2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科） （解析版）.pdf

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选 择 题（共12小题）.1.设集合A=x|驾4 1 ，B=x|则4nB=(A.-1,3)B.-1,3 C.-4,-12.若 z+2 z=3-i,则|z|=()A.1 B&C.VS)D.-4,3)D.23.已知（x2+：）n（n N*）的展开式中有常数项，则的值可能是（）A.5B.6C.7D.84.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A.返 B.C.返2235 .已知上告0,则下列不等式：上：1；间|绯标；/）,其a b a 2 2中正确的是（）A.B.C.D.6.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则 这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为()7.已知函数/（x）=2sin（3x+（p）（30）,点A,8是曲线y=/（x）相邻的两个对称中心，点C是/（x）的一个最值点，若A8C的面积为1,则 3=)A.1 B.-C.2 D.K28.已知函数/(x)=ex+ex+cosx,则不等式/(2 W f (ni-2)的解集为()A.(-c o,-2)U(1,-K)B.(-C O,-当U(2,+8)o oC.(-2,4)D.(4,2)o o9.在 A B C 中，内角A,B,C的对边a,b,c依次成等差数列，A B C 的周长为1 5,且(s i nA+s i nB)2+c o s2C 1+s i nA s i nB,则 c o s B=()A 1 3 R 1 1 r 1 D 11 4 1 4 2 21 0 .已知点A,B,C在半径为5的球面上，且 A8=AC=20N，B C=2 我,尸为球面上的动点，则三棱锥P-4 B C 体积的最大值为()5 6 7 7 R 5 2曲 4班 1 W 73 3 3 31 1 .已知点4在直线3 x+y-6=0 上运动，点 B在直线x-3 y+8=0 上运动，以线段AB为直径的圆C与 x 轴相切，则圆C面积的最小值为()A.2L B.小 C工 D.亚4 2 4 21 2.已知 a,p G (0,2I T),且满足 s i na -c o s a=-,c o s p -s i np=-,则 s i n(a+p)=()A.1 B.或 I C,且 或 1 D.1 或-12 4二、填 空 题(共4小 题).1 3 .平面向量(2,2),b=(-l,3)，若 金 4)1(入Z+E)，贝葭=x-2 y+3)01 4 .若实数x,y 满足约束条件,2 x-y-3 4 0,则工3 的取值范围是_ _ _ _ _.X yx+y-3 01 5.若函数/(x)=-a|-1 有两个零点，则实数a的 取 值 范 围 是.2 八1 6 .设 P为双曲线C：-_ y 2=上的一个动点，点 尸 到 c的两条渐近线的距离分别为小和di,贝 ij 3di+(h的 最 小 值 为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题1 7 .已知数列 小 的前项和为S”且S一n 2和2一 的等差中项为1.an an(I)求数列“的通项公式；(H)设 6=lo g 44+l,求数列 t r-)的前 n 项和 Tn.bnbn f l1 8 .如图，直四棱柱A B C Z)-4B i GD i 的底面A 8 C 为平行四边形，A D=3,A B=5,c o soZ B A D ,BD=DD,E 是 C C i 的中点.5(I )求证：平面O B E J L 平面A。；(I I)求直线4 9和平面B E 所成角的正弦值.1 9 .某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 只能是1,2,3,24这 24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.(I)当输入x=1 2 和 x=2 0 时，求输出y的值；(I I )求输出的y值的分布列；(I I I)某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1 20 0 次，输出y的值为1,2,3的次数分别为3 9 5,40 2,40 3,请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.20 .己知椭圆C i的离心率为乂且，一个焦点坐标为(0,2加)，曲 线C 2上任一点到点3邑0)和到直线乂=曹的距离相等.4 4(I )求椭圆G和曲线C 2的标准方程；(H)点P为C i和C 2的一个交点，过P作直线/交C 2于点。，交G于 点 凡 且Q,R,P互不重合，若 同=而，求直线/与x轴的交点坐标.21 .己知函数/(x)In(x+1)+a,g(x)exa,aeR.(I )若”=O,曲线y=/(x)在 点(回,/(xo)处的切线也是曲线y=g (x)的切线，x0+l证明：In(刈+1)=.x0(I I )若g(x)-f(x)1,求a的取值范围.选考题：请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xO y中，直线八的参数方程为/(x)成立，求实数?的取值范围.参考答案一、选 择 题（共12小题）.1.设集合A=x|驾*j）-则 A n 8=（）A.-1,3）B.-1,3 C.-4,-1 D.-4,3）解：因为乡怨-4 1，即 当 （解得-4 x，故错误；由指数函数/(X)=/炉 为 减 函 数，又b a,所以/(a)/(6),即c 1)ag)b,故正确，故正确的是.故选：D.6.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则 这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为()A.B.C.D.1 4 7 7 4解：根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有C g 3=5 6种取法，其中任意两只都不成双的情况有C?X 2 X 2 X 2=3 2种，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率P=当，5 6 7故选：C,7 .己知函数/(x)=2s i n (a)x+(p)(a)0),点A,8是曲线y=/(x)相邻的两个对称中心，点。是/(x)的一个最值点，若 A 3C的面积为1,则 3=()KA.1 B.-C.2 D.TT2解：点A,3是曲线y=/(x)相邻的两个对称中心，：.AB=-,点C是/(x)的一个最值点，则a A B C的高为2,.三 角 形 的 面 积x X 2=1，2 22兀.7=2,-=2,，3=n,3故选：D.8 .已知函数/(x)=eK+ex+cosx,则不等式/(2加)f(/n-2)的解集为()A.(-8,-2)U 仔，Q)B.(-8,q)U(2,+8)0 0C.(-2,D.(，2)解：/(-x)=ex+ex+cosx=f(x),则/(x)是偶函数，f(x)=ex-e x-si ar,为奇函数，(x)ex+e x-si ri r 2-si i n 0,即/(x)为增函数，当%0 时;/(x)f(0)=1 -1 -0=0,即/（X）在（0,+O O）上为增函数，则不等式/（2机）f（w -2）等价为不等式f （|2/%|）/（|/n-2|）,即 1 27 nl|6-2|,平方得 4?2 m 2-4/?2+4,即 3 户+4？-4 0,得(m+2)(3 m-2)0,o得 加=或m ,3（2入-1）解得人=多故答案为：-I X(2入+3)=0,x-2y+3)01 4.若实数x,x yy满足约束条件“2 x-y-3 .、X y 2x+y-3 0解：由约束条件作出可行域如图,联立4联立4x+y-3=02x-y-3=0 x+y-3=0 x-2y+3=0，解得 A(2,1),，解得 8(1,2),则 V)min=k A g)max=k B=2令工二t，则1x 2则工+邑=/+工，在f=l时，取得最小值为2,在 或f=2时，取得最大值为名.x y t 2 2，工的取值范围是 2,与.x y 2故答案为：2,擀.15.若函数/CO 有两个零点，则实数的取值范围是(1,+8)解：/(%)的零点个数等价于曲线丁=-。|与直线y=l的交点个数,故答案为：(1,+8).2 八16.设 尸为双曲线C：色_y2=i上的一个动点，点 尸 到C的两条渐近线的距离分别为力和di,贝!j 3di+ch的最小值为_ 22_.解：设 点 尸 为(/H,),则毛-2=1,即(帆-=2,2小什扬=耳西r双曲线C的两条渐近线方程为x 6，=0,所以d i =|m-V2n|m-V2n|7 1+(V2)2 V3d2=1 3 所以3,+d 2=3 x lm%n|+|m%n|=,*即-扬+鬲赤?卡?巫=2&当且仅当3|L 2i=|m_Jn|即依-,等号成立,所以3 4+4 的最小值为2近.故答案为：2，万三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题1 7.已知数列 “的前”项和为s,”且三和2 的等差中项为1.an an(I )求数列 小 的通项公式；(I I )设 b=log4“+l,求 数 列 tr)的前n项 和Tn.bnbn fl解：(I )由题意，可 得%-=2，整理，得 S=2 a-2,当 k=1 时,a=S=2 a-2,解得 m=2,当 2 2 时，由 Sn=2 an-2,可得 Sn-=2 ati-1-2.两式相减，可得cin=-2 a,i-1,化简整理，得斯=理 -1,数列 “是以2为首项，2为公比的等比数列，*-an=2 X 21 =2 /N*，(I I)由(I ),可得 b=log4 a+i=log4 2 +i=n：l,则L b.=(n+D(n+2)=4喧?-)1 1 1 Tn=Tv+Tr+,+T rblb2 b2b3 b i=4 X -)+4 X (-)+4 X (-)2 3 3 4 n+1 n+2平 卷 卷 卷 +T r七4X(/焉2nn+21 8.如图，直四棱柱A B C。-4 8 1 G oi的底面A 8 C Z)为平行四边形，AD=3,AB=5,c osQZ BAD=A BD=DD1,E是 C G 的中点.5(I)求证：平面。8 E _ L平面4。)|；(I I)求直线A。和平面8 O E所成角的正弦值.【解答】(/)证明：由题意可得 B2=A2+AB2-2A8XAOCOS/BAO=16,所以 AZ+BDUA中,因此 A _ L 8 .在直四棱柱 A8C-48IG)I 中，_ L平面 A 8 C ),所以。i _ L B D又因为 4 0 0 0 0 1=。，D D i U平面 A D A,A/)u平面 A。，所以8 J _平面A。，因为8 O u平面D B E,所以平面 8 E _ L平面A O D i(ID解：由(/)知，DA,DB,0d两两垂直，以。为原点，D B,。所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则。(0,0,0),A (3,0,0),D i (0,0,4),8 (0,4,0).由 族=前 可 得C1 -3,4,0)，所以E (-3,4,2)则 电=(-3,0,4),D B=(0,4,0)-D E=(-3,4,2)，设n=(x,y,z)是平面B C E的一个法向量,则D B n=4 y=0D E n=-3x+4 y+2z=0令 x=2,可得=(2,0,3)设 直 线 和 平 面 BDE所成的角为0,则 s i n 8 =卜o s (ADJ，n)I-|A Dn|-6+12 6A/13l A D 7 I|n|-5 X V i 3-6 51 9.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 只能是1,2,3,24这 24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.(I)当输入x=12和 x=20时，求输出y 的值；(I I)求输出的y 值的分布列；(1H)某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y 的值为1,2,3 的次数分别为395,402,4 0 3,请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.解：（/）当输入x=1 2时，因为12能被3 整除，所以输出y 1 ：当输入x=2 0 时，因为20不能被3 整除，能被4 整除，所以输出y=2.（ID 当 x 为 3,6,9,12,15,18,21,24 这 8 个数时，输出 y=l,所以 P 1;当x 为 4,8,16,20这 4 个数时，输出y=2,所以当x 为其余12个数时，输出y=3,所以J 2故 y 的分布列为：（/）程序输出y 的值为1,2,3 的频率分别为卷熟，寡 咚，塞p1200 1200 1200y123p 3 2可近似地认为都是喜，与（/）中所得的概率分布相差较大，故推测该同学编写的程序不正确.2 0.已知椭圆C i的 离 心 率 为 零，一个焦点坐标为（0,2&）,曲 线 C2上任一点到点（4.0）和到直线X=）的距离相等.4 4（I）求椭圆G 和曲线C2的标准方程；（H）点 P 为 G 和 C2的一个交点，过 P 作直线/交C2于点Q,交 G 于点R,且 Q,R,互不重合，若 同=而，求直线/与x 轴的交点坐标.2 2解：（I）设椭圆Cl：W=l（ab 0）,根据条件可知被，且货-匕 2=西a 3解得）=1 2,按=4,2 2所以椭圆C i的标准方程为三_2二 1，4 12曲线C2是 以2，0)为焦点，X =d为准线的抛物线，4 4故C2的标准方程为V=9x；3x2+y2=12(H)联立，解得x=l,y=3,不妨取尸(1,3),Ly=9x若直线/的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线/：y=k(x-1)+3,由题意可知ZW O,联立，y=kx+3-k,y2=9x9-3ky Q fy=kx+3-kL3x2+y2=12布徂 9-3k2-6k解得,解得联立4因 为 由=而，所以是QR的中点,所以血2 1=&即 殳 电 学 延 产=6,解得上=1，2 k 3+k2所以直线/的方程为y=x+2,其与x轴的交点坐标为(-2,0).21.已知函数/(x)In(x+1)+a,g(x)=e ，aGR.(I)若a=O,曲线y=/(x)在 点(JCO,f (x()处的切线也是曲线y=g(x)的切线,x0+l证明：In(xo+1)=.x0(II)若g(x)-f(x)2 1,求a的取值范围.【解答】证明：(I)若a=0,则/(x)=/(x+1),g(x)=,f，(X)=-g a)=巴x+1曲线 y=/(x)在 点(/o,f (xo)处的切线方程为丫=r (X-XQ)+ln(xQ+l),x0+i令g(x)=ex=匚，则x=ln二，xo+l x0+l曲线y=g(x)在点(ln-r.7)处 的 切 线 方 程 为x+l x0+ly=-7j-x+ln(x0+l)+7-r,x0+l 0 X0+1由题意知一 号(x-x0)+ln(x0+l)=-j-x+ln(x0+l)+二，XQ+1 U U XQ+1 U XQ+1xn整理可得一L-l n（xn+l）=l.x o=O显然不满足,x（）+l 0 x0+l因此 l n(x o+l)=-；x0解：(H)令 h(x)=g (x)-f(x)=exa-In(x+1)-a,若“0,h(0)ea-ax+1当x e (-1,0)时，(尤)0,h(x)单调递增，：.h(x)(0)=1,符合条件:若 则 力(x)e a-In(x+1)-a ex-In(x+1)2 1,符合条件.a的取值范围是（-8,0.选考题：请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系X。），中，直线4的参数方程为.4x=-3-v-ta为参数），直线人的参y=3+-|-t0数方程为4X-3y=3+,s（s为参数）.ios（I ）设/】与，2的夹角为a,求t an a；（H）设/i与x轴的交点为4,6与x轴的交点为B,以4为圆心，|A B|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程.解：（I ）设 直 线 和 的倾斜角分别为0和Y，由参数方程知t an 5=-1，t an Y=-3,则t an a=t an(B T )-t an B-t an Y 91+t an P t an Y 13（【I）令得-3 得所以 A (1,0),s=0-3-s=-2所以 8(-2,0),所以圆A的直角坐标方程为(%-1)2+),2=%即/+)2-2x=8,所以圆4的极坐标方程为p2-2p c o s 0=8.选修4 5 不等式选讲23.已知函数f(x)=x-l|+|ax+l|.(I )当a=2时，解不等式/(x)W 5；(I I)当。=1时，若存在实数x,使得2机-l f(x)成立，求实数机的取值范围.3x,xl解：(I )当 a=2 时，f(x)=|x -l|+|2x+l|=2；-3x,x -y当Gl时，不等式/(X)W 5化为3x W 5,解得lx 枭o当 4 X 1时，不等式f(x)W5化为X+2W 5,解得-#xl；当X 十 寸，不等式化为-3x W 5,解得(f(x)成立，所以2L12.解得m|,所以?的取值范围是谆，).