2022年江苏省南大附中高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数/（幻=3 2一。-1）炉3 6?）若对区间0,1内的任意实数内、尤3,都 有/（占）+/（电 注/（刍），则实数 的取值范围是（）A.1,2 B.e,4 C.14 D.l,2）u e,4 2.已知a =l o g 3 5,=0.4 -5,c =l o g25 ,则“，b,c的大小关系为（）A.c h a B.b c a C.abc D.c a bx-y +l 0,3 .已知所 为圆（xi y+（y +l）2=l的一条直径，点M（x,y）的坐标满足不等式组 2x+y +3 20,则 版.标 的取值范围为（）-o|A.1,13 B.4,13 7 C.4,12 D.万,124.己知函数y =0）恰有四个公共点4（不 为）,5（%,%）,。.（%3，%），0（%4，%），其中%2不 工4,则a+2）tanq=（5.ABC的内角A民C的对边分别为凡b,c,若（2a Z?）c o s C=c c o s B ,则内角C=（6.已知命题 P：V x e /?,s i n x 1B.V x cR，sinx 1C.3 x0 G R ,s i n x0 1 D.V x c R,s i n x 17.已知集合4 =%-1螃必,6 =x|l -短 5 ,定义集合A*8=z|z =x+y,x e A,y e 8 ,贝!J 8*(A*8)等于（）A.x|6 X,l B.12C.x|-l l x,0 D.x-5%,6 8 .如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）OA.2 B.-C.6 D.83|l o g3(x+l)|,xe(-l,8)9.已 知/(%)=4 r、若/(加 1)2 W0 在定义域上恒成立，则加的取值范围是(-,xe 8,+o o)、工一6)A.（0,+o o）B.1,2）C.1,+c o）D.（0,1）10.已知平面向量”，坂，（：满足：7 B=0，H =l,卜一。卜自一d=5,则 4一的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.81 1.已知集合4 =幻 2 1,B =x|l n x l,贝 IjA.AH B=x|0 x e B.AH B=x|x e C.A|J 3 =x|0vxve D.A U=x|-1 x 1；X若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =V (x e 0,1),则Gini q；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x5(xe 0,l ),则 Gi n i=l.其中正确的是：A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20分。v213 .已知点尸为双曲线E：/一 方.=仍 0)的右焦点，M,N 两点在双曲线上，且 M,N 关于原点对称，若7 1 兀M F I N F,设A M N F =9,且,则该双曲线的焦距的取值范围是.12 614 .已知随机变量X 服从正态分布N(4,)，P(X /(2 加)，则实数加的取值范围为2x-,x 6 0）的离心率为5,且过点（0,百卜（1）求椭圆C的方程；（2）已知 B M N是椭圆C的内接三角形，若点B为椭圆C的上顶点，原点。为 6 M V的垂心，求线段M N的长；若原点。为 B M N的重心，求原点。到直线M N距离的最小值.2 2.（1 0分）如图，已知正方形A B C D所在平面与梯形ABM N所在平面垂直，BM/AN,NA=AB=2,B M=4,CN=2 0（1）证明：M N工 平面B C N ；（2）求点N到平面CO M的距离.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】分析：先求导，再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间 0,1 内的任意实数不、，都有/(百)+/()/(.)，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得 fx)=a x-ex+(x-l)ex =ax-xex=x(a-ex).当 a V l 时，/(x)1,2 2故 吃 1,与 a V l 矛盾，故 a V l 矛盾.当 l Wa e时，函数f(x)在 0,l n a 单调递增，在(I n a,1 单调递减.1 2所以 f(x)m a x=/(l n a)=-a l n_a-l n a +a,因为对区间 0 内的任意实数西、9、x3,都有/(与)+/(/)2/(七)，所以7(0)+/(1)之/(如。),k 11)所以 1 +一。之一a l r r a-a l n a +a,2 2即一a l n c i a l n a d a 1 W 02 21 )1g(a)=an a-ana-a-l,(l a e)9所以 g(a)=g(l n 2 a l)0,所以函数g(a)在(1,e)上单调递减，所以 g(a)m a x=g6 =g a，2所以a W4.故 e W a W 4.综上所述，a d 1,4.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间（）内的任意实数内、马、尤 3,都有/（%）+/（工 2）2/（七）”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.2.D【解析】与中间值1 比较，“，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小.【详解】1 10.45 1,又。1 0 8 5 2 -即 l o g,5 l o g 5 ,l o g5 2 l o g5 3cab.故选：D.【点睛】本题考查幕和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幕比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数,可借助中间值如0,1 等比较.3.D【解析】首 先 将 磁 标 转 化 为 而 2 一 ,只 需 求 出 的 取 值 范 围 即 可，而 表 示 可 行 域 内 的 点 与 圆 心T（l,-1）距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为T(L-l),则 砥 赤=(而+而)(而+专):_ 二 _ *2 *2 2(MT+TE)(MT-TE)=MT-TE=MT-b过T作直线x-y +l =O的垂线，垂足为3,显然用T WM 4,又易得4(2,1),所以M 4 =内,TB|1-(-1)+1|_3#+(-1)2 -2 7故 碓 诉=MT-1G-,12.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.4.A【解析】先将函数解析式化简为y=|c o s x|,结合题意可求得切点与及其范围z 根据导数几何意义，即可求得(x 4+2)t an w 的值.【详解】s in I x +I,x G 2k兀 ,2k兀+I (Z;e z),函数y =-s in x+-l 2_.7 1 .3)|.、,x e 2k兀 H,z.k7i H-(k e z),2 2)即 y=|c o s x|直线y =m(x +2)(m 0)与函数y =|c o s x|图象恰有四个公共点，结合图象知直线y =m(+2)(m 0)与函数y =-8 s x相切于与，x4e,因为 y =s in x,-c o s x.故=s in x 4 =-广儿+2所以(+2)t an 4=(Z+2)x +2)x =1COS I*4 1)故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.5.C【解析】由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.【详解】V(2a-b)cos C=c cos B,由正弦定理可得(2 sin A-sin B)cos C=sin Ccos B,2sin AcosC=sin BcosC+sin Ceos B=sin(B+C)=sin A,1兀三角形中sinA/O,.,cosC=,C=.23故选：C.【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.6.C【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】.全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P：VxeR,sinx 1.故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.7.C【解析】根据A*B定义，求出4*3,即可求出结论.【详解】因为集合8=幻1领J-x 5 ,所以8=x|-5领Jr-1,则 A*B=x|-6 x,l,所以 8*(A*8)=x-lI%,0.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.8.A【解析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高为2,所以该四棱锥的体积为V=gxgx(l+2)x2x2=2.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.9.C【解析】QQ先解不等式/(x)W 2,可得出x N-x，求出函数,y=/(x)的值域，由题意可知，不等式(加-1)/(力2-工在定义域上恒成立，可得出关于加的不等式，即可解得实数，”的取值范围.【详解】|log3(x+l)|,xe(-l,8),x)=4.、，先解不等式/(x)W 2.-,xe|8,+oo)lx-6当一 1 cx 8时，由/(x)=|log3(x+I)|2,-2 log3(x+l)2,解得此时一4当工2 8时，由/(#=2,得工之8.九 一 6Q所以，不等式/(X)K2的 解 集 为x x N-g，.下面来求函数y=/(x)的值域.当一1%8时，0 x+l 9,则log3(x+l)2,此时/(x)=-6(0,2.综上所述，函数y=/(x)的值域为0,”)，由于/（m-1）/（力-2 V 0在定义域上恒成立，Q则不等式（/1）/（月2三在定义域上恒成立，所以，m-l0,解得m N L因此，实数团的取值范围是 1,+8）.故选：C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.1 0.B【解析】r r建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再 将。一8的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设c：=（co s a s in。），O A =a,OB =h,且4（租,0）,8（0,），由于,一 同=|一 司=5,所以加,e 4,6./48+co s 0+2n s in 0=J M+九2 也 嬴.当 且 仅 当m =n时取得最小值，此时由m2+/=48+2 m co s6 +2ns in 0得2加2 =48+2根（s in e+co s 6）=48+2 0 m s in（e+?当。=苧 时，2 72有最小值为48_2及 加，即l 5万 r r2 m2=4 8-2 V2 7/Z，m2+V 2 m-2 4 =0，解得机=3我所以当且仅当2 =3A/2,8 =彳 时a-力有最小值为J 2X（3A/2）2=6.故选：B本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.11.D【解析】因为 A =x|x?1 =X|-1X 1,8=x|l n x l =x O x e,所以 An3 =x|0 x l ,AU B=x|-l x e,故选 D.12.A【解析】对于，根据基尼系数公式Gin i=,可得基尼系数越小，不平等区域的面积。越小，国民分配越公平，所以正确.对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得V x e（O，l）,均有/（X）X,可得包 1,所以错误.对于X，因为。=底-丁）*=（与 2 _ 5 3）|=9，所以Gin i=?=L所以错误.对于，因为2 3 622a=J：（x-x3）dr =（；x 2-；x 4）|；=；,所以Gin i=：=；,所以正确.故选 A.2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。13.2 72,2 73+2【解析】设双曲线的左焦点为尸，连接用尸,人/，由于所以四边形FN FM为矩形，故IN|=|F尸 =2 c,由双1曲线定义 I NF I|NF h|NF-FM=2a 可得 0 cos1夕+：,再 求y=+的值域即可.【详 解】如图,设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 尸，连 接MF；NF,由于.所以四边形FNFM为矩形，MN=FF=2c在 RtAA/FM 中 IFN|=2ccos 0,FM|=2csin 6,由双曲线的定义可得2=2a=|-1 NF|=|NF-FM=2ccos 6-2csin 0=2&ccos。?1V2 C O S I 夕 +；-：0 ,:.3+12 6 3 4 12也2cos（夕+W2：.42 cy/3+,2A/2 2c/3+2.故答案为：20,2 6+2【点 睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.14.0.22.【解 析】正 态 曲 线 关 于x=H对 称，根 据 对 称 性 以 及 概 率 和 为1求解即可。【详解】P（X 2）=1-P（X/（2）o|3m-l|2 m|o8m2 -2 m-3 0 0 m 0时，有 一 个 极 小 值 点.(1,+?)【解析】试 题 分 析：ff(x)=aex-l,分a 0,a 0讨论，当a W O时，对V x e R,fz(x)=aex-l 0时f(x)=0,解得x =I n a,f(x)在(y,-l n a)上是减函数，在(I n a,+。)上是增函数。所以，当a V O时,f(x)没有极值点，当a()时，f(x)有一个极小值点.(2)原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式f(x)l讨论。试题解析：(I)因为f(x)=aex-x-l,所以f (x)=ae、-l,当 a W O 时，对 V x e R,f(x)=aex-l 0时，f (x)=ae、-l,令f (x)=O,解得x =-l n a,若x e(-a,-I n a),则f (x)0,所以f(x)在(-I n a,+。)上是增函数，当x =-I n a时,f(x)取得极小值为f(-l n a)=I n a,函数f(x)有且仅有一个极小值点x =-I n a,所以当a W O时，f(x)没有极值点，当a 0时，f(x)有一个极小值点.(I I)命题“V x e 0,+8),f(x)之k g(x)”是假命题，则咱xe 0,+a),f(x)k g(x)”是真命题，即不等式f(x)h(O)=O,即F(X)2 0,所以F(x)在 0,+。)上是增函数，所以F(x)F(O)=0,即f(x)2k g(x)在x e 0,+o o)上恒成立.k当k l时，因为h(x)=e-G*y在 0,+8)是增函数，因为h(0)=l-k 0,k所以h(x)在(O,k l)上存在唯一零点x 0,当xe O,Xo)时，h(x)h(Xo)=O,h(x)在R x。)上单调递减,从而h(x)Wh(O)=O,即F(x)V 0,所以F(x)在 0,x。)上单调递减，所以当X(O,Xo)时，F(x)F(0)=0,即f(x)k g(x).所以不等式f(x)k g(x)在 区 间 内 有 解综上所述，实数k的取值范围为(1,+8).18.(1)0.0 10 2 5 (2)1 一好5【解析】(1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值X的频率分布列，再根据期望公式即可求出；(2)由(1)可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4,即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为X,可根据上述方法求出P=l-(l-x)2,解-(1-20.8,即可得出最小值.【详解】(1)由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值X的频率分布列为下表:所以X的数学期望的估计为X00.0 10.0 20.0 30.0 4频率P0.40.30.20.0 7 50.0 2 5E(X)=0 x 0.4 +0.0 1 x 0.3 +0.0 2 x 0.2 +0.0 3 x 0.0 7 5 +0.0 4 x 0.0 2 5 =0.0 10 2 5.(2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4,设至少有1件是标准长度产品为事件B,则P(B)=1 1 3=0.6 4 20.8,又0 x=x(0 x 4),利用椎体的体积公式求得V =/(x)=Lxx!(4-x)2=-(x3-8 x2+16 x)3 2 6 74(0 xu平面AB。，所以A_L平面ABC,因为BC u平面A 8 C,所以AO_L8C.因为 A8=BC=注 AC，所以 AB2+BC2=AC?,2所以 AB_LBC,因为ADcAB=A,所以BC_L平面A3O.(2)解：设A=x(0 x 4),则AB=BC=4 x,四面体ABCO的体积V=/(x)=L x L(4-X)2=-(X3-8X2+16X)(0 X4).3 2 6 7/(工)=:(312 一6X+16)=(X-4)(3X-4),当0 x 0,v=/(x)单调递增；当g x 4时，/(x)0,v=/(x)单调递减.4故当/1。=%=彳 时，四面体ABC。的体积取得最大值.以3为坐标原点，建立空间直角坐标系8-肛z,则8(0,0,0),A(O,|,o ,噌，0,0)，唱设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),n-BC=Qn-BD=0则即V，=o38 4 y+z-03令z=2,得石=(0,一2),同理可得平面BDE的一个法向量为机=(1,-1,2),则=-575x76V306由图可知，二面角。一8。一石为锐角，故二面角。一3。一石的余弦值为叵.6【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.20.（1）见 解 析（2）直线AB过定点（，,2）.2【解析】（1）设出A 8两点的坐标，利 用 导 数 求 得 切 线 的 方 程，设出M点 坐 标 并 代 入 切 线 的 方 程，同理将M点坐标代入切线MB的方程，利用韦达定理求得线段A 3中点N的横坐标，由此判断出MN_Lx轴.（2）求得N点的纵坐标N，由此求得N点坐标，求得直线A 3的斜率，由 此 求 得 直 线 的 方 程，化简后可得直线A8过定点己,2）.2【详解】设切点A（X，x；）,芯）,y=2x,二切线M4的斜率为2%，切线M4：y-k=2%（x-x j,设M（/,5 2）,则有f 2 =2石玉），化简得片一2火+，-2=0,同理可的-2tx,+1 2,0.*,X?是方程 x?2tx+1 2=0 的两根，%+Z=2t,t 2,XN=*=/=,肱7_1_*轴.（2）;VN=+X；）=（“I +工2）=2广 r+2,N,2产一.+2）.V kAB=玉+%2=2入 直 线 A8：y-（2r2-z+2）=2r（x-z）,即 y-2 =2/（x 一）,x-x2 7 2直线AB过定点（g,2）.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2 1.%=1；（2）警;乎.【解析】（1）根据题意列出方程组求解即可；（2）由原点。为6AW的垂心可得BO_LMN,脑V/x轴，设M（x,y）,则N（-x,y）,x2=4-/,根据B M-O N=0求出线段M N的长；设MN中点为。，直线6与椭圆交于A,B两点，。为的重心，则60=200=0 4,设MN：y=kx+m,“（X，y j,N（x2,y2）,则A（玉+和 乂+必），当MN斜率不存在时，则。到直线用N的距离为1,（以 2+3卜/+4 加4（+/）+4 机 2 +6=0,y=kx+m*3X2+4/=1 2,贝!|（4攵2 +3）%2+8ma+4加2 -12=0,Xj+x2-8mk叱+33=篝 誉,得 出4疗=4公+3,根据“=总=带彗=求解即可.【详解】解:（1）设焦距为2 c,由题意知:/=4b2=3c=1因此，椭圆。的方程为：三+汇=1;4 3（2）由题意知：B O 工 M N,故 MV/x 轴，设 M（x,y）,则 N（x,y）,x2=4-/,B M-O N =-x2+y2-4 3 y =-y2-y/3y-4=0,解得：、=百 或 _迪，3 7B,M不重合，故），=一 半，/=爱，故M N =2|H =;设MN中点为。，直线8 与椭圆交于A，3两点，。为 加 的 的 重心，则B0=2 0）=0A,当MN斜率不存在时，则。到直线MN的距离为1；设 M N ：y=kx+m,N（x2,y2）,则 A（%+%2，X+必）才|犬 _41犬 _（办+工2）1（乂+%）.3砧+句%=-64 3 4 3 4 3+4（依 +m）（r2+m）=-6（4二+3）玉 w +4 mZ:（x1+x2）+4 m2+6 =0y=kx-m（）,，一-4很2,3（4 1+3-打4/+3则：X j+x2-Smk4 m2-1 24女2+34公+3代入式子得:P m 2 k28/n2-6-F=0,4/=4 r+34 f+3设。到直线MN的距离为4,则d =-1LVF+1攵=0时,4小考综上，原点。到直线MN距离的最小值为由.2【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.2 2.（1）证 明 见 解 析（2）毡5【解析】（1）因为正方形4 5 C。所在平面与梯形A B M N所在平面垂直，平面A B C D D平面A B M N=A f i,3 C _ L A B,所以BC,平面ABMN,因为 M N u 平面 A5MN,B N u 平面 A5M N,所以 B C 1 B N,因为 8c=2,CN=2百，所以 B N =J c V -B C2=2 0，因为 N4=AB=2,所以 AB?+AV?=82,所以 A8J_AN,因为在直角梯形A8MN中，B M=4,所以MN=2 0，所以BN?+MN?=B M 3所以B N工M N ,因为8Cn8N=8,所以M N,平面8CN.(2)如图，取3M的中点E,则B=AN,又B M A N,所以四边形ABEN是平行四边形，所以NEAB,y.A B/C D,所以 N E C D,因为NEcZ平面 COM,C D u平面 CZMf,所以 NE平面 CZ)M,所以点N到平面C D M的距离与点E到平面C D M的距离相等，设点N到平面C D M的距离为h,由B E=E M可得点B到平面C D M的距离为2h,由题易得 CO_L 平面 8C M,所以 C)_L C M,且 C M =4BC+BM?=,2,+4=2 后，所以匕.aw=-xlxCxCMx2/z=|x1x2x25x2/7=XVw.flCO=xixfiC xC Z)xB M=Ixlx2x2x4=|,所以由匕一材=V”-8。可 得 孚=J，解得/?=拽，所以点N到平面C D M的距离为巫.