专题04 首届新高考-概率统计大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）含答案.pdf

专题专题 0404 首届新高考首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西概率统计大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）广西、贵州、甘肃专用）一、解答题一、解答题1（2023山东日照山东日照三模三模）某学校有,A B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 0.8.(1)计算王同学第二天去A餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供 5 种西式点心，2,n nnN种中式点心，王同学从这些点心中选择 3 种点心，记选择西式点心的种数为X，求1P X 的最大值，并求此时n的值.2（2023云南保山云南保山统考二模统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量 x（单位：克）与药物功效y（单位：药物功效单位）之间具有关系210yxx.(1)估计该味中药的最佳用量与功效；(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为 6 克，标准差为 2，估计这批合成药的药物功效y的平均值.3（2023江苏苏州江苏苏州模拟预测）模拟预测）数据报告显示，2018-2022 年期间，某公司旗下一款软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表.年份代码x12345活跃用户数y（单位：亿）11.5112.2512.5813.6718.01(1)根据上表的数据，可用函数模型ybxa$拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（计算b的值时精确到 0.01），并预测 2025 年的活跃用户数；(2)公司规定，活跃用户数大于 12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中，将活跃用户数低于 13.00 的视为良好，赋 1 分；将活跃用户数不低于 13.00 的视为优秀，赋 2 分.现从企业腾飞年中任取两年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.（参考数据：13.60y，51218.48iiix y，51522155iiiiix yxybxx）4（2023黑龙江大庆黑龙江大庆大庆实验中学校考模拟预测大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分 100 分），随机抽取了 100 名学生的测试成绩，按照60，70），70，80），80，90），90，100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；(2)从测试成绩在90，100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有 6 道题，从中随机挑选出 4 道题进行测试，至少答对 3 道题者才可以进入复赛现有甲、乙两人参加选拔，在这 6 道题中甲能答对 4 道，乙能答对 3 道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立 记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望5（2023重庆重庆重庆南开中学校考模拟预测重庆南开中学校考模拟预测）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域截至 2022 年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家下图是 2018-2022 年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份 2018-2022 对应的t分别为 15(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；(2)求w关于t的经验回归方程，并预测 2024 年移动物联网连接数附：样本相关系数12211niiinniiiittwwrttww，121niiiniittwwbtt，awb t，174041.76（2023江苏江苏金陵中学校联考三模）金陵中学校联考三模）一只不透朋的袋中装有 10 个相同的小球，分别标有数字 09，先后从袋中随机取两只小球.用事件 A 表示“第二次取出小球的标号是 2”，事件 B 表示“两次取出小球的标号之和是 m”.(1)若用不放回的方式取球，求 P A；(2)若用有放回的方式取球，求证：事件 A 与事件 B 相互独立的充要条件是9m.7（2023广东珠海广东珠海珠海市第一中学校考模拟预测珠海市第一中学校考模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名已经结束考生的考号按 0001，0002，的顺序从小到大依次排列某位考生随机地了解了 50 个考生的考号，具体如下：04000904074700900636071400170432040302760986080406970419073502780358043409460123064703490105018600790434096005430495097402190380039702830504014005180966055909100558044206940065075707020498015602250327(1)据了解，这 50 名考生中有 30 名男生，20 名女生在某次模拟测试中，30 名男生平均分数是 70 分，样本方差是 10，20 名女生平均分数是 80 分，样本方差是 15，请求出此 50 人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具体分数不知晓）(2)请根据这 50 个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数 N，并说明理由8（2023湖南邵阳湖南邵阳邵阳市第二中学校考模拟预测邵阳市第二中学校考模拟预测）为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表：乙丙丁比赛的次数606050甲获胜的次数203040以上表中的频率作为概率，求解下列问题.(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.（）求甲至少胜一场的概率；（）如果甲胜一场得 2 分，负一场得 0 分，设甲的得分为X，求X的分布列与期望；(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为p，那么以什么样的出场顺序才能使概率p最大，并求出p的最大值.9（2023山东威海山东威海统考二模）统考二模）乒乓球被称为中国的“国球”20 世纪 60 年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军 乒乓球比赛每局采用 11 分制，每赢一球得 1 分，一局比赛开始后，先由一方发 2 球，再由另一方发 2 球，依次每 2 球交换发球权，若其中一方先得 11 分且至少领先 2 分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10:10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得 2 分的一方为胜方，该局比赛结束现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球(1)求该局比赛中，打完前 4 个球时甲得 3 分的概率；(2)求该局比赛结束时，双方比分打成11:1且甲获胜的概率；(3)若在该局双方比分打成10:10平后，两人又打了 X 个球该局比赛结束，求事件“4X”的概率10（2023重庆沙坪坝重庆沙坪坝重庆八中校考二模）重庆八中校考二模）某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了 100 名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100 名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：疼痛指数X10X 1090X90X 人数（人）10819名称无症状感染者轻症感染者重症感染者其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.(1)统计学中常用()()P B ALP B A表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比.现从样本中随机抽取 1 名学生，记事件A：该名学生为有症状感染者，事件B：该名学生为重症感染者，求似然比L的值；(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似的服从正态分布2N 50,，且19010P X.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取 3名，设这 3 名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的分布列及数学期望.11（2023辽宁大连辽宁大连大连二十四中校考模拟预测）大连二十四中校考模拟预测）为纪念中国共产党成立 102 周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，我校举办了党史知识竞赛竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答 3 道题，若答对题目不少于 5 道题，则获得一个积分 已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是1p和2p，且每道题答对与否互不影响(1)若1213,24pp，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；(2)若1243pp，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得 7 个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？12（2023湖北武汉湖北武汉华中师大一附中校考模拟预测华中师大一附中校考模拟预测）杭州 2022 年第 19 届亚运会（The19th Asian Games Hangzhou 2022）将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日举办本届亚运会共设 40 个竞赛大项，包括 31 个奥运项目和 9 个非奥运项目同时，在保持 40 个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制假设四支队伍分别为,A B C D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12 最初分组时AB同组，CD同组(1)若23p，在淘汰赛赛制下，,A C获得冠军的概率分别为多少？(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？13（2023湖南湖南校联考模拟预测）校联考模拟预测）为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取 50 名学生的成绩（满分 100 分）进行分析，把他们的成绩分成以下 6 组：40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100整理得到如图所示的频率分布直方图(1)求图中 a 的值并估计全校学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分2,12XN，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过 57 分的不予奖励，得分超过 57 分但不超过 81 分的可获得学校食堂消费券 5 元，得分超过 81 分但不超过 93 分的可获得学校食堂消费券 10 元，超过 93 分可获得学校食堂消费券 15 元试估计全校 1000 名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元（结果四舍五入保留整数）参考数据：0 6827PX，2209545PX，330.9973PX14（2023广东韶关广东韶关统考模拟预测）统考模拟预测）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（）47891412新增感冒就诊人数y(位)1y2y3y4y5y6y参考数据：6213463iiy，621289iiyy.(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为56，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数1617r，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程ybxa，据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数.参考公式：121niiiniixxyybxx，12211niiinniiiixxyyrxxyy.15（2023江苏常州江苏常州江苏省前黄高级中学校考模拟预测）江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国新体育杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称 NEC 杯中日围棋擂台赛.该赛事从 1984 年开始至 1996 年停办，共进行了 11 届，结果中国队以 7 比 4 的总比分获胜.该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有n名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的n名队员按出场的先后顺序记为12,na aaL；日本队的n名队员按出场的先后顺序记为12,nb bb.假设ia胜(,1,2,3,)jb i jn的概率为p（01p为常数）.(1)当5n 时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；(2)记中国队被淘汰1(1,2,3)kkn人且中国队获得擂台赛胜利的概率为kP，求kP的表达式；(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率()P A的表达式（不用说明理由）.16（2023江苏盐城江苏盐城盐城中学校考三模）盐城中学校考三模）2021 年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有Nk k发子弹，甲每次打靶的命中率均为12，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 6 发子弹，现有一枪支其中有(1)m m 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行Nn n次射击后，记弹巢中空包弹的发数为nX，当Nk时，请直接写出数学期望nE X与1nE X的关系；求出nE X关于n的表达式.17（2023福建福州福建福州福州三中校考模拟预测）福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 100 名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.(1)求该 100 名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）(2)从竞赛成绩在40,50,50,60的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人，记竞赛成绩在40,50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E X；(3)以样本的频率估计概率，从30,50随机抽取 20 名学生，用 P k表示这 20 名学生中恰有k名学生竞赛成绩在30,40内的概率，其中0,1,2,20k 当 P k最大时，求k.18（2023云南云南校联考模拟预测校联考模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门 app.为了了解全民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取 3 人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中25是男性，35是女性.(1)当20N 时，求抽出 3 人中男性员工人数X的分布列和数学期望；(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取 3 人，在超几何分布中男性员工恰有 2 人的概率记作1P；在二项分布中（即男性员工的人数23,5XB）男性员工恰有 2 人的概率记作2P.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过 0.001（即120.001PP）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：57824.04）19（2023黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨哈师大附中校考模拟预测）哈师大附中校考模拟预测）生产某种特殊零件的废品率为p（01p），优等品的概率为 0.4，若 20 个此特殊零件中恰有 4 件废品的概率为 fp，设 fp的最大值点为0p(1)求0p；(2)若工厂生产该零件的废品率为0p（）从生产的产品中随机抽取n个零件，设其中优等品的个数为X，记kPP Xk，0,1,kn，已知5X 时优等品概率kP最大，求n的最小值；（）已知合格率为80%，每个零件的生产成本为 80 元，合格品每件售价 150 元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件 10 元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为 0.5，工厂希望一个零件至少获利 50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元20（2023黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模拟预测哈尔滨三中校考模拟预测）有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 6%，第 2，3 台加工的次品率均为 5%，加工出来的零件混放在一起，已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第 1 台车床所加工的概率（结果用分数表示）；(3)参照第（2）问给出判断，求第 1，2，3 台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.21（2023安徽合肥安徽合肥合肥市第六中学校考模拟预测）合肥市第六中学校考模拟预测）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小 93%，重量仅约 2 克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容 1.5T/3.0T 全身核磁共振扫描检查等创新功能在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成 4 次，把 4 次的数字相加，若和小于 3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数 X 的分布列；(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设*npnN表示事件“第 n 天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若12np 恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由22（2023安徽亳州安徽亳州安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过 6 小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取 100 人进行分析，得到数据如表所示：理工迷非理工迷总计男243660女122840总计3664100(1)根据0.010的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？(2)在人工智能中常用(|)|(|)P B AL B AP B A表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A表示“选到的学生是非理工迷”，B表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计|L B A的值.(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出 6 人组成一个小组，从抽取的 6 人里再随机抽取 3 人参加理工科知识竞赛，求这 3 人中，男生人数X的概率分布列及数学期望.参考数据与公式：0.0500.0100.001x3.8416.63510.82822()n adbcKabcdacbd，其中nabcd.23（2023重庆沙坪坝重庆沙坪坝重庆南开中学校考模拟预测）重庆南开中学校考模拟预测）现有 4 个除颜色外完全一样的小球和 3 个分别标有甲、乙、丙的盒子，将 4 个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量X，求X的数学期望；(2)对于两个不互相独立的事件,M N，若0,0P MP N，称 ,P MNP M P NM NP M P M P N P N为事件,M N的相关系数若,0M N，求证：|P M NP M；若事件:M盒子乙不空，事件:N至少有两个盒子不空，求,M N24（2023辽宁辽宁辽宁实验中学校考模拟预测辽宁实验中学校考模拟预测）在 2005 年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足 U23 代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了奏事最佳阵容世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段小组赛中，参赛的 32 支代表队被分为 8 各小组，每个小组 4 支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛淘汰赛中 16 支球队捉对厮杀，败者淘汰胜者晋级，通过 4 轮比赛决出最后的冠军(1)已知在小组赛中，每赢一场记 3 分，打平一场记 1 分，输一场记 0 分小组赛阶段中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马对，根据赛前球探报告分析，中国队都有实力优势，可以近似认为后两场比赛中国的获胜的概率都为 0.5，打平的概率都为 0.2，输球的概率都为 0.3设中国队三场小组赛之后的总积分为随机变量 X，求出其分布列和期望(2)10 号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重过往数据表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中 80%的场次，陈涛在其代表中国队出场的 40 场比赛中，有 30 场比赛完成了进球或者助攻在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，遗憾告别世界杯那么，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率25（2023浙江浙江校联考三模）校联考三模）为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神和教育等八部门关于印发的通知以及中国防治慢性病中长期规划（2017-2025 年）等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，实施了，“明眸”工程.各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了 100 人，同时在未近视的学生中随机调查了100 人，得到如下数据：长时间使用电子产品非长时间使用电子产品近视4555未近视2080(1)能否有 99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？(2)据调查，某校患近视学生约为 46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为 30%，这些人的近视率约为 60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率.附：22()n adbcabcdacbd，其中nabcd.0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82826（2023福建厦门福建厦门统考模拟预测）统考模拟预测）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：第一轮甲 VS 乙丙 VS 丁第二轮甲 VS 丙乙 VS 丁第三轮甲 VS 丁乙 VS 丙规定：每场比赛获胜的球队记 3 分，输的球队记 0 分，平局两队各记 1 分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为13，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为16，12，13.每场比赛结果相互独立.(1)求丁的总分为 7 分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为 3，0，3，0，求丁以 6 分的成绩出线的概率.27（2023山东泰安山东泰安统考模拟预测）统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞X，每个时间周期T内分裂一次，一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞，每次分裂后原X细胞消失，设每次分裂成一个新X细胞的概率为p，分裂成两个新X细胞的概率为1p；新细胞在下一个周期T内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的X细胞，在第一个周期T中开始分裂，其中1,12p.(1)设2T结束后，X细胞的数量为，求的分布列和数学期望；(2)设*NnT n结束后，X细胞数量为m的概率为 mPn.（i）求 2P n；（ii）证明：32827P np.28（2023湖北黄冈湖北黄冈浠水县第一中学校考三模）浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得 1 分；只有一人答对，该团队得 0 分；两人都答错，该团队得1 分假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为34，23(1)记 X 表示该团队一轮答题的得分，求 X 的分布列及数学期望E X；(2)假设该团队连续答题 n 轮，各轮答题相互独立记nP表示“没有出现连续三轮每轮得1 分”的概率，123(4)nnnnPaPbPcPn，求 a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于 3），出现“连续三轮每轮得 1 分”的概率越大29（2023浙江浙江校联考模拟预测）校联考模拟预测）为了解中学生的阅读情况，现随机抽取了某重点中学 100 人，调查他们是否喜爱阅读，统计人数如下表：喜爱阅读不喜爱阅读共计女生4550男生15共计(1)根据22列联表中数据判断是否有97.5%的把握认为“喜爱阅读与性别有关”？(2)现进行一项阅读答题测试，测试规则：若该同学连续三次答对，则测试通过，答题结束；若出现连续两次答错，则未通过测试，答题结束.其余情况下可以一直答题，直至出现前面两种情况.已知该同学每次答对的概率为35，求该同学通过测试的概率.参考附表：2P Kk0.0500.0250.010k3.8415.0246.635参考公式：22()n adbcabcdacbd，其中nabcd 30（2023安徽合肥安徽合肥合肥一六八中学校考模拟预测）合肥一六八中学校考模拟预测）在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值12,nx xx的随机变量，分别记作X和Y.条件概率,1,2,jiP YxXxi jn，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为：21()logniiiH Xp Xxp Xx.当2n 时，信道疑义度定义为22211(),logijjiijH Y Xp Xx Yxp YxXx 11211,logP Xx Yxp YxXx 21212,logP Xx Yxp YxXx12221,logP Xx Yxp YxXx22222,logP Xx Yxp YxXx(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X的平均信息量222log 31.59,log 52.32,log 72.81；(2)设某信道的输入变量X与输出变量Y均取值 0，1.满足：0,1001(01,01)P Xp YXp YXpp.试回答以下问题：求0P Y 的值；求该信道的信道疑义度H Y X的最大值.专题专题 0404 首届新高考首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西、广概率统计大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）西、贵州、甘肃专用）一、解答题一、解答题1（2023山东日照山东日照三模三模）某学校有,A B两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为 0.8.(1)计算王同学第二天去A餐厅用餐的概率；(2)王同学某次在A餐厅就餐，该餐厅提供 5 种西式点心，2,n nnN种中式点心，王同学从这些点心中选择 3 种点心，记选择西式点心的种数为X，求1P X 的最大值，并求此时n的值.【答案】(1)0.7(2)9n 或 10 时，1P X 有最大值为4591【分析】（1）根据条件概率公式和全概率公式求解即可；（2）利用超几何分布表示出1P X，列出不等式即可求最大值.【详解】（1）设1A“第一天去A餐厅用餐”，1B“第一天去B餐厅用餐”，2A“第二天去 A 餐厅用餐”，根据题意得1121210.5|0.6|0.8,P AP BP AAP AB，由全概率公式，得：21211210.5 0.60.5 0.80.7P AP A P A AP BP A B，所以，王同学第二天去 A 餐厅用餐的概率为 0.7.（2）由题意，X的可能取值有：0，1，2，3，由超几何分布可知12535151C C1C543nnn nP Xnnn，令151543nn nannn，若na最大，则11,nnnnaaaa，即1511515436541511512543432n nnnnnnnnnn nnnnnnnnn，解得910n，又Nn，所以9,10n，易知当9n 和10n 时，1P X 的值相等，所以当9n 或 10 时，1P X 有最大值为4591，即当n的值为 9 或 10 时，使得1P X 最大.2（2023云南保山云南保山统考二模统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量 x（单位：克）与药物功效y（单位：药物功效单位）之间具有关系210yxx.(1)估计该味中药的最佳用量与功效；(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为 6 克，标准差为 2，估计这批合成药的药物功效y的平均值.【答案】(1)该药物使用量为5克时可达最大功效25.(2)20【分析】（1）根据用量x与功效y之间具有关系210yxx，结合二次函数的性质，即可求解；（2）根据题意求得116niixn，22114niixxn，结合则2111110nniiiiiyyxxnn，即可求解.【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量x与药物功效y之间具有关系210yxx，可得2210(5)25yxxx，所以当5x 时，max502525y，即该药物使用量为5克时可达最大功效25.（2）解：由题意，得116niixxn，222114niisxxn，所以21140niixn，则2111110nniiiiiyyxxnn2111110nniiiixxnn604020，这批合成药的药物功效平均值为20.3（2023江苏苏州江苏苏州模拟预测）模拟预测）数据报告显示，2018-2022 年期间，某公司旗下一款软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表.年份代码x12345活跃用户数y（单位：亿）11.5112.2512.5813.6718.01(1)根据上表的数据，可用函数模型ybxa$拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（计算b的值时精确到 0.01），并预测 2025 年的活跃用户数；(2)公司规定，活跃用户数大于 12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中，将活跃用户数低于 13.00 的视为良好，赋 1 分；将活跃用户数不低于 13.00 的视为优秀，赋2 分.现从企业腾飞年中任取两年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.（参考数据：13.60y，51218.48iiix y，51522155iiiiix yxybxx）【答案】(1)1.459.25yx，2025 年的活跃用户数约为 20.85 亿；(2)分布列见解析，数学期望为3.【分析】（1）根据最小二乘法计算可得回归方程，代入年份代码即可预测 2025 年用户数；（2）根据条件得出得分的分布列，由期望公式计算即可.【详解】（1）由表格计算可得：1234535x，522151 49 16255 910iixx ，因为13.60y，51218.48iiix y，5204xy，所以 5152215218.482041.4481.45105iiiiix yxybxx.因为,x y满足ybxa$，即13.60 1.45 39.25a，所以y关于x的回归方程是1.459.25yx.令8x，得1.45 89.2520.85y ，所以 2025 年的活跃用户数约为 20.85 亿.（2）由表格可知：企业腾飞年有 4 个，其中计分为 1 分的年份有 2 个，计分为 2 分的年份有 2 个，所以X的可能取值有 2，3，4，则2224C12C6P X，112224CC23C3P X，2224C14C6P X，所以X的分布列为：X234P162316所以数学期望为1212343636E X .4（2023黑龙江大庆黑龙江大庆大庆实验中学校考模拟预测大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分 100 分），随机抽取了 100 名学生的测试成绩，按照60，70），70，80），80，90），90，100分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；(2)从测试成绩在90，100的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有 6 道题，从中随机挑选出 4 道题进行测试，至少答对 3 道题者才可以进入复赛现有甲、乙两人参加选拔，在这6 道题中甲能答对 4 道，乙能答对 3 道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望【答案】(1)82(2)分布列见解析，45E【分析】（1）利用平均数的计算方法，即可求解；（2）由题意可求，甲乙分别进入复赛的概率，然后求出0,1,2时的概率，即可得到分布列和期望.【详解】（1）平均数(65 0.01 75 0.03 85 0.0495 0.02)1082x，所以该校学生测试成绩的平均数为82.（2）由题意可知，从 6 道题中选 4 题共有46C15，因为甲能答对 6 道题中的 4 道题，故甲能进复赛的情况共有314424C