2022年重庆市中考数学真题（A卷）(含答案解析).pdf

2022年重庆市中考数学真题（A 卷）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.5 的相反数是（）A.-B.-C.5 D.-55 52.下列图形是轴对称图形的是（）3.如图，直线AB,被直线CE所截，AB/C D,ZC=5 0 ,则N1的度数为（）C.130D.1504.如 图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度Mm）随飞行时间f（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）C.10mD.13m5.如图，然（7 与。叮 位似，点。为位似中心，相似比为2:3.若 的 周 长 为 4,则 。所 的周长是)EOA.4 B.6 C.9 D.166.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有5 个正方形，第个图案中有9 个正方形，第个图案中有13个正方形，第个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个 数 为（）O O OO O O A.32 B.34 C.37O O O OO O O O O O O O OO O O OD.417.估 计 6 x（2石+石）的值应在（）A.10和 11之间 B.9 和 10之间 C.8 和 9 之间D.7 和 8 之间8.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是（）A.200(1+x)2=242 B.200(1-x)2=242 C.200(1+2x)=242 D.2(X)(l-2x)=2429.如图，在正方形ABC。中，AE平分ZfiAC交 8 c 于点E,点尸是边A 8上一点，连接O E,若BE=A F,则NCD尸的度 数 为（)A.45 B.60C.67.5D.77.510.如图，A3是。的切线，B 为切点，连接AO交 于 点 C,延长A。交。于点Q,连接8 0.若Z A =ZD,且A C =3,则A B的长度是（)C.mD.4夜Y-1 -V -1 C l1 1.若关于X的一元一次不等式组-3的解集为x W-2,且关于的 分 式 方 程 =-7-2的解 -y+1 y+15 x-a是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A.-2 6B.-2 4C.-1 5D.-1 31 2 .对多项式x-y-z-w-任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（,x-y）-（z-m-n）x-y-z +m +n,x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n.给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作 共有8种不同的结果.以上说法中正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题1 3 .计算：|-4|+（3-乃）=.1 4 .有三张完全一样正面分别写有字母4,B,C的卡片.将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则 抽 取 的 两 张 卡 片 上 的 字 母 相 同 的 概 率 是.1 5.如图，菱形中，分别以点A ,C为圆心，AD,C 8长为半径画弧，分别交对角线4 c于点,F.若A 8=2,ZBAD=6 0,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.（结果不取近似值）1 6 .为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7,需香樟数量之比为4:3:9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3.在实际购买时，香樟的价格比预算低2 0%,红枫的价格比预算高2 5%,香樟购买数量减少了 6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则 实 际 购 买 香 樟 的 总 费 用 与 实 际 购 买 红 枫 的 总 费 用 之 比 为.三、解答题1 7.计算：(l)(x +2)+x(x 4)；1 8.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形A B C D 中，E是 AD边上的一点，试说明AB C E的面积与矩形A 8C。的面积之间的关系.他的思路是：首先过点E作 8 c 的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作 B C的垂线EF,垂足为F(只保留作图痕迹).在和 E F8中，,/EF A.BC,NEFB=9O。.又 N A =9 0 ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _AD/BC,_又_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ABAE当AEFB(AAS).同理可得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,S&BCE=S&EFB+S&EFC=T$矩 彩ABFE+万 =万 S 矩 形 1 9 .公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、8 型扫地机器人中各随机抽取1 0 台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g）,并进行整理、描述和分析（除尘量用X 表示，共分为三个等级：合格8 0 4 x 8 5,良好8 5 W x 9 5）,下面给出了部分信息：1 0 台 A 型扫地机器人的除尘量：83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.1 0台8 型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85,90,90,90,94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a2 6.64 0%B90h903 03 0%根据以上信息，解答下列问题：填空：a=,b=,m =；（2）这个月公司可生产8 型扫地机器人共3 000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）.2 0.已知一次函数 =丘+。伏工0）的图象与反比例函数y =:的 图 象 相 交 于 点 8（,-2）.(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直 接 写 出 不 等 式 履 的 解 集；x(3)若点C 是点8 关于y 轴的对称点，连接AC,B C,求AABC的面积.21.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地 30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.(1)若乙先骑行2 千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达8 地，求甲骑行的速度.22.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四 边 形 是 沿 湖 泊 修 建 的 人 行 步 道.经 测 量，点C 在点A 的正东方向，AC=200米.点 E 在点A 的正北方向.点8,。在点C 的正北方向，B=100米.点 B在点A 的北偏东3 0 ,点。在点E 的北偏东45。.(1)求步道O E的长度(精确到个位)；(2)点。处有直饮水，小红从A 出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点。，也可以经过点E 到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：7 5 a l.414,73 1.732)23.若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数例如：M=2543,；32+4,=2 5，2543 是“勾股和数”；又如：M=4 3 2 5,52+22=29，2 9*4 3,，4325 不是“勾股和数”.(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”,并说明理由；(2)一个“勾股和数”M 的千位数字为。，百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记G(M)=%3,P(M)=M(-?+(j)L当G(M),P(M)均是整数时，求出所有满足条件的24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=g/+6 x +c 与直线A 8交于点A(0,T),8(4,0).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点 P 是直线A 8下方抛物线上的一动点，过点尸作x 轴的平行线交A 8于点C,过点尸作V轴的平行线交x 轴于点。，求 PC+PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)中PC+”取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5 个单位，点E 为点尸的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点尸，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程.25.如图，在锐角AABC中，ZA=60。，点 ,E 分别是边A8,AC上一动点，连接8E交 直 线 于 点AMA图1图2备用图(1)如图 1,若 A5AC,且 班 =C,NBCD=NCBE,求 NCFE的度数;(2)如图 2,若 AB=2C,且 M)=A E,在平面内将线段4 c 绕点C顺时针方向旋转60。得到线段C M,连接 被，点 N 是用E 的中点，连接C N.在点),E运动过程中，猜想线段M，CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若 43=A C,且=将AA8C沿直线4 8 翻折至AABC所 在 平 面 内 得 到 点”是AP的中点，点K 是线段尸产上一点，将/长沿直线H K翻 折 至 所 在 平 面 内 得 到Q K,连接P Q.在点D,E运动过程中，当线段尸尸取得最小值，且 Q KLP尸时，请直接写出装的值.参考答案:1.D【解析】【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）即可得.【详解】解：5 的相反数是-5,故选：D.【点睛】本题考查了相反数，熟记定义是解题关键.2.D【解析】【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.3.C【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解.【详解】解：AB/C D,.,.Z1+ZC=18O,:ZC=50,A Z 1=130.答案第1页，共 23页故选：c【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.4.D【解析】【分析】根据函数图象可直接得出答案.【详解】解：,函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度(m),.由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为1 3?，故选：D.【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键.5.B【解析】【分析】根据周长之比等于位似比计算即可.【详解】设 砂的周长是x,*/A/W C与 尸位似，相似比为2:3,AABC的周长为4,.4：x=2：3,解得：x=6,故选：B.【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键.6.C【解析】【分析】第 1 个图中有5 个正方形，第 2个图中有9 个正方形，第 3个图中有1 3 个正方形，答案第2页，共 2 3 页由此可得：每 增 加1个图形，就 会 增 加4个正方形，由此找到规律，列出第个图形的算式，然后再解答即可.【详 解】解：第1个 图 中 有5个正方形；第2个 图 中 有9个正方形，可以写成：5+4=5+4 x l；第3个 图 中 有1 3个正方形，可以写成：5+4+4=5+4 x 2；第4个 图 中 有1 7个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4 x 3；第 个 图 中 有 正 方 形，可以写成：5+4 （n-I）=4/1+1；当=9 时，代入 4+1 得：4 x 9+1=3 7.故选：C.【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键.7.B【解 析】【分 析】先 化 简 百x（2百+石）=6+旧，利 用 内 厉而，从而判定即可.【详 解】7 5x（2 石 +石）=6+厉，.,3 7 1 5 4,9 6+7 1 5C=90,ABAC=4 5 ,利用角平分线的定义求得4 4 ，再证得AABE丝AD4F(SAS),利用全等三角形的性质求得ZADF=ZBAE=22.5,最后利用 ZCDF=ZADC-ZADF 即可求解.【详解】解：四边形A3C是正方形，A AD=AB,ZDAFZB=ZADC90,ABAC=45,：AE平 分 C交BC于点E,/.ZBAE=-ZBAC=22.5,2在“鹿 和 产 中，AD=AB-1 1,根据分式方程的负整数解，确 定 根 据 分 式 方 程的增根，确 定 存-2,计算即可.【详 解】1咛5 x-l”解得解集为x W-2,解 得 解 集 为 日 誓,不等式组八4 13的解集为x -2,5 x-l aHR,解 得 心-11,V 1 a n 1 v 1 C l 17r 77r2的 解 是 广 亍,且 如,Q =R-2的解是负整数,.1 且*2,.,.-11675 S阴影=S 菱形ABCD-S 扇形ADE-S扇形CBF=：x2百x2-=2 G-马 兀，2 36U 36()3故答案为：2/3 zr.DB【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键.16.35【解析】【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可.【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9 x.甲、乙两山需红枫数量2a、3”.4x+2a _ 53x+3a 6)a=3x,答案第9页，共23页7故丙山的红枫数量为?4 x +2 a)-9 x =5 x,设香樟和红枫价格分别为?、”.1 6 m r +(6 x +9 x+5 x)=1 6 x(1 -6.2 5%)(1-2 0%)加+(6 x +9 x +5 x (l +2 5%)，m:n-5:4,；实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为1 6 x-(l-6.2 5%).(l-2 0%)w _ 3解：原式=b(a+b)(a-b)2a+b【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.1 8.ZA=ZEFB、ZAEB=ZFBE,BE=EB、AEDC冬ACFE(AAS)答案第1 0 页，共 2 3 页(6 x+9 x+5 x).(l +2 5%).3故答案为：.【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键.1 7.(1)2X*1 2+4【解析】【分析】(1)先计算乘法，再合并，即可求解；(2)先计算括号内的，再计算除法，即可求解.(1)解：原式=Y+4 x +4 +x?-4 x=2 x?+4(2)【解析】【分析】过点E 作 BC的垂线E F,垂足为尸，分别利用AAS证得B4E四EEB，E D 8 4C F E,利用全等三角形的面积相等即可求解.【详解】证明：用直尺和圆规，过点E 作 BC的垂线E F,垂足为尸(只保留作图痕迹).如图所示，在和EFB中，:EFLBC,：.ZEFB=90.又 ZA=90,二 ZEFB=ZA：AD/BC,：.ZAEB=4FBE 又BE=EB：.LBAE冬AEFB(AAS).同理可得&)(?四CFE(A4S).S&BCK=S&EFB+S&EFC=$HiKiABFE+$矩 形FCD=Q$矩 形ABC。,故答案为：ZA=NEFB、ZAEB=ZFBE、BE=EB、EDCACFE(AAS)【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键.19.(1)95；90；20答案第I I 页，共 23页(2)9 00 台(3)A 型号更好，在平均数均为9 0 的情况下，A型号的平均除尘量众数9 5 大于B型号的平均除尘量众数9 0【解析】【分析】(1)根据中位数和众数的定义求出a,b,根据8型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；(2)用总数乘以B型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；(3)可从众数的角度进行分析判断.(1)解：A型中除尘量为9 5 的有3个，数量最多，所以众数。=9 5；B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为5 0%,所以?=1 5 0%3 0%=2 0%,即，=2 0；因为B型中“合格”等级所占百分比为2 0%,所以B型中“合格”的有2个，所以B型中中位数=气9 0+型 9 0=9 0；故答案为：9 5；9 0；2 0；(2)3 000 x 3 0%=9 00(台)，答：估计该月8型扫地机器人“优秀”等级的台数有9 00台；(3)A型号更好，理由：在平均数均为9 0的情况下，A型号的平均除尘量众数9 5 大于B型号的平均除尘量众数9 0.【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键.2 0.y=2 x+2,图见解析答案第1 2 页，共 2 3 页(2)-2 c x 1 1 2【解析】【分析】(1)把 A(l,?)，B(,-2)分别代入丫=:得 到?，的值，得到点A和点8的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；(2)由函数图象可知，当-2 x l 时，一次函数y=+b(%H O)的图象在反比例函数 =总的图象的上方，即可得到答案；x(3)根据点C 是点8关于y 轴的对称点，求出点C 的坐标，得到8c的长，进一步求出三角形的面积即可.(1)解：把 A(l,，8(,2)分别代入丫=:得，4 0 4m=,-2 =,1 n解得2=4,=-2,；点 A (1,4),点 B(-2,-2),把点A (1,4),点 3 (-2,-2)代入一次函数y=履+/?(女工0)得，J k+b=4-2k+b=-2fk=2解 得)，b=2 一次函数的表达式是y=2 x+2,这个一次函数的图象如图，答案第1 3 页，共 2 3 页解：由函数图象可知，当-2 l时，一次函数y=+旗”#0）的图象在反比例4函数=一的图象的上方，X4.不等式爪+匕 一的解集为一2 x l；x（3）解：.,点C是点B关 于 轴的对称点，点B的坐标是（-2,-2）,.点C的坐标是（2,-2）,：.BC=2-（-2）=4,，SAA%=JX4X6 =1 2.【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键.2 1.2 4千米/时（2）1 8千米/时【解析】【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2 x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙答案第1 4页，共2 3页列方程求解即可；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2 x 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达8地列方程求解即可.(1)解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为L2 x 千米/时,由题意得：0.5 x L2 x =0.5 x+2,解得：x=2 0,则 1.2 x =2 4,答:甲骑行的速度为2 4 千米/时；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2 x 千米/时，小的也出 3 0 1 3 0由题意得：一-,x 3 1.2 x解得x =1 5,经检验工=1 5 是分式方程的解，则 1.2 x =1 8,答：甲骑行的速度为1 8 千米/时.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键.2 2.(1)2 8 3 米(2)经过点8到达点。较近【解析】【分析】(1)过E 作 B C 的垂线，垂足为“，可 得 四 边 形 是 矩 形，从而得到E”=A C =2 0 0米，再证得。暇/为等腰直角三角形，即可求解；(2)分别求出两种路径的总路程，即可求解.答案第1 5 页，共 2 3 页（1）解：过 E 作 BC的垂线，垂足为H,BHC、D北西 东南:.N CAE=N C=NCHE=90,二四边形 ACHE 是矩形，.=AC=200 米，根据题意得:Z=45,为等腰直角三角形，.*.Z）H=EH=200 米，/.D E =J2EH=2 0 0 283（米）;（2）解：根据题意得：ZABC=ZBAE=30,在 RhABC中，A8=2AC=400米，.经过点 8 到达点。，总路程为 AB+BD=500 米，/.B C =yjAB2-B C2=200/3（米），,AE =C H =B C+B D-D H =200A/3+100-200=200/3-100（米），经过点 E 到达点）,总路程为2 0 0 0 +20073-100=529 500,/.经过点B到达点D较近.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键.23.（1）2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析（2）8109 或 8190 或 4536 或 4563.【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得104+6=02+才，根据G（M）,P（M）均是整数可得c+4=9,2+/=81-2c4为 3 的倍数，据此得出符合条件的c,d 的值，然后即可确定出M.解:2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；S S：V 22+22=8.8*20,.1022不是“勾股和数”；.52+52=5 0,，5055是“勾股和数”；（2）为“勾股和数”，.104+6=。2+解，.oc2+/=5 2+4；1+5 的对称轴为；|；=-4,.,.设Nn,n+4?+,分情况讨论：当E F为对角线时,答案第18页，共 23页7则一 4+九 二,2解得：n=-,止 匕 时 _ 1 2+4“+1 =竺,2 2 2 8当EM为对角线时，71 5贝 I J 一 上一4=，B Pn =-,22此.;D时.一1 2 +44 +7 =1 3,2 2 8当EN为对角线时，71则-F =-4,即=,2 2l l n.1 2,7 1 3止 匕 时 一 +4+=,2 2 8综上所述,点N的坐标为：昼 M也 卜:,).【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程.2 5.(l)Z E F C =60(2)BF +C F =2 C N,证明见解析2 V 1 4+V 421 4【解析】【分析】(1)在射线C Q上取一点K,使得C K =BE,证明 C B E 四 B C K,求出4 C E B =A B K D =N B D K =Z A D F,然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案;(2)证明 A B E 怂 B C D,求出/B F C =1 2 0,倍长CN至Q,连接F Q,P Q,证明 C N M 乌 Q V F,求出F Q =CM=8 C,在 C 尸上截取尸P=FB,连接B P,易得A P B F答案第1 9页，共 2 3 页为正三角形，然后求出NPFQ=NP8C,证 四 尸3 C,可得尸Q=PC,ZQPF=ZCPB=60,则可得PCQ为正三角形，然后由BF+C尸=PF+CF=PC=QC=2CA出结论；(3)根据NBRC=120。可知F轨迹为如图3-1中圆弧，。为所在圆的圆心，此时A。垂直平分B C,当尸、F、。三点共线时，PF取得最小值，设HL=LK=2,解直角三角形求出PL、P H,再用面积法求出P 0计算即可.(1)解：如 图1,在射线CD上取一点K,使得CK=BE,V ZBCD=ZCBE,BC=BC,:./CBE9 ABCK(SAS),，BK=CE=BD,：.NCEB=NBKD=NBDK=ZADF,二 ZADF+ZAEF=ZAEF+ZCEB=180,，ZA+Z)FE=180,ZA=60。，:.ZDFE=U0,：.NCFE=60；(2)BF+CF=2CN,证明：V ABAC,ZA=60,.ABC是正三角形，：.AB=BC=AC,NA=NQ8C=60。,又：BD=AE,：./ABEABCD(SAS),?.ZBCF=ZABE,答案第20页，共23页:./FBC+NBCF=60。,AZBFC=120,倍长CN至Q,连接 2,PQ,:CN=QN,NQ NF=/CNM,NF=NM,:,/C N M义AQNF(SAS),FQ=CM,NQFN=NCMN,由旋转的性质得AC=CM,:.FQ=CM=BC,在。尸上截取尸尸=尸8,连接BP,/ZBFC=120,ZBFP=60Q,依尸为正三角形，A ZBPF=60,APBC+APCB=ZPCB+ZFCM=120,J NFCM=4PBC,.：/Q F N=/C M N,：.FQ/CM,:.APFQ=4FCM,./PFQ=NPBC,又：PB=PF,FQ=BC:PFQ dPBC(SAS),：.PQ=PCf/Q PF=NCPB=60。,/.ZPCQ为正三角形，.BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN,g|J BF+CF=2OV；图2答案第21页，共 23页（3）由（2）知 NBFC=120,，产轨迹为如图3-1中圆弧，。为所在圆的圆心，此时A。垂直平分BC,P、F、。三点共线时，P F 取得最小值，:ZPAO=ZPAB+NBAO=90,AO 2tan NAPK=产.AP 6:.ZHPK45,；QK 工 PF,：.NPKH=ZQKH=45,如图3-2,作 HLJ_PK于 ,没 HL=LK=2,r rHL 2 2 2在 RfAHLP 中，tanN4PZ.=,=F，即 后=不,F L 7 5 F L 7 5二 PL=+,PH=+2=5/7，HK=yji1+22=2y2 设P。与HK交于点R,则HK垂直平分PQ,：SAPHK=-P K H L=-H K P R,2 2（2+6）x2=2应 PR,PR-2+6 r K -0PQ=2PRJ+学,:BC=AP=2PH=2 不，.PQ 4+2 6 1 2x/14+V42 -=-7=-X-=-BC V2 2后 14答案第22页，共 23页【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质，圆的基本性质，解直角三角形，勾股定理等知识，综合性较强，能够作出合适的辅助线是解题的关键.答案第23页，共 23页