2020-2021学年北师大版数学九年级下册第一章测试题及答案解析（二）.pdf

北师大版数学九年级下册第一章测试题（二）（直角三角形的边角关系）一、选择题1.已知在 RtZABC 中，ZC=90,sinA=X 则 tanB 的值为（）5A.&B.2 C.3 D.33 5 4 42.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2 的坡面向上前进了 10m,此时小球距离地面的高度为（）A.5 m B.2娓 m C.4娓 m D.12-m33.如图，在菱形 ABCD 中，DEAB,COSA-A,BE=2,则 tan/DBE 的值5()A.1B.2 C.金 D.金2 2 54.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（）A.5 B.V37 C.7 D.V385.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200m,从飞机上看地平面指挥台B 的俯角a=30。，则飞机A 与指挥台B 的A.1200 m B.1 200V2m C.1200bm D.2 400 m6.如图，已知在 RtABC 中，ZC=90,AB=5,BC=3,则 cosB 的值是（）5 5 4 37.如果a是锐角，且s in a=2 那么cos（90-a）的值为（）5A.里B.刍C.W D.里5 5 4 38.已知：在 RtaABC 中，ZC=90,sinA=W,则 cosB 的值为（）4A.近 B.2 C.g D.国4 5 5 49.在A B C中，若tanA=l,sinB=?,你认为最确切的判断是（）2A.AABC是等腰三角形 B.ZABC是等腰直角三角形C.aA B C是直角三角形 D.aA B C是一般锐角三角形二、填空题1 0.如图，有两棵树，一棵高1 2米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米.11.如图，有一滑梯A B,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则N A的 度 数 约 为 （用科学计算器计算，结果精确到0.1。）.12.小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60。，那么塔高约为 m.（小兰身高忽略不计，取 后 1.732）13.如图，在直角AB A D中，延长斜边B D到点c,使DC=LBD,连接AC,若tanB=旦，则 tan/CAD 的值314.如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得A R 的距离是40km,仰角是30,n 秒后，火箭到达B点，此时仰角是45。，则火箭在这n 秒中上升的高度是 km.5.F 30逐:逮三、解答题1 5.计算下列各题：(1)/2(2COS450-sin60)+2ZK；4(2)(-2)0-3tan30+|V3-2|.1 6.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：在大树前的平地上选择一点A,测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35；（2）在点A 和大树之间选择一点B（A,B,D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45；量出A,B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树C D 的高度.（精确到0.1 米）（可能用到的参考数据：sin35fo.57,cos350.82,tan35fo.70)1 7.每年的5 月 1 5 日是世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9 ,已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8 米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9=0.1564,cos9=0.9877,tan9=0.1584）1.2米8米18.如图，信号塔P Q座落在坡度i=l：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60。角时，测得信号塔P Q落在斜坡上的影子Q N长为2代米，落在警示牌上的影子M N长为3米，求信号塔P Q的高.（结果不取近似值）19.如图，某人为了测量小山顶上的塔E D的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45。，再沿A C方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60。，塔底点E的仰角为30。，求塔ED的高度.（结果保留根号）ABC20.耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是 运河四大名塔”之 一（如图1）.数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P 处，利用测角仪测得运河两岸上的A,B 两点的俯角分别为17.9。，2 2,并测得塔底点C 到点B 的距离为142米（A、B、C 在同一直线上，如 图 2）,求运河两岸上的A、B 两点的距离（精确到 1 米）.（参 考 数 据:sin22=0.37,cos2200.93,tan22-0.40,sinl7.90.31,cosl7.9 弋 0.95,tanl7.9=0.32）图1图221.如图，为了测得一棵树的高度A B,小明在D 处用高为1m 的测角仪CD,测得树顶A 的仰角为4 5,再向树方向前进1 0m,又测得树顶A 的仰角为60,求这棵树的高度AB.10m答案与解析1.已知在 RtABC 中，ZC=90,sinA=X 则 tanB 的值为（）5A.a B.9 C.D.33 5 4 4【考点】T1：锐角三角函数的定义；T4：互余两角三角函数的关系.【专题】选择题【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解.【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解.在 RtaABC 中，ZC=90,.sinA=旦，tanB=-D a2+b2=c2.c aVsinA=,设 a=3x,则 c=5x,结合 a?+b2=c?得 b=4x.5/.tanB二 旦=.4x=4.a 3x 3解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解.A、B 互为余角，AcosB=sin(90-B)=sinA=-2.5X Vsin2B+cos2B=l,.*.sinB=Ayi_c o s2B=XJ4_tanB=s i橙=鱼cosB A 35故选A.【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者 利 用 同 角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.2.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2的坡面向上前进了 10m,此时小球距离地面的高度为（）A.5 m B.2娓m C.4代m D.IP.m3【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】选择题【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长.【解答】解：.AB=10米，tanA=GLAC 2.,.设 BC=x,AC=2x,由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,100=X2+4X2,解得 x=2j,，AC=4遥，BC=2述米.故 选B.【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键.3.如图，在菱形 ABCD 中，DEAB,COSA=A,BE=2,则 tan/D B E 的值5()A.L B.2 C.金D.金2 2 5【考点】T7：解直角三角形；L8：菱形的性质.【专题】选择题【分析】在直角三角形A D E中，c o s A=34望 理，求 得AD,A E.再求得5 A D A DD E,即可得至U tanNDBE=理.B E【解答】解：设菱形ABCD边长为t.VBE=2,Z.AE=t-2.VcosA=,5 A E 3 A D 5 t -2L.，3t 5/.t=5./.AE=5-2=3.DE=V A D 2-A E 2=7B 2-3 2=4.,.ta n Z D B E=A=2.B E 2故选B.【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系.4.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（)A.5 B.V3 7 C.7 D.V3 8【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理.【专题】选择题【分析】可设直角三角形一直角边为x,则另一直角边为7-X,由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长.【解答】解：设直角三角形一直角边为x,则另一直角边为7-X,根据题意得b（7-x）=6,2解得x=3或x=4,所以斜边长为序了 ;及故选A.【点评】可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长.熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键.5.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 2 0 0 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=3 0。，则飞机A与指挥台B的距离为（）A.1 200 m B.1200我m C.1 200 y m D.2400 m【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】选择题【分析】首先根据图示，可得NABC=Na=3 0。，然后在RtAABC中，用A C的长度除以sin 3 0,求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可.【解答】解：NABC=Na=3 0。，AB=尬=101=2400（m）,sin30 L2即飞机A与指挥台B的距离为2400m.故选D.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.6.如图，已知在 RtABC 中，NC=90。，AB=5,B C=3,则 cosB 的值是()5 5 4 3【考点】T1：锐角三角函数的定义.【专题】选择题【分析】根据余弦的定义解答即可.【解答】解:在ABC中,BC=3,AB=5,cosB=-=,AB 5故选：A.【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做N A的余弦是解题的关键.7.如果a是锐角，且s in a二 巨，那么cos(90-a)的值为()5A.&B.W C.3 D.当5 5 4 3【考点】T3：同角三角函数的关系.【专题】选择题【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可.【解答】解：为锐角，s in a=W，5/.cos(90-a)=sina=A.5故选B.【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础.8.已知：在 RtaABC 中，ZC=90,sinA=W,则 cosB 的值为（）4A.1B.A C.A D.A4 5 5 4【考点】T4：互余两角三角函数的关系.【专题】选择题【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案.【解答】解：由在RtaABC中，Z C=9 0,得ZA+ZB=90,cosB=sinA=3,4故选：D.【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键.9.在ABC中，若tanA=l,sinB=返，你认为最确切的判断是（）2A.AABC是等腰三角形 B.AABC是等腰直角三角形C.A B C是直角三角形 D.ZSABC是一般锐角三角形【考点】T5：特殊角的三角函数值.【专题】选择题【分析】先根据特殊角的三角函数值求出NA,Z B的值，再根据三角形内角和定理求出N C即可判断.【解答】解:V tanA=l,sinB=YH_,2；.NA=45。，ZB=45.又Y三角形内角和为180。，/.ZC=90.ABC是等腰直角三角形.故选B.【点评】解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值，三角形内角和定理及等腰三角形的判定.1 0.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6 米，两树相距8 米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，间小鸟至少飞行1 0 米.【专题】填空题【分析】根据 两点之间线段最短 可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.【解答】解：如图，设大树高为AB=12m,小树高为CD=6m,过 C 点作CELAB于 E,则四边形EBDC是矩形，连接AC,，EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m),在 RtAAEC 中，AC=,J62+g2=10(m).故小鸟至少飞行10m.故答案为：10.【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力.11.如图，有一滑梯A B,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则N A的 度 数 约 为27.8。（用科学计算器计算，结果精确到0.1。）.【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】填空题【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.【解答】解：.tan旦心0.5283,AC 5.3,NA=27.8,故 答 案 为:27.8.【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.12.小 兰 想 测 量 南 塔 的 高 度.她 在A处仰望塔顶，测 得 仰 角 为30 ,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60。，那 么 塔 高 约 为43.3 m.（小兰身高忽略不计，取 后1.73 2）【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】填空题【分析】从题意可知AB=BD=50m,至B处，测得仰角为60。，sin6CT=迟.可 求BD出塔高.【解答】解：VZDAB=3 0,ZDBC=60,.BD=AB=50m.*.DC=BDsin60=50X12=43.3.2故答案为：43.3.【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解.1 3.如图，在直角 B A D中，延长斜边B D到点C,使D C=1BD,连接A C,若tanB=,则 tan/C AD 的值 3 5【专题】填空题【分析】延 长A D,过 点C作C E 1 A D,垂足为E,由ta n B=,即殁=旦，设3 AB 3A D=5x,则A B=3 x,然后可证明CD ES/BD A,然后相似三角形的对应边成比例可得：CE=DE=CD=1,进 而 可 得C E=3X,D E=X,从 而 可 求ta n/AB AD BD 2 2 2CAD=些 AE 5【解答】解：如图，延长A D,过点C作CE_LAD,垂足为E,V ta n B=l,即 孙 旦3 AB 3.,.设 A D=5x,则 AB=3 x,VZCDE=ZBDA,ZCED=ZBAD,/.CDEABDA,CE_DE_CD_1,一 一,一，,AB AD BD 2，CE=2X,D E=X,2 2/.AE=A,2tanZCAD=-=,AE 5故答案为L.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将ZCAD 放在直角三角形中.1 4.如图所示，运载火箭从地面L 处垂直向上发射，当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达测得A R 的距离是40km,仰角是30,n 秒后，火箭到达B点，此时仰角是45。，则火箭在这n 秒中上升的高度是（2 0 -2 0）km.BAL30；【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】填空题【分析】分别在RtZXALR,RtBLR中，求出AL、BL即可解决问题.【解答】解:在 RtAARL中，V LR=ARcos30=40X20M(km),AL=ARsin30=20(km),在 RtABLR 中，V Z BRL=45,RL=LB=20%,，AB=LB-AL=(2073-20)km,故答案为(20y-20)km.B、【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念解决问题.15.计算下列各题：(1)2(2cos45-sin60)+返 1；4(2)(-2)0-3tan30+|V3-2|.【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；T5：特殊角的三角函数值.【专题】解答题【分析】原式利用特殊角的三角函数值化简，合并同类二次根式化简得到结果；(2)原式第一项利用零指数幕法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.【解答】解：原式=&X (2 X 返-亚)+&2-返+返 2；2 2 4 2 2(2)原式=1-3 X&2 -后 3-23.3【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数累，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.1 6.在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树(如图)的高度，设计的方案及测量数据如下：在大树前的平地上选择一点A,测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35；(2)在点A 和大树之间选择一点B(A,B,D 在同一直线上)，测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45。；量出A,B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树C D 的高度.(精确到0.1 米)(可能用到的参考数据：sin3 5=0.57,cos3 50.82,tan3 50.70)【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解答题【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形4DBC、A A D C,应利用其公共边C D构造等量关系，借助AB=AD-DB=4.5构造方程关系式，进而可求出答案.【解答】解：设CD=x米；VZDBC=45,/.DB=CD=x,AD=x+4.5；在 RtaACD 中，tanNA=里，AD/.tan3 5=-；x+4.5解得：x=10.5；所以大树的高为10.5米.解法 2：在 RtACD 中，ta n/A=,.*.AD=_2P_；AD tan3 5在 RgBCD 中，tan/CBD=A BD=；BD tan450而 AD-BD=4.5,即”-也=4.5,tan3 50 tan450解 得:CD=10.5；所以大树的高为10.5米.【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.1 7.每年的5月1 5日是 世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过9 ,已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：sin9=0.1564,cos9=0.9877,tan9=0.1584）8米【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】解答题【分析】先求得拆除台阶换成斜坡后的坡角，与9。比较，再判断是否能把楼梯换成斜坡.【解答】解：由于台阶共高出地面1.2米，商场门前的人行道距门前垂直距离为8米，则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为ta n a=0.1 5 V ta n 9。，8因此，此商场能把台阶换成斜坡.【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.1 8.如图，信号塔P Q座落在坡度i=l：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60。角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子Q N长为2代米，落在警示牌上的影子M N长为3米，求信号塔PQ的高.（结果不取近似值）【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；U5：平行投影.【专题】解答题【分析】如图作MF_LPQ于F,QEJ_MN于E,则四边形EMFQ是矩形.分别在RtAEQN RtAPFM中解直角三角形即可解决问题.【解答】解：如图作MF_LPQ于F,Q E LM N于E,则四边形EMFQ是矩形.在 RtAQEN 中，设 E N=x,则 EQ=2x,QN2=EN2+QE2,.20=5x2,V x 0,x=2,AEN=2,EQ=MF=4,VMN=3,A FQ=EM=1,在 RtAPFM 中，PF=FMtan60=4,，PQ=PF+FQ=4后 1.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.1 9.如图，某人为了测量小山顶上的塔E D的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为4 5 ,再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60。，塔底点E的仰角为3 0。，求塔ED的高度.（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解答题【分析】先求出NDBE=3 0,Z B D E=3 0,得 出BE=DE,然 后 设EC=xm,则BE=2xm,DE=2xm,DC=3 xm,B C=m,然后根据NDAC=45,可得 AC=CD,列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度.【解答】解：由题知，ZDBC=60,ZEBC=3 0,，ZDBE=ZDBC-ZEBC=60-3 0=3 0.XVZBCD=90,二 NBDC=90。-ZDBC=90-60=3 0.A ZDBE=ZBDE.，BE=DE.设 EC=xm,则 DE=BE=2EC=2xm,DC=EC+DE=x+2x=3 xm,（2X）2-X2=，由题知，ZDAC=45,ZDCA=90,AB=20,.ACD为等腰直角三角形，.*.AC=DC.Jx+60=3 x,解得：x=3 0+10jj,2x=60+20V3.答：塔高约为（60+20%）m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般.2 0.耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是 运河四大名塔 之一（如图1）.数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A,B两点的俯角分别为17.9。，2 2 ,并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如 图2）,求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）.（参 考 数 据:sin22=0.3 7,c o s 2 2 0 0.93,tan22-0.40,sinl7.9 0.31,cosl7.9 弋 0.95,tanl7.9=0.3 2）图1图2【考点】TA；解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解答题【分析】在R tA P B C中，求 出B C,在R tA P A C中，求出A C,根据AB=AC-BC计算即可.【解答】解:根据题意,BC=142米,ZPBC=22,ZPAC=17.9,在 RtPBC 中，tanNPBC=弛，B CPC=BCtanZPBC=142*tan22,在 RtZPAC 中，tanNPAC=里，A C A r-PC _ 1 432-.ta n92 2。-1-4-2西X 0厂.4 0 75：；/.AB=AC-BC=177.5-142和3 6 米.答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米.【点评】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型.2 1.如图，为了测得一棵树的高度A B,小明在D处用高为1 m的测角仪CD,测得树顶A的仰角为4 5 ,再向树方向前进1 0 m,又测得树顶A的仰角为60,求这棵树的高度AB.Di10mB【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解答题【分析】设A G=x,分别在RtAAFG和RtAACG中，表示出CG和G F的长度,然后根据DE=10m,列出方程即可解决问题.【解答】解:设AG=x.在 RtAAFG 中，a n/A F G=旭，FG,F G=V3在 RtAACG 中，VZGCA=45,/.CG=AG=x,VDE=10,/.x -.=10,解得：x=15+56，AB=15+5后 1=16+5愿（米）.答：这棵树的高度AB为（16+5我）米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.