2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题卷（含答案与解析）.pdf

黑龙江省龙东地区2022年初中毕业学业统一考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合。2.答客观题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案。答案不能答在试题卷上。3.答主观题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题3 分，满分30分）1 .下列运算中，计算正确的是（）A.b-a =b2-a2 B.3a-2a-6 aC.（-/）=x4 D.a6-i-a2 a32 .下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）3 .学校举办跳绳比赛，九 年（2）班参加比赛的6 名同学每分钟跳绳次数分别是1 72,1 6 9,1 8 0,1 8 2,1 75,1 76,这 6 个数据的中位数是（）A.1 8 1 B.1 75 C.1 76 D.1 75.54 .如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）田 由A.7 B.8 C.9 D.1 05 2 0 2 2 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了 4 5 场，共有多少支队伍参加比赛？（）A.8 B.1 0 C.7 D.9y _ I 7 1 36.已知关于x的分式方 程=-二=1 的解是正数，则?的取值范围是（）X 1 1 XA.m4 B.m4且/n/5 D.加 4且加H l7.国 家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某班同学报名参加书法和围棋两个社团,班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费3 6 0 元.其中毛笔每支1 5 元，围棋每副2 0 元，共有多少种购买方案？（）A 5 B.6 C.7 D.838 .如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，平行四边形0 5 4。的顶点B在反比例函数y =2的图象xk上，顶点A在反比例函数y =的图象上，顶点。在 x 轴的负半轴上.若平行四边形0 8 4。的面积是5,x9 .如图，AABC中，A B =A C,AO 平分N B A C 与 B C 相交于点。，点 E是 AB的中点，点 F是。C 的中点，连 接 所 交 AO 于点P.若AABC的面积是2 4,P D 1.5,则 P E 的 长 是（）1 0 .如图，正方形A B C。的对角线A C,8。相交于点O,点尸是C D上一点，O E 上O F 交 B C 于点E,连接 A E,B F 交于点P,连接0P.则下列结论：AE_L M；N O P 4=4 5；A P-B P =C O P；4 1若BE:C E =2:3,则 t a n/C 4 E =；四边形O E C尸的面积是正方形A B C。面积的一 其中正确的7 4结 论 是（）A.B.C.D.二、填空题（每题3分，满分30分）11.我国南水北调东线北延工程2021-2022年度供水任务顺利完成，共向黄河以北调水1.89亿立方米，将数 据1.89亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为.12.函数y=中自变量x的 取 值 范 围 是.13.如图，在四边形48。中，对角线AC,8。相交于点O,O A =OC,请 你 添 加 一 个 条 件,使 AAOBCOD.14.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸 到 红 球 的 概 率 是.2x-l315.若关于x的一元一次不等式组 八的解集为x =60,A）=3,A”是N 8 A C的平分线，C E J _ A H于点E,点P是直线A B上的一个动点，则OP+PE的最小值是1 9.在矩形A B C D中，A B =9，A D =1 2，点E在边C。上，且。E =4,点P是直线B C上的一个动点.若V A P E是直角三角形，则B P的长为.2 0 .如图，在平面直角坐标系中，点A，4,4,A4在x轴上且。4,=1,04=204，。4=2。4,0A,=2O A3按此规律，过点4，4,4,A4作x轴的垂线分别与直线y =交于点片，B2,鸟，B&记AO A 4,0 4 4,AO A-B,，AOAA的面积分别为H，邑，S 3 .则 S2O 22-三、解答题（满分60分）（2 2a、2a 2 1.先化简，再求值：f 一1 二，其中a =2 8 s 3 0 0 +l.（a-1 J a+2 2 .如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，AA B C的三个顶点坐标分别为A。,1）,8（2,-5）,C（5,-4）.(1)将AABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到旦G，画出两次平移后的 A B ,并写出点A的坐标；(2)画出 36绕点C 1顺时针旋转9 0 后得到，并写出点A的坐标；(3)在(2)的条件下，求点A 1旋转到点&的过程中所经过的路径长(结果保留兀).2 3.如图，抛物线y =Y+历c +c经过点4(-1,0),点8(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P,使APBC的面积是 B C D面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标:若不存在，请说明理由.2 4.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生 睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x 8.5 B组：8.5 x 9 C组：9 x 9.5 。组：9.5 x 10根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题:(1)本次共调查了 名学生；(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；(4)若该校有15 00名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？25 .为抗击疫情，支援B市，4市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往8市.甲、乙两辆货车从A市出发前往8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达8市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往3市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离)，(k m)与乙车所用时间x (h)之间的函数图象如图所示.(1)甲车速度是 k m/h,乙车出发时速度是 k m/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y (k m)与乙车所用时间x (h)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)乙车出发多少小时，两车之间 距离是120k m?请直接写出答案.26 .AA B C和AADE都是等边三角形.(1)将AAD石绕点A旋转到图的位置时，连接B,CE并延长相交于点尸(点P与点A重合)，有PA+PB=P C(或Q4+PC=P 3)成立；请证明.(2)将AAD石绕点A旋转到图的位置时，连接B。，CE相交于点P,连接孙，猜想线段出、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将AADE绕点4旋转到图的位置时，连接BZ),CE相交于点尸，连接 孙，猜 想 线 段%、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.27.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳.已知购进10根4种跳绳和5根8种跳绳共需175元：购 进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元.(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A种跳绳?根，若班级计划购买4、8两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？28.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边A 8在x轴上，顶点。在y轴的正半轴上，M 为的中点，0 4、。8的长分别是一元二次 方 程/一7彳+12=0的两个根(。4 4 B.m4且机H5 D.加 0且 m4 I/O,即可求解.【详解】方程两边同时乘以（x 1）,W 2x-m+3=x-l.解得 x =4,关于X 的分式方程一2-=1 的解是正数，X 1 1 Xx0,且即加40且机4 I/O,二.加 4且加。5 ,故选：C.【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0,熟练掌握知识点是解题的关键.7.国 家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动.某班同学报名参加书法和围棋两个社团,班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费3 6 0 元.其中毛笔每支1 5 元，围棋每副2 0 元，共有多少种购买方案？（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】设设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据总价=单价x 数量，即可得出关于x,y 的二元一次方程，结合X,y 均为正整数即可得出购买方案的数量.【详解】解：设购买毛笔x 支，围棋y 副，根据题意得,15x+20y=360,即 3x+4产72,3又,：x,y 均为正整数，x=4 x=8(x=l2 x=16 fx=201 =15 或%=12 或=9 或=6 或=班长有5 种购买方案.故选：A.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键.38.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，平行四边形OBAO的顶点8 在反比例函数y=的图象x上，顶点A 在反比例函数丁=人的图象上，顶点。在无轴的负半轴上.若平行四边形OBA。的面积是5,【答案】D【解析】【分析】连接0 4,设 AB交)，轴于点C,根据平行四边形的性质可得AB/O D,再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解.【详解】解：如图，连接0 4 设 AB交 y 轴于点C,四边形0 B A D是平行四边形，平行四边形0 B A D的面积是5,*e S goB 2 Q，A B O D,A8d_y轴，qk 点8 在反比例函数y=二的图象上，顶点A在反比例函数y=一的图象上,xx解得：k=-2.故选：D.D 0|X【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键.9.如图，AABC 中，A B A C ,A平分N B 4c与8 c相交于点。，点E是AB的中点，点F是 C的中点，连接E尸交AO于点P.若AABC的面积是24,PD=1.5,则PE的 长 是（）A.2.5C.3.5【答案】A【解析】【分析】连接取的中点G,连接E G,先由等腰三角形“三线合一”性质，证得AC_LBC,B D=C D,再由E是A 8的中点，G是4。的中点，求出SAEGO=3,然后证AEGP丝 尸（AAS）,得G P=C P=1 5,从而得O G=3,即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长.【详解】解：如图，连接。E,取4。的中点G,连接EG,：A8=AC,A。平分N E 4c与BC相交于点。，：.ADBC,BD=CD,是A 8的中点,：G是A。的中点，1 0 1 r1,SAEGO=SAAED=-X6=3,是A 8的中点，G是A。的中点，：.E G/B C,EG=BD=CD,：.NEGP=NFDP=90。,是 8 的中点，:.DF=CD,:.EG=DF,：NEPG=4FPD,:.丛EGPQ4FDP(AAS),：.GP=PD=.5,：.GD=3,S&EG D=GD-EG=3,即工EG x 3=3,2 2：.EG=2,在心EG P中，由勾股定理，得PE=VE G2+G P2=V 22+I.52=2$,故选：A.【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键.1 0.如图，正方形A8C。的对角线AC,8。相交于点O,点尸是C。上一点，交8 c于点E,连接AE,B F 交于点、P,连接O P.则下列结论：A 1 B尸；N O E 4=4 5 ；A P-B P =O o P；4 1若BE:C E =2:3,则ta n/C 4 E =-；四边形OECF的面积是正方形ABC。面积的一.其中正确的7 4结 论 是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别对每个选项进行证明后进行判断：通过证明G O F0力。(ASA)得至E C=F D,再证明EAC F B D(S A S)得至ljNEAC=NF8。，从而证明ZBPQ=ZAOQ=90,即 A E,B F；通过等弦对等角可证明Z O P A =Z O B A=45；通过正切定义得tan/84E =2RF =MRP，利用合比性质变形得到-8 尸 二CF与-R卢P，再通过证明AB AP BE AOPSAAEC得到CE=匕n p.AF OP-AF-RP;#,代 入 前 式 得 A P-8P =4，最后根据三角形面积公式得到A O AO-BEA E B P=A B B E,整体代入即可证得结论正确；作 E G,A C 于点G 可得EG 80,tanZ C A E =EG=EG,设正方形边长为5 a,分别求出AG A C C G3E G、AC、CG的长，可求出tanNC4E=,结论错误；7将四边形。ECF的面积分割成两个三角形面积，m D O F C O E(A S A),可证明S 联 形0ECF=S4CO及S4COF=s4D0F+SACOF=S4COD 即可证明结论正确.【详解】.四边形ABCD是正方形，。是对角线4C、8。的交点，0C=0D,0CA.0D,N O D F=N O C E=4 5。,；OE 上 OF：.Z D0F+Z FOC=Z F0C+Z EOC=90：./D 0 F=N E 0 C在4 D O F与4 COE中NODF=ZOCE0 c =0DZDOF=NEOC：.ADOF COE(ASA)：.EC=FDE C =F D：在 E4C 与小 FBD 中 1.5【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,即可求出答案.【详解】解：根据题意，2 x-3 0,x 1.5 ；故答案为：x 1.5.【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0 进行解题.1 3.如图，在四边形A 8 C Q 中，对角线AC,8。相交于点。，O A =O C,请 你 添 加 一 个 条 件，使 AAOB 会 ACOD.【答案】OB=OD（答案不唯一）【解析】【分析】根据S A S 添 加O B=O D即可【详解】解：添加0 8=0。，AOB 和 C OD 中，A O =C O N A O B =Z C O D ,O B =O D：.A O B C O D(S AS)故答案为0 8=0。（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键.1 4.在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个 白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸 到 红 球 的 概 率 是.【答案】-3【解析】【分析】利用概率公式计算即可.【详解】不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，2 1，摸到红球的概率是=2 +4 3故答案为：.3【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键.f 2 x-l 31 5.若 关 于x的一元一次不等式组 八的解集为x2,则“的取值范围是_.x-a 2#2 a【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案.【详解】解:2元1 V 3 Vx a 0(2)解不等式得：x 2,解不等式得：x a,2 x-l 3.关于x的不等式组 八的解集为x V 2,x-a 2.故答案为：a 2.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）.1 6.如图，在O O中，A 8是。O的弦，O O的半径为3 c m,C为0。上一点，N A C B =6 0,则A B的长为 c m.B【答 案】3#【解 析】【分 析】连 接04、0 B,过 点。作。于 点。，由垂径定理和圆周角定理可得A=8。=24 408=120。，再根据等腰三角形的性质可得NQ46=NO84=3 0 ,利 用 含30。角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解.【详 解】解：连 接OA、O B,过 点。作OOLAB于 点 ,AD=BD=-A B ,NODA=90。,21 ZACB=60,ZAOB=20,.OA=OB,NOW =NOBA=30。，,/OA=3cm,3二.OD=cm,2.AD=yJOA2-O D2=c m，2/.AB-3V3cm,故答案为：3 v L【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含3 0。角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.1 7 .若一个圆锥的母线长为5 c m,它的侧面展开图的圆心角为1 2 0。，则这个圆锥的底面半径为【答案】-3【解析】【分析】由于圆锥的母线长为5 c m,侧面展开图是圆心角为1 2 0。扇形，设圆锥底面半径为r e m,那么圆锥底面圆周长为2 m-c m,所以侧面展开图的弧长为2 c m,然后利用弧长公式即可得到关于，的方程，解方程即可求解.【详解】解：设圆锥底面半径为巾m,则圆锥底面周长为：2乃 尸c m,，侧面展开图的弧长为：2%r c m,I jir-120 x5180解得：k 二，3故答案为：一.3【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.1 8.如图，菱形4 3 C D中，对角线A C,8。相交于点O,N R 4 0 =6O。，A D =3,A”是N 8 4 C的平分线，于点区点尸是直线A 3上的一个动点，则OP+PE的最小值是.【答案】巫2【解析】【分析】作点。关于4 8的对称点尸，连接。尸交A B于G,连接P E交直线A B于P,连接P O,则P O=P F,此时，P O+P E最小，最小值=E F,利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出O F,O E长，再证明国?尸是直角三角形，然后由勾股定理求出E F长即可.【详解】解：如图，作点。关于A B的对称点F,连接O F交A B于G,连接P E交直线A B于P,连接PO,JIlJ PO=PF,此 日 寸，PO+PE最/J、，最、值=：厂,菱形 ABC。，.ACBD,OA=OC,O=OD,AD-AB=3,：ZBAD=60,.AB。是等边三角形，:.BD=AB=3,/8AO=30,.3 OB,2o:.OA=-6 ,2点。关于AB的对称点F,aA OF LAB,OF=2OG=OA=-y/3 f2：.NAOG=60。,C E_L A,OA=OCf3J OE=OC=OA=-02 4平分/BAC,：.ZCAE=5f：.ZAEC=ZCAE=15,ZDOE=ZAEC+Z CAE=30,ZDOE+ZAOG=30O4-60=90,J ZFOE=90,由勾股定理，得EF=JO F2+OE?=、2 PO+P E最 小值二城.2故答案为：巫.2【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点。关于A 8的对称点F,连接0尸交AB于G,连接P E交直线A 8于P,连接尸0,则P 0=P F,贝lJP0+PE最小，最小值=EF是解题的关键.19.在矩形A8CD中，AB=9,A D =1 2,点E在边C。上，且C E=4,点P是直线BC上的一个动点.若V A P E是直角三角形，则8尸的长为_ _ _ _ _ _ _.【答案】二31 或 一15或63 4【解析】【分析】分三种情况讨论：当NAPE=90时，当NAP=90时，当/抬=9 0 时，过点P作尸凡LD 4交D 4延长线于点F,即可求解.【详解】解：在矩形A8CD中，A B=C D =9,A D B C =2,N8A=N8=NBCD=NAOC=90,如图，当/APE=90时，A ZAPB+ZCPE=90Q,V ZBAP+ZAPB=90a,/BAP=/CPE,VZB=ZC=90,A B P s C E,.AB BP 9 _ BP -,即-=-P C C E 1 2-BP 4解得：BP=6；如图，当NAEP=900时，ZAED+ZPEC=90,V ZDAE+ZAED=90,J /DAE=/PEC,VZC=ZD=90,J AADESRECP,.-A-D=-D-E-,即n n 1 2 =-9-4-C E PC 4 PC解得：P C =1,33 1 BP=BC PC =j3根据题意得NBA片 NA8P=NF=90,四边形A3P/为矩形，；.PF=AB=9,AF=PB,u：ZPAF+ZDAE=9 0,ZB4F+ZAPF=90,:/DAE=/APF,V ZF=ZD=90,.A F _ PF AF _ 9 -,b|J-，DE AD 9-4 1 2解得：AF=-,即 P B =L；4 43 1 1 5综上所述，8尸的长为或，或6.3 43 1 1 5故答案为：一 或 一 或63 4【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键.2 0.如图，在平面直角坐标系中，点 4，A,4,A4在 x 轴上且。4=1，0 4=2 0 4,0 4=2 0%,0A4=2O A3按此规律，过点A，A2,A3,A4作 X轴的垂线分别与直线y=Jx交于点片，B2,B3,B4记AO A 4，。人 与，A0 4B,，AO A4B4的面积分别为A，邑，S3 .则$2022=-【解析】【分析】先求出44=6,可得2仪4=弓，再根据题意可得44 4与 44 A,B”,从而得到AOAG s 。&82 s AQ 4/3 S AOAAS QA纥,再利用相似三角形的性质，可得SA0A|8|:5乙 6：3乙。&与：SAO&BA :SA0 4%=1:22:（22）2：（23）2：（2 ,即可求解.【详解】解：当尸1时，y =,.点.4 4 =技S.O A,B,=3 1乂6 =总根据题意得：A B 4根 A4 4根,:.。4s s 0 4层 s O A 3 B 3 s O A4B4.s 0 4 纥，e,S.oABi：SQAZB?O AyBy-.:O ABn 0A2:O A:O A.:0An2,:0 A =1 ,O Ay=2 0 A，=2O A2,0 A4 =2 0 4.0 4=2,0 A3=4 =22,04=8 =2。4=2 ，q,乙。片 片 q q q OA2B2 AOA3B3 UAOA之 式从出”1:22:（22）2：（23）2：（2T 丫=1:22:24:26:且=2成 技2故答案为：24 O 4 IV3 .【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键.三、解答题（满分60分）2 1.先化简，再求值:a2-2 a;2Q 1 .+-,其中a =2 8s 3 O 0 +l.Q +1【答案】,立1-4/3【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，再把特殊角的三角函数值代入，求出。值，然后把a值代入化简式计算即可.【详解】解：原式=ci 2。a 1 1 一,。+12a-11 2cl Q +1Q?-1 2Q 11=-，-a当 a =2 c o s 3 0 +l =G +l 时,原式=1-V3-1_ V 3-T【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.2 2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，AA B C的三个 顶 点 坐 标 分 别 为5（2,-5）,C（5,T）.y（1）将AABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到旦G，画出两次平移后的 A B ,并写出点A的坐标；（2）画出 36绕点C1顺时针旋转9 0 后得到 AG，并写出点儿的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A 1旋转到点4的过程中所经过的路径长（结果保留火）.【答案】（1）见解析；4（-5,3）（2）见解析；4（2,4）（3）点A 旋转到点&所经过的路径长为:兀【解析】【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点4旋转到点儿为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可.【小 问1详解】解：如 图 所 示 即 为 所 求，A(-5,3)；【小 问2详 解】如图所示 A 2&C2即为所求，4(2,4)；【小 问3详 解】,/C,=A/32+42=5.点A旋 转 到 点A,所 经 过 的 路 径 长9为07上r x一 S =己S兀.180 2【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋 转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键.2 3.如图，抛 物 线y =/+区+。经 过 点4(一1,0),点3(2,3),与y轴 交 于 点C,抛物线 的 顶 点 为D(1)求抛物线的解析式；(2)抛 物 线 上 是否存在点P,使APBC的 面积是 B C D面 积 的4倍，若存在，请直接写出点尸的坐标:若不存在，请说明理由.【答 案】(1)y=x2-2 x-3(2)存 在，4(1+道,1),8(1一 后,1)【解 析】【分析】将点4(1,0),点8(2,3),代入抛物线得1-b+c=04+2。+c=3求出b,c的值，进而可得抛物线的解析式.(2)将解析式化成顶点式得y=f2x 3=(x1/一4,可得力点坐标，将x=0代入得，丁 =一3,可得。点坐标，求 出/曲=1值，根据5/垢=45通。可得S“BC=4,设尸(九 病 一2加一3),则S“BC=；X2X(/2_2/_3+3)=4,求出团的值，进而可得尸点坐标.【小 问1详解】解：.抛物线y=x2+bx+c过点4(1,0),点5(2,-3),1一。+。=04+2/?+c=-3解得b=2抛物线的解析式为：y=x2-2 x-3.【小问2详解】解：存在.；y-x2 2x3-(x1)-4,0(1),将x=0代入得，y=-3,/.C(0,-3),；.)到线段8 C的距离为1,BC=2,4 SvBCO=万 X 2 X 1 =1 ,q 4Q 4,APBC F.ABCD-R，设-2m-3,则 S APBC=a x 2 x 2/?v 3+3)=4,整理得，m2 2m=4，解 得 町=1+右，或 啊=1-石，4 1 +技1),(1-7 5,1),存在点尸，使5 c的面积是5CD面积的4倍，点P的坐标为片(1+逐/卜(1-7 5,1).【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.2 4.为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：A组：x 8.5 B组：8.5 x 9 C组：9 x 9.5 。组：9.5 x 1 0根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息,解答下列问题:（1）本次共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；（4）若该校有1 5 0 0名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？【答案】（1）1 0 0 （2）补全统计图见解析（3）。组所对应的扇形圆心角度数为7 2（4）估计该校睡眠时间不足9小时的学生有3 7 5人【解析】【分析】（1）根据统计图中B组的人数与占比，计算求解即可；（2）根据E组人数占比为1 5%,求出E组人数为1 0 0 x1 5%人，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；（3）根据。组人数的占比乘以3 6 0 0计算求解即可；（4）根据A 8两组人数的占比，乘以总人数，计算求解即可.【小 问1详解】解：由统计图可知，本次共调查了 2 0 +2 0%=1 0 0 （人），故答案为：1 0 0.【小问2详解】解：由统计图可知，E组人数占比为1 5%,.E 组人数为 1 0 0 x1 5%=1 5 （人）,A 组人数为 1 0 0 2 0 4 0 2 0 1 5 =5 （人），补全统计图如图所示条形统计图解：由题意知，。组所对应的扇形圆心角度数为一X360=72,100六。组所对应的扇形圆心角度数为72.【小问4详解】解：由题意知，15()()x也=375(人)10().估计该校睡眠时间不足9小时的学生有3 7 5 人.【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，画条形统计图，用样本估计总体等知识.解题的关键在于从统计图中获取正确的信息.2 5.为抗击疫情，支援B 市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往8市.甲、乙两辆货车从A市出发前往 8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市.乙车维修完毕后立即返回4市.两车离A市的距离y (k m)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示.(1)甲车速度是 k m/h,乙车出发时速度是 k m/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y (k m)与乙车所用时间x(h)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是1 2 0 k m?请直接写出答案.【答案】(1)1 0 0 6 0(2)y =-1 0 0 x+1 2 0 0(3)3,6.3,9.1 2 5【解析】【分析】(1)根据图象分别得出甲车5 h 的路程为5 0 0 k m,乙车5 h 的路程为3 0 0 k m,即可确定各自的速度；(2)设 丁 =+。(左H 0),由图象可得经过点(9,3 0 0),(1 2,0)点，利用待定系数法即可确定函数解析式；(3)乙出发的时间为，时，相 距 1 2 0 k m,根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可.【小 问 1 详解】解：根据图象可得，甲车5/7 的路程为5 0 0 k m,甲的速度为：5 0 0-5=1 OOk m/h ；乙车5h的路程为3 0 0 k m,，乙的速度为：3 0 0+5=6 0 k m/h ；故答案为：1 0 0；6 0；【小问2详解】设 卜=米+/?(%。()，由图象可得经过点(9,3 0 0),(1 2,0)点，代入得9k+8=30 01 2%+。=0k=解 得,b=-1 0 01 2 0 0.力与x的函数解析式为y =-1 0 0 x+1 2 0 0；【小问3 详解】解：设乙出发的时间为，时，相 距 1 2 0 k m,根据图象可得，当 0 5时，1 0 0 f-60 r=1 2 0,解得：f=3；当 5/5.5时，根据图象可得不满足条件；当 5.5 Z 8 时，50 0-1 0 0(7-5.5)-30 0=1 2 0,解得：/=6.3；当 8y 9 时,1 0 0 0 8)-30 0=1 2 0,解得：t=12.2,不符合题意，舍去；当 9 f 1 2 时，1 0 0 x (9-8)+1 0 0 (t-9)+60 0 9)=1 2 0,解得：仁9.1 2 5；综上可得：乙车出发3h、6.3h 与 9.1 2 5h 时，两车之间的距离为1 2 0 k m.【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键.2 6.AABC和AAOE都是等边三角形.(1)将AAOE绕点A 旋转到图的位置时，连接B。，C E 并延长相交于点尸(点尸与点A 重合)，有P A+P B=P C(或 Q4+PC=PB)成立；请证明.(2)将AADE绕点4 旋转到图的位置时，连接B D，C E 相交于点P,连接 以，猜想线段以、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将AA。石绕点A 旋转到图的位置时，连接B。，C E 相交于点P,连接 以，猜想线段以、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.【答案】(1)证明见解析(2)图结论：P B =P A +P C ,证明见解析(3)图结论：P A+P B =P C【解析】【分析】(1)由 是 等 边 三 角 形，得 A 8=A C,再因为点P与点A 重合，所以P B=AB,PC=AC,朋=0,即可得出结论；(2)在 8 P 上截取3/=。尸，连接A F,证明(S 4S),得 Z A B D=Z A C E,再证明 C A P A B A F (SAS),Z C A P=Z B A F ,A F A P,然后证明 AAFP 是等边三角形，得P F =A P,即可得出结论；(3)在 C P 上截取CE=B P,连接A F,证明AEAZ运ACAE(S AS),得 N A B D =N A C E,再证明 B A P C A F(S AS),得出NC4 尸=N B 4 尸，A P A F,然后证明AAFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC.【小 问1详解】证明：:ABC是等边三角形，：.AB=AC,点P与点A重合，：.PB=AB,PC=AC,PA=O,：.PA+PB=PC或 PA+PC=PB;【小问2详解】解：图结论：PBPA+PC证明：在BP上截取6 E=C P,连接AF,/AABC和AADE都是等边三角形，A ABAC,A D A E，ABAC=ZDAE=60ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,：./BAD=/CAE,.BADCAE(SAS),ZABDZACE,：AC=AB,CP=BF,：./CAP/BAF(SAS),A ZCAP=ZBAF,AF=AP，：.ZCAP+NCAF=ZBAF+ZCAF,：.ZFAP=ABAC=60,；尸是等边三角形，:.PF=AP，PA+PC=PF+BF=PB；【小问3详解】解：图结论：PA+PB=PC,理由：在CP上截取C F=3 P,连接AF,c,/AABC和 A DE都是等边三角形，/.ABAC,A D-A E，NBAC=NDAE=60。：.ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,:.ABAD=/CAE,/.BADCAE(S AS),ZABD=ZACE,：AB=AC,BP=CF,：.BAPC AF(S AS),/.ZCAF=ZBAP,AP=AF，ZBAF+/BAP=ZBAF+ZCAF,:.ZFAP=ZBAC=60,AAF尸是等边三角形，/.PF=AP，：.PA+PB=PF+CF=PC,即 B4+P B=P C.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关健.2 7.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B 两种跳绳.已知购进1 0 根 A 种跳绳和5 根 B 种跳绳共需1 75元:购 进 1 5根 A 种跳绳和1 0 根 B 种跳绳共需30 0 元.(1)求购进一根A 种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？(2)设购买A 种跳绳?根，若班级计划购买A、8 两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560 元，则有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？【答案】(1)购进一根4 种跳绳需1 0 元，购进一根B 种跳绳需1 5元(2)有三种方案：方案一：购买A 种跳绳2 3根，8 种跳绳2 2 根；方案二：购买A 种跳绳2 4根，B 种跳绳2 1 根；方案三：购买A 种跳绳2 5根，B 种跳绳2 0 根(3)方案三需要费用最少，最少费用是550 元【解 析】1 0 x+5y =1 75【分 析】（1）设 购 进 一 根A种 跳 绳 需x元，购 进 一 根8种 跳