2022年河北省石家庄市鹿泉高考仿真模拟数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2 B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2 B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（X-2）2 +V=1都相切，则双曲线。的离心率是（）A.2 或 空 B.2或6 C.G或 D.空 或 如3 2 3 22 22.设点P是 椭 圆 二+乙=1（。2）上的一点，巴是椭圆的两个焦点，若忻居|=46，则 归 用+忸 用=（）a 4A.4 B.8 C.4 5/2 D.4币3 .二项式（土一展开式中，项的系数为（）（2 X）xA.9 4 5-B.-1 61 8 932C.2 1 D.6 42 8 3 584.已知平面向量：=（4,2），h (x,3)，al 1 b,则实数x的值等于（)33A.6 B.1C.-D.225.已知函数/&）=G s i n的-c o s s:3（），y =/（x）的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于兀,则/（%）的一条对称轴是（）6 .函数/（x）=s i n（a）x +）的部分图象如图所示，则/（x）的单调递增区间为（）-卜 kji,-F kzr,k e Z4 4-F 2&万，-卜 2k兀，&w Z4 4C.,k e Z4 4D.-+2k9-+2 k、k e Z4 4x+j 27 .已知变量x,y满 足 不 等 式 组 卜-丁 0A.-4 B.-2 C.0 D.48 .已知三棱锥PABC中，A A B C是等边三角形，A B =4 V 3,P A=P C =2 7 5,P A L B C 9则三棱锥尸ABC的外接球的表面积为（）A.2 5万 B.7 5 7 r C.8 0 D.1 0 0不9 .2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，贝！1“鸿福齐天”的 制 作 者 是（）A.小明 B.小红 C.小金 D.小金或小明i o .已知向量=（1,7）,5 =（3,-2）,且（。+5）_ 1 _ 6,则机=（）A.-8 B.-6C.6 D.81 1 .复数的z =-l-2 i（i为 虚 数 单 位）在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限1 2 .如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a,。分 别 为176,3 2 0,则输出的a为（）A.16 B.18 C.20 D.15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分。1 3.在正方体A B C。中，E为棱A4的中点，F是棱44上的点，且 4尸=3/4,则 异 面 直 线 跖 与 BG所 成 角 的 余 弦 值 为.x 31 4.若满足,x+yN2,则目标函数z =y -2 x 的 最 大 值 为.1 5.在平面直角坐标系x 0 y 中，若 双 曲 线r-2 4v2=1（。0,。0）的离心率为5一，则该双曲线的渐近线方程为a2 b-41 6.（5 分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1 只雄蛙的概率是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 2 分）已知定点A（3,0）,3（3,0）,直线AM、8M相 交 于 点 ，且它们的斜率之积为-：，记动点”的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程；（2）过点T（l,o）的直线与曲线。交于尸、。两点，是否存在定点S（X o,0），使得直线SP与 SQ斜率之积为定值，若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。1 8.（1 2 分）求函数y =J匚 1+2 的最大值.19.（12分）如图，在四棱锥PA B C。中底面A8CD是菱形，ZBAD=60 ,P A D 是边长为2 的正三角形,P C =V i o.E为线段AO的中点.(1)求证：平面P 3C _ L平面P B E；(2)是否存在满足Q F =X C(/l 0)的点尸，使得V 8 _ 4 E=7%d F B?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.20.(12分)已知数列 q的前项和为S“，且 、七、S,成等差数列，d=21o g 2(l +a“)-1.(1)证明数列 4+1 是等比数列，并求数列 4 的通项公式；(2)若数列 b,中去掉数列 4 的项后余下的项按原顺序组成数列匕,求q +C 2+cIOo的值.21.(12分)如 图，在直三棱柱ABC-A4 G中，AB=B C =AA,=l,A C =G,点D E分别为AC和4c l的中点.(I)棱A4上是否存在点使得平面P8 D L平面ME?若存在，写出2 4的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(H)求二面角A-BE。的余弦值.22.(10分)已 知A是抛物线E：V=2px(p0)上的一点，以点A和点5(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=l于M,N两点.(1)若|M N|=2,求抛物线E的方程；(2)若OVp VL抛物线E与圆(*-5)2+必=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为尸0的中点，O为坐标原点，求直线O G斜率的取值范围.参考答案一、选择 题：本 题 共12小 题，每 小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解 析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再 分 焦 点 在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率.【详 解】设 双 曲 线C的渐近线方程为丫=1,是圆的切线得:得 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 的 方 程 为y =也.焦 点 在x、y轴上两种情况讨论:3 当 焦 点 在x轴上时有：?=也C/32+3 273a 3a 3 3 当 焦 点 在y轴上时有：q=立，e =E =2；b 3 a V 3二 求 得 双 曲 线 的 离 心 率2 或 空.3故选：A.【点 睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考 查 数 形 结 合 思 想.解 题的关键是：由 圆 的 切 线 求 得 直 线 的 方 程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值.此题易忽视两解得出错误答案.2.B【解 析】,忻 闾=4 6.忻 闾=2C=4 Gc=2 G,:c1=cr b19 b2=4工。=4：.P Ft+P F2 =2a=S故 选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶 点、焦 点、长 轴、短轴等椭圆的基本量 时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.3.D【解 析】写出二项式的通项公式,再分析x的系数求解即可.【详 解】二 项 式9一 力 展开式的通项为加O=G|(-3)373-，令7 2r =1，得r=4,故:项 的 系1 丫-4数为-(-3)4=2/28 358故选：D【点 睛】本题主要考查了二项式定理的运算，属于基础题.4.A【解 析】根据向量平行的坐标表示即可求解.【详 解】Q =(4,2)b =(x,3)，al lb r.4 x 3=2x f即 x =6,故选：A【点 睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.5.D【解 析】由题，得/(x)=b s i n的 一c o s的=2s i n X-引，由y =f(x)的图 象 与 直 线y =2的两个相邻交点的距离等于IT TT TV不，可得最小正周期丁=不，从而求得。，得到函数的解析式，又因为当x =2时，2x-9 =生，由此即可得到本题3 6 2答案.【详解】由题，得/(x)-s/3 s i n cox-c o s cox-2s i n 16y x-?),因为V =/(x)的图象与直线y =2的两个相邻交点的距离等于兀,所以函数y =/(x)的最小正周期7=，则O=如=2,所以/(无)=2 sin,当=工 时，2x 三=工，3 6 2所以x =?是函数/(x)=2 s i n 的一条对称轴，故选：D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.6.D【解析】3由图象可以求出周期，得到，根据图象过点(二,-1)可求。，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.4【详解】T 5 1由图象知二=:一 二=1,2 4 427r所以 7=2,co=-=,23又图象过点(“-I),3兀所 以-1=s i n(丁+),4故。可 取 空，4所以/(%)=s i n(G +亨)4A c,冗 3 万 .7 1,一令 2k兀-7 C X H-4 2左T T H,k Z ,2 4 2 2 k-x 2 k-,k&Z4 4所以函数的单调递增区间为-?+2k,-；+2k,k e Z4 4故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.7.B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【详解】x+y 2解：由变量,N满足不等式组0可知点A。/),8(0,2),2 x-y在3处有最小值，最小值为-2.【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.8.D【解析】根据底面为等边三角形，取8 c中 点 可 证 明8C_L平 面 加 以，从 而 即 可 证 明 三 棱 锥。一 ABC为正三棱锥.取底面等边AABC的重心为。，可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【详解】设M为5 c中点，AA5C是等边三角形，所以又因为B4_LBC,且Q4nAM=A,所以8C_L平面则BCLPM,由三线合一性质可知P B =P A =PC,所以三棱锥P-A B C为正三棱锥，A B =4瓜 PA=P B =P C =2逐，设底面等边A4BC的重心为O,2 2 I_可得AO=AM=x6=4，PO7P解A 0t2=,20-16=2,所以三棱锥P-A BC的外接球球心在面A8C下方，设为。，如下图所示:由球的性质可知，PO_L平面A B C,且P,。,。在同一直线上，设球的半径为R,在 R t M O C f 中，AO?=AO2+OO2，即火2=i6+(R-2/，解得R=5,所以三棱锥P A B C的外接球表面积为S=4万/?2=4x 25=100，故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,属于中档题.9.B【解析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证.【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示:123456鸿福齐天小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故 选:B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.10.D【解析】由已知向量的坐标求出&+5的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】V a=(3,a+b=(4,m-2),又(a+5).3x4+(-2)x(m-2)=0,解得 m=L故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.11.C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.12.A【解析】根据题意可知最后计算的结果为人的最大公约数.【详解】输入的a,分别为176,32(),根据流程图可知最后计算的结果为a,b的最大公约数，按流程图计算320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16,176 和 320 的最大公约数 为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数，难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.叵5【解析】根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并 求 得 乔，西.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线E F与BG所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形，以A为原点建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为 1,则 0,0,0,1),8(1,0,0),G(1,1,1).所以丽月盘=（0,1,1）.|而卜日西卜 亚.所以 c o s EF,BC y1心x(0,1,1)Viox V 24所 以 异 面 直 线E尸 与8G所 成 角 的 余 弦 值 为 三,故答案为：叵.5【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.14.-1【解 析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,案.【详 解】x 3由约束条件 x+y 2 2作出可行域如图，y 轴上的截距最大,由，%+=2得 x=yx-1 ,、，即则2有 最 大 值z=l-2=-l,b=i故 答 案 为-1.【点 睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作 出 可 行 域(一 定 要 注 意 是 实 线 还 是 虚 线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.y =?X4【解析】利用=1+(、)=图，解出3,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】(cy(5丫-=1+-=-,且a 0,b0,_b _3 9a 43该双曲线的渐近线方程为：y =?-%.43故答案为：y=?：x.【点睛】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.316.-5【解析】记4只 雌 蛙 分 别 为 G。，2只雄蛙分别为A,3,从中任选2只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为(a,h),(a,c),(a,d),(,A),(a,B),(h,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B(d,A),(d,B),(AB),共 15 个，选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件为3 4)，(“，8),(女4),(6,8),9加，98),(4),(4,8),(4,8),共9个，故选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是P =-.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。217.(1)方+犬=1(五 3)；存在定点S(3,O),见解析【解析】(1)设动点 M(x,y),贝必 M A =a(xr3)，利用 AM/MB:x+3 x-3*,X(2)由已知直线/过点T Q O),设/的 方 程 为+则联立方程组X求出曲线C的方程.=m y+12+9/=9 消去x得(根2+9)9+2”-8 =0,设2%,%),。(，y?)利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程,推出结果.【详解】解：（1）设动点M（x,y）,贝11%=备（7-3），MB _ _H 3）x 3kM A =9 即-.-9MA MB 9 x+3 x-3 92化简得：工+：/=1。9 -由已知XH3,故曲线C的方程为5+2=I(XX3)。(2)由已知直线/过点T(1,O),设/的方程为=冲+1,则联立方程组x=m +1,X2 2,消去X得（疗+9）y2+2/y-8 =0,+y=11 9 ,设P（X，y）,Q（x2,y2）,则 i _ _ 8Xfm e R,I s。=9（1 7。J所以存在定点S(3,0),使得直线S P与S Q斜率之积为定值。【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题.2厉l o.-3【解析】试题分析：由柯西不等式(ab+cd)2(a2+c2)(d2+)得(+V3 x+2)2=(，3-3 x-R+j3 x+2-Vl)2(3-3 x+3 x+2)(-+l)=3 3试题解析：因为(Jl-x+43x+2)-=(，3 3 x,+J3x+2,Z T),因 此,B-P AE=D-P F B1 1 1 QO的充要条件是k=下，继而得出X的值.2 4【详解】解：(1)证明：因为%是正三角形，E为线段AO的中点,所以FELA。.因为A B C。是菱形，所以A D =A B.因为 NES =60。，所以 A B D是正三角形，所以 而 BEcPE=E,所以A D,平面P8E.又 ADI IBC,所以8C_L平面P8E.因为BC u平面PBC,所以平面P6C _L平面P B E.(2)由 丽=几斤，知(2+1)尸。=尸。.所以，I3-P AE=Q P-ADB=V p_BC D=；，D-P F B=V p-BDC -XF-BDC=F-BC D 因此，的 充 要 条 件 是 丁 =/，所以，4=2.即 存 在 满 足 所=4而(4 0)的点尸，使 得/_ 丛 =%.pm，此时2=2.【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题.20.(1)证明见解析，。“=2-1；(2)11202.【解析】(1)由，z,an,S”成等差数列，可得S“+=2a“，5,一+(-1)=%,1,两式相减，由等比数列的定义可得 为+1是等比数列，可求数列 4 的通项公式；(2)由(1)中 的/可 求 出 力，根据凡和，求出数列 ,也 中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.【详解】(1)证明：因为，%,S,成等差数列，所以S“+=2a“，所以 S i+(-1)=2%(2 2).一，得4+l=2a“_2a,_|,所以aa+l=2(a,i+1)(“2 2).又当=1时，S|+l =2 q,所以q=l,所以囚+1 =2,故数列 q+1 是首项为2,公比为2的等比数列，所以4+1 =2 2-=2 ,即4 =2 -1.根 据(1)求解知，=2 1 o g2(l +2n-l)-l =2 n-l,4=1,所 以%-2=2,所以数列 ,是 以1为首项，2为公差的等差数列.又因为4=1,4=3,里=7,a4=1 5,t z5=3 1,a6=63,%=1 2 7,as=2 55,3=1 2 7，1 0 6 =2 1 1,a。？=2 1 3 ,所以 G+c 2 H-3 o =（4+b2 T-卜仄07）-Q+%T-卜生）也 产-3+2 2 +.+2 7）-小-1-0-7-x-2-1-4-2-（-1-2-7-）F 72 1-2=1 0 72-28+9 =1 1 2 0 2.【点睛】本题考查等比数列的定义，考查分组求和，属于中档题.3 1 12 1.(I)存在点P满足题意，且%=,证明详见解析；(I I).4 1 9【解析】(I )可考虑采用补形法，取AG的中点为尸，连 接 用，AF,D F,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证3 O _ L平面4 C G，即3D L AE,若能证明则可得证，可通过用/却3放/叱我们反推出点P对应位置应在小=：3处，进而得证；(I I)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,D C,。尸分别为工，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；【详解】(I )存在点P满足题意，且 小 =?.4证明如下：取4 G的中点为尸，连接EE AF,DF.则E/A旦A B,所以AF u平面因为=。是AC的中点，所以3 O _ LA C.在直三棱柱A B C 4 4 a中，平面AB C,平面AC G，且交线为A C,所以8。，平面A C C ,所以L A E.在平面 A C G 内，”=丝=3,Z P A D Z A D F =90,A D D F 2所以 R t/P ADR t/ADF ,从而可得 A F A.P D.又因为PD c B D=D,所以平面P 3 D.因为Abu平面M E,所以平面尸班)，平面M E.(I I)如图所示，以O为坐标原点，以DB,DC,)F分别为X，V z轴建立空间直角坐标系.易知 0(0,0,0),BQ,O,O 彳0,-日,0所 以 而=_:,乎,0 ,通=膏,0),丽=(；,0,0).设平面A BE的法向量为送=(x,y,z),则有m-B E =x-y +z =(),4 4 取 y =2,得而=卜2 6,2,-/5).m-A B =-x-y=0.2 2同理可求得平面B D E的法向量为几=(0,4,-G).inn 8 +3 1 1则c o s比叱丽飞2+4+3/1 6+3=后由图可知二面角AB E。为锐角，所以其余弦值为号.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题2 七2 2.(1)y2=4x.(2)0,k乙2 )【解析】(1)设 A 的坐标为A(xo,j o),由题意可得圆心C 的坐标，求 出 C 到直线x=l 的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p 的值，进而求出抛物线的方程；(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G 的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围.【详解】(1)设 A(xo,j o)且则2=2px0,则圆心。(2,矍)，圆 C 的直径|A阴=2了+为 2,圆心C 到直线x=l 的距离d=|血士2-1|=|4|,2 2因为|M N|=2,所以(丝)(四)2,即 1+立=(*二2)1%：,%2=2,对，2 2 4 4整理可得(2p-4)x =0,所以p=2,所以抛物线的方程为：V=4x；y2=2 px(2)联立抛物线与圆的方程上；2 整理可得好-2(5-p)x+16=0,A 0,、(x-5)-+=9设 尸(X1,Ji),Q(.X2,J2)则 Xl+X2=2(5-p),X1X2=16,所以中点G 的横坐标*G=5-p,%=4&(毒+J W)=_”2,所以 AG=p一 P(0 P l),5-p令 f=5-p(fG (4,5),则 g=回=必+-1(-).2 .2*S/4解得OVAOGV注,2所以直线OG斜率的取值范围(0,匕).2【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.