2022年江西省上饶市六校高考数学第二次联考试卷（理科）（解析版）.pdf

2022年江西省上饶市六校高考数学第二次联考试卷(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1 .已知 R 为实数集，集合 A uqF T xT W O ,8=x|y=/(x-1),则 A U (CRB)=()A.却x W4 B.X|-1 WXW 1 C.木-1 D.小W42 .复数z 满足z (1-i)=2 -3i,则复数z 的共辗复数W 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .下列结论错误的是()A.若“p M q”为真命题，则 p、4 均为真命题B.ad bd”是 的 充 分 不 必 要 条 件C.命 题“若x=4,贝 I x2-2 x -8=0”的否命题是 若xW 4,贝 U/-2 x -8 2 0”D.命 题“V x 2 O,都有3*2 1 的否定是“也0,使得3*V 1”4.函数/(x)=-*f的 大致图像为()2+2IT jr5.为得到函数g(x)=2c。s(2x蓝-)的 图 像，只需把函数f(x)=-2 s in(2 x-)的图A.向左平移丁个单位B.向左平移不个单位c.向右平移；个单位D.向右平移勺兀个单位6 .在区间 0,1 上随机取两个数x、y,则满足x-y1的概率为()A.2 B.1 4C.D.29 3 9 37.已知y=/(x)是 在R上的奇函数，且对VJ IW R,都有/(x+2)=/(%),当 成(0,1)时，函数/(X)=3，则()31 1 9A.B.-2 C.D.2 3 38.新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有()A.43 2 0 种 B.2 1 6 0 种 C.1 0 80 种 D.540 利19 .如图，在长方体A8CO-A|B|CIOI中，A B=2遥,BC=4,A4,=4,E是棱A B上靠近8的三等分点，F,G分别为BC,C G的中点，P是底面A B C D内一动点，若直线8步 与平面E F G垂直，则三棱锥A-8 8 P的外接球的表面积是()A.2 8nB.56 1 TC.1 1 2 nD.224T T1 0 .第2 4届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2 0 2 2年2月2 0日在国家体育场(鸟巢)的场馆举行.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相2 2 2 2同的椭圆.假设内层椭圆的标准方程为工上=1，外层椭圆的标准方程为“上=1，4 3 8 6若由外层椭圆上的一点A 向内层椭圆引切线A C、A B,且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等于（）D.不确定1 1.已知 A BC 的外心为点O,M为边8 c 上的一点，且 丽=2 前，Z B A C=,7 6*A M=o1,则 A BC 的面积的最大值等于（）A.零 B.百.,人，百 1 ,正e1 2.a-1 叮，b-Q 3 遥 口 3娓-8-4c言 瑞，其中e 是自然对数的底数，则（e)注：e=2.7 1 8，打 2=0.6 93 A.b a c B.b c a C.a c bD.c a 0,若 f （；）=f （罂）且 f（x）在区间6 4 1 26,翳）上有最小值无最大值，则 3=.1 6 .已知双曲线C：。与=l（a 0,b o）的左焦点为F,过尸的直线/与圆炉+产=/相 切 于 点 T,且直线/与双曲线C的右支交于点尸,若双曲线C的离心率为堤，则3 F T I三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1 7-2 1 题为必考题，第 2 2、23题为选考题.1 7.计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司2021年1至7月份的5G经济收入(单位：千万)的折线图.(1)由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合y与f的关系，请建立y关于f的回归方程；(2)若该创新公司定下了 2021年内5G经济月收入突破2千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？7 7附注：参考数据：y=9.31,=40.18.i=l 1 i=l 1参 考 公 式：回 归 方 程 三+b t中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为-（tt）（yy）-._i=i_ .b=-a=y-bt-（t i-7）2i=l1 8.已知数列m,刀a,”且八=得，气 坑)为 等 差 数 歹 人(1)求知的通项公式;(2)若对任意正整数，都有求机的取值范围.1 9.如图，四棱锥 O-APCO 中，O4=OP=OC=OO=2,D A=2近,NCOA=120。，平面J_ 平面 APCO.(1)若OPC为等边三角形，求证：4 0平面PC。；(2)当四棱锥。-APCO的体积最大时，求二面角。-P C-O的正切值.AO/4C P2 0 .已知抛物线C：y2=2 px(p 0)上 的 点(2,a)到准线的距离为a.(1)求抛物线C的方程；(2)设P(0,-2),。为坐标原点，过 点7(0,2)的直线/与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线/,使 得 赢 丽=包 丽，若存在，求出的直线/方程；若不存在，请说明理由.2 1 .已知函数/(x)=(x -a)Inx-xlna,其中。0.(1)求/(x)的极值；(2)设函数g (x)=f(x)+f()有三个不同的极值点X I,及，X 3.x(i )求实数。的取值范围；(i i)证明：XIW+X323.(选考题)2 2 .以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为：p=2.在平面直角坐标系中，曲线C 2的参数方程为(Y=2+3C詈OS 6(9为参数).y=3sin6(1)求曲线C|和曲线C 2的直角坐标方程；TT(2)在极坐标系中，射 线8 T(P 0)与曲线C l、C 2分别交于A、8两点，求|A B|.62 3 .已知/(X)=|x -l|+|x -3|.(1)解关于x的不等式/C O W 6；(2)若对任意实数x,及任意正实数d b,且a+%=l,都有9/入恒成立，a b求实数人的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知 R 为实数集，集合 4=M f-3 x-4 W 0,B=xy=ln(x-1),则 AU(CRB)=()A.x|l-1 D.小W4【分析】解不等式求出集合4根据对数函数的性质求出集合8,从而求出AU(CRB)即可.解：A=4V2-3X-4W0=X|-1WXW4,Bxy=ln(x-1)=小 1,.3=卜 b d”是“ab”的充分不必要条件C.命 题“若 x=4,则 N-2 x-8=0”的否命题是“若 x#4,则/-2 x-8#0”D.命 题“V x O,都有3*2 1 的否定是 勺 x V O,使得3*V1”【分析】根据且命题的真值表判断选项4按充分不必要条件的定义判断选项以根据否命题定义判断选项C；利用全称命题的否定可判断D解：选项人 若“pA q”为真命题，p,q 均为真命题，故 A 正确；选项B：由ucu?b bn,当cO时ac2=bc1,此时由ua bn不能推出“aH,所 以aaczbc2n是ua bn的充分不必要条件,故8 正确；选 项 C：命题 若尤=4,贝 lj x2-2%-8=0”的否命题是 若xW 4,则/-2%-8 六0”.故C 正确；选项。：命 题“Vx0,都有3*2 1 的否命题是“A 0,使得故。错误.故选：D.【点评】本题考查了对命题真假的判断，难点是分清命题的否定及否命题的区别，属于基础题.D.【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除C,再分析x 0时，函数的符号，排除A,最后计算/（I）的值，排除。，即可得答案.解：根据题意，函数/（x）=x x-，其定义域为R，2+2有/（-X）=-T-于（X）,即函数/（x）为奇函数，排 除C,2+2当 x 0 时，/（%）0,排除 A,f=-=看 苔，排除D,5 2故 选:B.【点评】本题考查函数的图象分析，注意用间接法分析，属于基础题.TT JT5.为得到函数g （x）=2 c os （2 x一二）的图像，只需把函数f （x）=_2 s i n的图像（）A.向左平移三个单位 B.向左平移?个单位4 2TT JTC.向右平移9个单位 D.向右平移 个单位4 2【分析】由题意，利用诱导公式、函数），=A s i n（3 x+的概率为（）A.2 B.1 4C.D.29 3 9 3【分析】由题意可得总的基本事件为 （x,y）|0 W x W l,OW y W l ,事 件P包含的基本事件为 （x,y）|0 W x W l,OW y W l,X-），力，再由测度比是面积比得答案.解：由题意可得总的基本事件为 (x,)|Ox W l,OW y W l ,事件P包含的基本事件为 (x,)I OWXW I,OW y W l,x-y)它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影部分，IX 1故选：A.【点评】本题考查几何概型，数形结合是解决问题的关键，属中档题.7.已知y=f (x)是x R上的奇函数，且对V X 6R,都有/(x+2)=f (x),当(0,1)时，函数/(x)=33 贝/()3A.1 B.-2 C-.1 2D.一2 3 3【分析】由已知结合奇偶性及周期性吧所求函数值转化到已知区间上，代入即可求解.解：因为y=/(x)是x e R上的奇函数，且对V x e R,都有/(x+2)=f(x),又当 x e (0,1)时，函数f (x)=3,则 f(lg_ 1_ 18)=(I og3i8)=-f(logjlS -2)=-f(logj2)=-31og32=-2.故选：B.【点评】本题主要考查了利用奇偶性及周期性求解函数值，体现了转化思想的应用，属于基础题.8.新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有()A.4320 种 B.2160 种 C.1080 种 D.540 种【分析】由题意可得分到四家医院的人数为2,2,1,I,先进行分组，再分配到四家医院，可得答案.解：由题意可知：6 名调研员安排到4 家医院，符合条件的安排是四家医院分到的人数为：2,2,1,I,2 2CC共 有 6 4A：=1080,故选：C.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.9.如图，在长方体ABC。-A iB iG A 中，A B=2娓,BC=4,A4,=4.E 是棱A 8上靠近B的三等分点，F,G 分别为BC,C G 的中点，P 是底面ABC。内一动点，若直线S P 与平面EFG垂直，则三棱锥A-B S P 的外接球的表面积是()cA.28n B.56n C.112n D.224n【分析】由题意画出图形，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量证明尸与D重合，再由分割补形法求三棱锥A-B B F的外接球的表面积.解：如图,以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 A(4,0,0),8(4,276 0)，Bi(4,2遥，4),E(4,0),F(2,276-0)，G(0,276-2),3而=(-2,耳 苣，0),FG=(-2,0,2)，设平面EFG的法向量为孟=(x,y,z),由，,氏2 x*y=。,取 i 得；=(,*1)fm F G=-2x+2z=0设P(x o,y o,0),B P=(x0-4,y0-2V 6,-4),_ 逅由 B P/n.可得 1 二 2 二 1,则 出=刈=0,(0,0,0),x0-4-y0-2V 6-4三 棱 锥A -B B F的 外 接 球 即 为 长 方 体 的 外 接 球，半径R=y V 42+42+(2V 6)2=V 14-三棱锥A -BBiP的外接球的表面积是4nX 14=56n.故选：B.【点评】本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.1 0.第2 4届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2 02 2年2月2 0日在国家体育场(鸟巢)的场馆举行.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相2 2 2 2同的椭圆.假设内层椭圆的标准方程为江上=1，外 层 椭 圆 的 标 准 方 程 为 幺 上=4 3 8 6若由外层椭圆上的一点A向内层椭圆引切线A C、A B,且两切线斜率都存在，则两切线4【分析】假设A(-2叵，34c 4D.不确定0),切线方程为y=k(x+2&)，联立得4标-3 =0即可求解.y=k (x+2 V 2 )2 2-14 3解：假设A(-2 ,0)，切线方程为y=k(x+2&)，由 得(3+4 k2)x2+1 6 V 2 k2x+3 2 k2-1 2=0根据题意得=(1 6 V 2 k2)2-4(3+4 k2)(3 2 k2-1 2)=0 即 4公-3=0,Q所以 k A c k A B =N故选：A.【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的运算能力，属于中档题.TT1 1 .已知 A B C的外心为点O,“为边8。上的一点，且 而=2筱，ZBAC,同,番=1,则A A B C的面积的最大值等于()A.近 B.百 C.D.2 V 8 4【分 析】首 先 用 瓦，位 表 示 高，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出|A B I I A C|的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得.解：因为B M=2 H C，所以AH=AB+B M=AB号BC=AB所以 1=A O-A M =A 0(y A B +y A C)=押 瓦亭6 m q同2率 正 产 涔 同 尿J,所 以 国|辰|平，当且仅当|A B I=V 2 I A C I班 时，取等号，所以 S/k A B C 蒋 I A B 卜 I A C|si n ZB A C=-|A B|A C|当当且仅当|7B|=V2|A C|3时，取等号故选：C.【点评】本题考查了平面向量数量积的计算和基本不等式的应用，属于中档题.1 2 .设a=l-卑 1序，b，c吟 需，其中e是自然对数的底数，则()/4 /e e注：e=2.7 1 8 ，历2=0.6 9 3 A.bac B.bca C.acb D.ca Cf根 据 作 差 法 和 对 数 的 运 算 性 质 可 得。-=二(lW -4+2 )，令 g(X)=k 2 守-(x 0)，利用导数可得 g (x)在(1,4x+1+8)上单调递增，所以g (北)0,即c a,从而得到a,b,c的大小关系.解：构造函数/(x)=弋，则/(x)e e令/(x)=0 得 x=l,函数/(X)在(1,+8)上单调递减，e ，/、4 1 n 2 ，/b=(e)，c=41n2=.(4加 2)，eeV 4ln2 4 X0.69=2.76 e,：.b cf又 整昔g噂亭寻 ,c-a=-l-*l i r y-=-(l n /3-4+2 V 3)令 g(x)=lnx-2(I(%o),x+1则 g(x)=第 6:g(x)在(1,+)上单调递增，.g(5/3)g(1)=0即 g(百)=ia _ 2器，=ia _ 4+2 百 0,.c a,综上所述，bca,故选：C.【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数的数学思想，属于中档题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.已 知 向 量（3,-1）,康（4,-2），且（Z+百 （入E-7），则 实 数 人 的 值 为:1 .【分析】求出对应向量的坐标，再利用向量平行列式求出实数人的值.解：；向量之=（3,-1）,b=（4,-2），a+b=（7,-3）,X b a=（4 入-3,-2A+1）,；（a+b）（入 b a-1.4 入 -2 入 +1.入=-1,故答案为：-i.【点评】本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标表示，属于基础题.1 4.已知ABC的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 b=1,c o sB=Y ,且（“+c）3（sin/1-sinC）=b（sinA-sinB）,贝 ij边长 c 的值为.-4 一【分析】利 用 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得-d=a b,利用余弦定理可求cosC,结合CG（0,TT）,可求C 的值.解：:(+c)(sinA-sinC)=h(sinA-sinB),:.(a+c)(a-c)=b (a-b),即。2+分 一/二 ,2-2 2-1.cosC=3_tk 二L .=,2ab 2VCG(0,n),C=-,故 sin C=,3 2.c o s 8=*，可得 sinB=&Z短 纭=丹,O o由正弦定理可得:b*sinCsinC sinB sinB“a2 _ 43cb故答案为：芭区.4【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想,属于中档题.1 5.己知函数f（x）=s in（3 x T）,3 o,若 f（：）=f（等）且/（外 在 区 间b4 JL/翳）上有最小值无最大值，则 3=4 或 10.【分析】根据f（亍）=f（果）可求出了（X）的一条对称轴，根据该对称轴可求出3 的表达式和可能取值，结 合 y=siirr的图像，根据/（x）在 区 间 吁，翳）上有最小值无最大值判断3 的取值范围，从而判断3 的取值.JT RJT-解：；（X）满足f（T）=f（兴），,4 nr兀是/（X）的一条对称轴，4 1 2 x/兀 JT 7T 3 +八=+k 兀，1 3 =1+3Z,kcZ,3 6 2Vu）0,.3=1,4,7,10,1 3,.、1,尸,兀 5兀、Q 兀兀 兀 5兀 兀、TX（T，历时 3 x 丁丁，廿7），y=sin图像如图:则冗兀3冗5冗4 4 S(称 或O5打7JI T“兀 兀/7兀丁丁丁3岑5(5刀此时3=4或1 0满足条件,区间（2 L,二）的长度为 2 1 _ _ 2 L=1 2 L_ J2 L=2 L,k 4 1 2 ,1 2 4 1 2 1 2 6当 3 1 3H寸，/（%）最小正周期T必器w 1 3 6则f（x）在哈）既有最大值也有最小值，故31 3不满足条件.综上，3=4或1 0.故答案为：4或1 0.【点评】本题考查了三角函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.1 6.已知双曲线C：七 一%=1（0，b o）的左焦点为凡 过 尸 的 直 线/与 圆f+y2=2相切于点T,且直线/与双曲线C的右支交于点P,若双曲线C的离心率为与，则3 FT I=3【分析】设双曲线C的右焦点为G,过G作G/L PF于H,由中位线定理知|G 4|=2|O7 1=2。，FH=2 F7=2 b,由双曲线的性质可得6=守，设7 1=入 尸 刀=技（入0），结合双曲线的定义及勾股定理，即可求解入的值.解：设双曲线C的右焦点为G,过G作G H L PF于H,由中位线定理知|G 4|=2|O7 1=2 a,p R 4FH=2 F7=2 b,因为6=W，可得=，设|尸刀=入/7 =入（入 0）,a 3 3A 9由双曲线定义知|PG|=|PF|-2=（拳-母）a，O O4又因为|PH =|Pn-|用=（入+1）b-2b=（入-1）b=（入-1）a,3因为|PH F+|G H|2=|FG|2,所 以 芈（X-1）2+4=（X -）2,解得人=3.9 3 3故3=3政 I FTI故答案为：3.H【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1 7-2 1题为必考题，第2 2、2 3题为选考题.1 7.计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，5 G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5 G经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司2 0 2 1年1至7月份的5 G经济收入（单位：千万）的折线图.（1）由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合y与f的关系，请建立y关于r的回归方程；（2）若该创新公司定下了 2 0 2 1年内5 G经济月收入突破2千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？7 7附注：参考数据：y.=9.31,1 =40.18.i=l 1 i=l 1参 考 公 式：回 归 方 程y =a+b t中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为n _ _*（tt）（yy）-b =-,a=y-b t-（t i-7）2i=l【分析】求解回归直线方程的系数b.a，得到回归直线方程即可.（2）利用回归直线方程求解，即可推出结果.yn _ _ 1 _-（tt）（了 丫）tiy7ty解：（1）结合题中数据可得为-=得-f（tx-7）2 r t i2-7!2i=l i=l2 94 o QI方一=o.105，a=y-bt=zyL-0.105X 4=1.33-0.420=0.9：，.关于 的回归方程为y=0.105t+0.91；（2）由回归方程预测2021年12月份5G经 济 收 入 为 _n 1 9,n Q1_9，能达y-U.iU b1/+U gjL-N.11至u目标.【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，是基础题.1 8.已知数列 斯,7=0。2小，且 =，7 3=,彳一、-）为等差数列.3 10 rn（1）求斯的通项公式；（2）若对任意正整数”，都有力+乃+4 3求？的取值范围.【分析】（1）结合等差数列通项公式，求解。“的通项公式.（2）利用裂项消项法求解数列的和，然后列出不等式求解即可.解：（1）由题可知百亍一=1，-gy=2,.,.等差数列（门+2）丁 ）的公差d，1_n+1 2 泊T n=（n+l）（n+2）当N2时,T n1 n-1n72X Va i=T 1=|)2六,赤山；9 1 1(2)由(1)可知T-.&-=2(-n(n+1)(n+2)Z n+1 n+2 i n二 丁 产 2+1=2 弓皆 OA_L平面 APCO.(1)若OPC为等边三角形，求证：AO平面P S；(2)当四棱锥。-4PC。的体积最大时，求二面角。-P C-。的正切值.【分析】(1)证明AO尸C,然后证明AO平面尸CD；(2)说明0。，平面A PC O,取 P C 中点H,说 明 即 为 二 面 角。-P C-。的平面角，利用VD-AP8 告E s i n B，其中6 为 AC,OP所成的角，说明O P U C,四棱锥O-APCO的体积最大，推出0 H=，在中，求解二面角Q-P C-。的正切值即可.(另 解：记 四 边 形A P C O的 面 积 为S,ZPOC=6,6 (0,等)，则S=2AOCP+A0AP 巧 s in (8-F-g-)jr当 e 吟 时，s 取得最大值.)【解答】(1)证明：在底面四边形APCO中，NAOC=120。，OPC是等边三角形，./PC O=60,：.AO/PC,又.AOU平面尸CO,；.PC u平面 PC。，.AO平面 PC。；(2)解：-：OA=OD=2,A D=2&，.OAOD,又.平面。OA_L平面 APCO,0u平面)04,平面DOA n平面APCO=OA,：.O D A P C O,取 PC 中点h：OP=OC=2,：.OH1,PC,平面 APCO,PCu平面 APC。，：.ODLPC,：.PC_L 平面 DOH,：.DHL PC,：.ZOHD即为二面角D-P C-O的平面角,D-APOO 3APCO 0D=-1-AC-0P-sin 6-0D=L V 3 sin 6 -其 中。为 AC,0P 所成的角，：AC=2愿，0 P=2,，。=90。时，四棱锥Q-APC。的体积最大，此时。PLAC,/.ZPOC=60,.POC是等边三角形，。口 班，在 R ta。，中,0H=V3,0D=2,ZDOH=90./.tanZOHD_ OD 2.二面角。-PC-。的正切值为多质.(另 解：记 四 边 形A P C O的 面 积 为s,ZPOC=e,e (0,告)则S=SA 0C P+SA 0 A P=2sin9+2sin(7-9)=273 sin (8TT当8吟 时，S取得最大值.)o【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.2 0.已知抛物线C：V=2px(p 0)上 的 点(2,a)到准线的距离为a.(1)求抛物线C的方程；(2)设P(0,-2),。为坐标原点，过 点7(0,2)的直线/与抛物线C交于不同的A、8两点，问：是否存在直线/,使 得 赢 丽=瓦 丽，若存在，求出的直线/方程；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用抛物线C：y2=2 px(p 0)上 的 点(2,a)到准线的距离为a.列出方程组，求解m p,得到抛物线C的方程.(2)假设存在满足题意的直线/,显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=f c r+2,A (为，)、8(X 2,以)，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积求解直线的斜率，推出直线方程即可.【解答】(1)由题抛物线C：#=2 px(p 0)上 的 点(2,a)到准线的距离为a./可知：2+2 a,解得夕=4,。=4,.抛物线C的方程为V=8x.,a2=4 p(2)假设存在满足题意的直线/,显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为=丘+2,A(xi,yi)、B(M,丁2),，2贝！j 0,得 Z V I,.由题可知:0 Ak0 B=P AkPBx j x2+y 1y2:X i x2+(yj +2)(y2+2)+y2=2,8-4 k 8：+y2=kx产+k x2+2=k(x +x2)+4=-+4工，.,.1-=-2=k=-4 0.(1)求f (x)的极值；(2)设函数g(x)=f(x)+f()有三个不同的极值点X|,X2,X3.X(i)求实数4的取值范围；(i i)证明：XI2+X22+X323.【分析】f (x)=lnx+X a-lna=lnx-+1-1 na 可得/(x)在(0,+)单x x调递增，又f(a)=0,即可得出函数/(x)的单调性与极值.(2)(i )g(x)=f (x)d)=(l )lnx+(lna-1)(吃-1),由题 可 知g(X)=0有三个不同的正实根X 及、X 3，令t =X2e(0,+8),可得g(x)(l-)lnt+(lna-1)(/一)=0 0 lnt-2(l n a(t 1)二。,令hd E n L,1(t-1),h(t)=0 有三个不同的正实根 xi 2、x 2,x32,ht+11 4 02=-t +(6-4 1 nq?t+1,可 得 (/)=0有两个不同的正实根，进而得出结论。的+1产取值范围.(i i )令 t i=x：、t3=x 由(i)知万2=1,0 Z i 1 f3,且 f i、为h(t)=lnt-2(l n a-(t-1)的 正 实 根h(t)=O 0 2(lna-l)=(t )lnt 6声D，令 同)三口皿t-l t-l0，G(t)在(0,I)单调递增=G 0 (/e (1,+),可得 p (?)的单调性，令 F(r)=叩(r)-x x：.f(x)在(0,+8)单调递增,:f(a)=0,A xG(0,)时，/(x)0,：.f(x)在(0,a)单调递减，在(a,+8)单调递增，V (x)极 小 值=/()=-a Ina,无极大值.(2)(i)g(x)=f (x)Vf/()=(1+A )lnx+(lna-1)(-4-1),X A X X由题可知g (x)=0有三个不同的正实根X I、X 2 X 3，令(0,+8),则 g(x)=0 -1(lU-)lnt+(lna-1)-1)=0 lnt-2 X32,y/,1 4(lna-l)(t+1)2-4 t (lna-1)12+(6-4 1 na)t+1八.(/)=0有两个不同的正实根，.f A=(6-4 1 na)2-4 0 ，4 1 na-6 0解 得 心 落设”(力=0的两个不同的正实根为加、，且0 加，此时(，)在(0,加)和(?,+)单调递增，(/w,)单调递减，又(I)=0,V/?(z)-8 (/-*o),且(r)f+8(z-*+oo),：.h(0有三个不同的正实根，满足题意，的取值范围是(/，4-oo).(i i )证明：令 t =x；、t3=X 3，由(i)知 X 2=l,0 n l 0今G(t)在(0,1)单调递增=G 0 (ze (1,+),.,.(p (r)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增,令 F(r)=(p(r)-p(2-r),re (0,1),F(t)=(t)+(2-t)2(1，(鼠)T n t(2-t),(t-1)2t-2 1 nt 2-t-2 1 n(2-t)t _/T(t-1)2 (t-1)2 ,士(0,1),：.0t(2-t)1,令 H(X)=T-1)，H(x)寸：.H(x)在(0,I)单调递增，：.F(f)F(1)=o=(p(n)(p(2-n),*/p(n)=p(/3)，.*.(p(2 -/i),V 2 -t=t+h2,x；+x j +x：【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、换元法、分类讨论方法，考查了综合解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题.(选考题)2 2.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为：p=2.在平面直角坐标系中，曲线C 2的参数方程为 ；(。为参数).ly=3sin9(1)求曲线C|和曲线C 2的直角坐标方程；TT(2)在极坐标系中，射 线8-3(P 0)与曲线C l、C 2分别交于A、B两点，求|AB|.6【分析】(1)利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；TT(2)将0 =(p 4+f(x)+4 Jf(x)，a b a b进而问题转化为4+f(x)+R f (x)进而求出所求的入范围.2 x-4,x3解：f(x)=|x-1|+|x-3|=2,l x 3,4-2 x,x 41当时，不等式/(x)W 6等价于2 x-4 W 6,解得xW5,V x3,.3WxW5,当1VXV 3时，不等式/(x)W6等价于2W 6,此时不等式恒成立，.1尤O,f(x)a b a b a b0,4金区兽1+f(x)4+f(x)+W 7T Q，当且仅当生=affx)时成立,a b a b所以，对任意实数X,及任意正实数m b,且a+b=,都 有 国 且”入恒成立，a bf(x)2,所以，8)=4+产+43 当 t=&时，g(t)有最小值，g(t)，M=g (&)=4+2+4 历=6+4圾，所以，此时实数人的取值范围为入6+4企，综上所述，实数人的取值范围(-8,6+4&.【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题，属于中档题.