0,1F的距离等于点P到定直线1y 的距离所以点P的轨迹是以0,1F为焦点，1y 为准线的抛物线所以点P的轨迹的方程为24xy（2）ACD存在最大值延长BO交AC于,EAEBACD，所以ACD最大即直线OB与l的倾斜角之差最大由题意可知直线l有斜率，设1122:1,lykxA x yB xy，（1 0 x）由214ykxxy得2440 xkx所以12124,4xxk x x 因为242xx，所以l的斜率112xk，OB的斜率22224yxkx设直线l与OB的倾斜角为12,，则2121211212tantantan1tantan1kkk k21212121124242244221188xxxxxxxxx x1122 2xx 当且仅当112xx即12x,22 2x 时等号成立因为21tan0，所以21,2，所以当21tan最大时，21最大，即ACD最大此时12,2A，所以12244xxk，所以l的方程为214yx【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.5（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测）统考模拟预测）已知为O坐标原点，2,0,0,1,0,1,2,1ABCD，,01OEOA DFDA ，CE和BF交点为P.(1)求点P的轨迹G；(2)直线(0)yxm m和曲线G交与MN，两点，试判断是否存在定点Q使14MQNQkk？如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由.【答案】(1)22:14xGy(2)存在定点,Q坐标为2 52 5,55或2 5 2 5,55【分析】（1）利用已知条件表示出,E F点坐标，进而表示出直线CE，BF的方程，联立即可得出P点轨迹方程.（2）假设存在定点G，设点G坐标为00,xy，1122(,),(,)M x yN xy，联立方程组2214yxmxy，得出1221285445mxxmx x，55m，由14MQNQkk整理得出2200001284055yxm xy，对0m 恒成立，即可得出结论.【详解】（1）设点P,)x y（，,EEFFE xyF xy，OEOA ，即,2,0EExy，E点坐标为2,0，DFDA，即2,10,1FFxy，F点坐标为2,1，根据两点坐标可得，直线CE方程为：112yx，直线BF方程为：12yx，两式移项相乘得：22114yx ，整理得2214xy，P点的轨迹为以(3,0),(3,0)-为焦点，长轴长为4的椭圆，即其方程为22:14xGy.（2）假设存在定点G，设点G坐标为00,xy，1122(,),(,)M x yN xy，联立方程组2214yxmxy消y得2258440 xmxm，直线与椭圆交于两点，22648010mm 即55m，1221285445mxxmx x，14MQNQkk，0102010214yyyyxxxx，0102010240yyyyxxxx，0102010240yxmyxmxxxx，整理得：222012012120120124424440yxxm yx xm xxmxxxxx x，2200001284055yxm xy，对0m 恒成立，000 xy，得220012405yx，002 55xy ，所以存在定点,Q坐标为2 52 5,55或2 5 2 5,55.6（2023安徽合肥安徽合肥合肥市第六中学校考模拟预测）合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点00,Mxy在椭圆：2211612xy上，从原点O向圆:M222000 xxyyrr作两条切线分别与椭圆交于点A，B，若直线OA，OB的斜率分别为1k，2k，且1234k k (1)求圆M的半径r；(2)探究22OAOB是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【答案】(1)4 217(2)是定值，2228OAOB【分析】（1）设过原点作圆的切线ykx，利用圆心到直线的距离等于半径得到22222000020 xrkx y kyr，利用韦达定理及1234k k 得到22200347xyr，结合点在椭圆上，即可求出半径r；（2）设11,A x y，22,B xy，由1234k k ，可得22221212169y yx x，再由点在椭圆上得到221112 116xy，222212 116xy，即可得到221216xx，从而求出22OAOB的值.【详解】（1）设直线OA，OB的方程分别为1yk x，2yk x，过原点作圆的切线ykx，则0021ykxrk，即222001krykx，即22222000020 xrkx y kyr，所以2201222034yrk kxr，即22200347xyr，所以22220000334 12344 214777xyxyr.（2）是定值，且2228OAOB，理由如下：设11,A x y，22,B xy，因为1234k k ，所以121234y yx x，即22221212169y yx x，又A、B在椭圆上，所以221111612xy，222211612xy，所以221112 116xy，222212 116xy，代入可得2212122216 12 112 166911xxxx，化简得221216xx，所以 222222222211221212OAOBxyxyxxyy1222122212 112 11616xxxx2212112416242844xx，所以2228OAOB.7（2023安徽亳州安徽亳州安徽省亳州市第一中学校考模拟预测安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图 1，从双曲线右焦点2F发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点1F.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图 2，其方程为2212221,xyF Fab分别为其左、右焦点，若从右焦点2F发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（2F A B 在同一直线上），满足3,tan4ABADABC.(1)当AB4时，求双曲线的标准方程；(2)过2F且斜率为 2 的直线与双曲线的两条渐近线交于,S T两点，点M是线段ST的中点，试探究212MFFF是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.【答案】(1)22132yx(2)是定值，定值为3 510【分析】（1）延长DA与CB交于1F，根据3,tan4ABADABC，得到114,3,5ABAFBF，再设2AFx，利用双曲线的定义求解；（2）设1124,3,5,ABk AFk BFk AFx，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程2232yx，设直线方程为2yxc，联立求得86,55ccM即可.【详解】（1）解：如图所示：延长DA与CB交于1F，因为3,tan4ABADABC，所以114,3,5ABAFBF，设2AFx，则354xx，即1x，2222543110,23 12,12ccaa，故方程为22132yx；（2）设1124,3,5,ABk AFk BFk AFx，则2222354,4910kxkkxxkckkk，225,232,2ckakkk ak，两渐近线所在直线方程为：62yx，设直线方程为2yxc，将渐近线两侧平方与直线联立，则22322yxyxc可得12825xxc，则86,55ccM，则222863 5555ccMFcc，故2123 53 55210cMFFFc.8（2023湖南长沙湖南长沙长郡中学校考二模）长郡中学校考二模）已知圆22:(2)16,2,0,ExyFT是圆E上任意一点，线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点Q，当点T运动时，点Q的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0A的直线与曲线C相交于点2 4,3 3H，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与C相交于,M N两点，且ASM的面积是HSN面积的32倍，求直线l的方程【答案】(1)22142xy(2)14114 yx【分析】（1）根据题意和椭圆的定义即可求解；（2）首先求出直线AH的方程，以及S点的坐标，讨论直线l的斜率存在与否，当斜率存在时，设直线l的方程为11221,ykxM x yN xy，联立解方程组求出12122242,1212kxxx xkk，根据ASM的面积是HSN面积的32倍，化简可以得到212xx，进一步求出斜率，从而得出答案.【详解】（1）因为点Q为线段FT的垂直平分线与半径ET的交点，所以QTQF，所以42 2QEQFQEQTETEF，所以点Q的轨迹是以,E F为焦点，长轴长为 4 的椭圆，在椭圆中2,2,2acb，所以曲线C的方程为22142xy（2）由已知得12 AHk，所以直线AH的方程为122yx，所以S点的坐标为0,1当直线l的斜率不存在时，2121,3ASMHSNSS，或2121,3ASMHSNSS都与已知不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为11221,ykxM x yN xy，由221,421,xyykx得221 2420kxkx，易知0，则12122242,1212kxxx xkk，11sin,sin22ASMHSNSASMSASM SHSNSHSN，由ASM的面积是HSN面积的32倍可得23ASMHSNSS，化简得23ASMSHSNS，即23ASNSHSMS，又3AHASxHSx，所以2NSMS，即212xx，也就是212xx，所以211212222222448322,1212121212kkkkxxxx xkkkkk，解得2114k，所以直线l的方程为14114 yx9（2023湖南湖南校联考模拟预测校联考模拟预测）已知椭圆E：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线l与E交于A，B两点，2ABF的周长为 8，且点3(1,)2在E上(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l与圆O：222xya交于 C，D 两点，当2 332 3,3CD时，求2ABF面积的取值范围【答案】(1)22143xy(2)6 3,35【分析】（1）由2ABF的周长结合椭圆的定义得出48a，再将3(1,)2代入椭圆方程，即可求出b，进而得出椭圆的方程；（2）设直线 l 的方程为1xmy，由点到之间距离公式及勾股定理得出20,2m，设11,A x y，22,B xy，由直线l方程与椭圆方程联立，得出12yy和12y y，代入2212124ABFSyyy y，设211,3tm，196h ttt，由()h t的单调性得出值域，即可求出2ABFS的范围【详解】（1）因为2ABF的周长为 8，所以48a，解得2a，将点31,2的坐标代入椭圆方程22214xyb，得291414b，解得3b，所以椭圆 E 的方程为22143xy（2）由（1）知圆O的方程为224xy，设直线 l 的方程为1xmy，则圆心O到直线 l 的距离211dm，由22 332 42 3,3CDd，可得20,2m 设11,A x y，22,B xy，联立方程组221431xyxmy，消去 x 得2243690 mymy，则122643myym，122943y ym，所以222121212122211412243ABFmSFFyyyyy ym，设211,3tm，则221121211 396ABFtSttt，设 196h ttt，易知 196h ttt在1,3上单调递增，则 h t在1,3上单调递增，因为 100163h t，所以26 3,35ABFS10（2023河北唐山河北唐山唐山市第十中学校考模拟预测唐山市第十中学校考模拟预测）已知椭圆C：222210yxabab经过点()1,0A，且离心率为22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线1l，2l均过点 A，且互相垂直，直线1l与圆 O：222xya交于 M，N 两点，直线2l与椭圆 C 交于另一点 B，求MBN面积的最大值.【答案】(1)椭圆 C 的标准方程为2212yx；(2)MBN面积的最大值为4 33.【分析】（1）由条件列关于,a b c的方程，解方程求,a b c，可得椭圆方程；（2）设出直线方程，求出点B的坐标及点到直线距离和弦长|MN表示出面积，再讨论取得最大值即可求解.【详解】（1）因为22221yxab经过点()1,0A，所以2222011ab，解得1b，因为椭圆22221yxab的离心率为22，所以22ca，又222abc，所以2,1ac，故椭圆 C 的标准方程为2212yx；（2）若直线1l的斜率为0，则2l的斜率不存在，所以2l的方程为1x，直线1x 与椭圆2212yx的交点为1,0，与条件矛盾；由已知当直线1l的斜率不存在时，2l的斜率为0，所以1l的方程为1x，2l的方程为0y，联立2221xyx可得，11xy或11xy，故2MN，联立22120yxy，可得10 xy或10 xy，所以点B的坐标为1,0，所以点B到直线1x 的距离为2，所以MBN的面积为2，当直线1l的斜率存在且不为0时，设其方程为1xty.则直线2l的方程为ytxt.圆心0,0到直线1l的距离为211dt.直线1l被圆222xy截得的弦长为2222 212 21tABdt，由2212yxytxt，消y可得，22222202txxtt，设点B的坐标