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2022年空间向量加强思维练习题题作业学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知斜三棱柱A8C-AMG 中，底 面 是 直 角 三 角 形，且 A 8 _ LA C,AB=3,A C =4,A d =2,AA与 4 B、AC都成6 0。角，则异面直线A0与 8（所成角的余弦值为（）AA.-V-2-?R 5币 0小 n V2D.-L U.1 4 1 4 3 32.如图，在圆锥S O 中，AB,。为底面圆的两条直径，A 3 n 8 =。，且A B Y C D,SO=OB =3,SE=-SB,异面直线S C 与OE所成角的正切值为（）43.已知点尸是平行四边形4 8 C D 所在的平面外一点，如 果 丽=（2,-l,Y）,A D =（4,2,0）,A 户=（-1,2,-1）.对于结论：|而|=6；A P A D；而是平面A B C。的法向量；而丽.其中正确的是（）A.B.C.D.4 .设直线/的方向向量是,平面a 的法向量是则“打不是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5 .已知正方体A B C。-A4G q 的棱长为a,则平面A4R与平面BOG 的距离为（）A.缶 B.岛 C.旦 D.旦3 36 .如图，A B C。一E F G 4 是棱长为1 的正方体，若 P在正方体内部且满足丽=通+,而+通，则 P到 AB的距离为（）4 2 37.平面a 的一个法向量为（1,2,0）,平面的一个法向量为（2,-1,0）,则平面a 与平面P 的位置关系是（）A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定8.在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量为2=（1,-2,1）,平面a 的法向量为3=（2,3,4）,则（）A.Illa B.I tz C.I u a或IHa D./与 a 斜交9.已知空间三点A（-2,0,8）,B（4,T,6）,若向量弦与方的夹角为6 0 ,则 实 数 加=（）A.1 B.2 C.-1 D.-210.已知直线/过定点A（2,3,1）,且方向向量为（=（0,1,1）,则点P（4,3,2）到/的距离为（）A.逑 B.立 C.叵 D.&2 2 2I I.已知四棱锥P-A 8C D,底面是边长为2 的正方形，是以AO为斜边的等腰直角三角形，平面PAE,点E 是线段PO上的动点（不含端点），若线AB段上存在点尸（不含端点），使得异面直线总与E F成30。的角，则线段PE长的取值范围是()c.二、多选题1 2.(多选)下列命题是真命题的有().A.直线/的方向向量为1 =(1,-1,2),直线机的方向向量为5 =(2,l,一；j,则/与m垂直B.直线/的方向向量为1 =(0,平面a的法向量为斤=(1,-L-1),则/_ LaC.平面a,夕的法向量分别为)=(0,1,3),0=(1,0,2),则。万D.平面a经过三点A(l,0,-1),8(0,1,0),C(-l,2,0),向量为=(1,“)是平面a的法向量，贝！J +f =l1 3.如图，在三棱柱ABC-A4G中，底面A8C是等边三角形，侧 棱 明，底面A B C,。为AB的中点，若A B =2,胡=，贝I ()A.C D 1 A.DB.异 面 直 线 与AG所成角的余弦值为返1 4C.异面直线AD与AG所成角的余弦值为画1 4D.C 平面 MG1 4.如图，一个结晶体的形状为平行六面体A B C。-,其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是()A.(羽+而+而7=2函yC.向量耳守与丽的夹角是60。B Q 与 AC所成角的余弦值为亚3三、填空题15.如图所示，点A、B、C 分别在空间直角坐标系O-孙z 的三条坐标轴上，瓦=(),(),2),平面A8C的一个法向量为3=(2,1,2),平面4 8 c 与平面A 80的夹角为0,则 cos 0=.A区B y16.如图，正三棱柱A B C-A 8 c 的高为4,底 面 边 长 为 是 B C 的中点，尸是线段 4。上的动点，过 8C 作截面a,使得A P L a 且垂足为E,则三棱锥P-8 C E 体积的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.17.如图，在棱长为4 的正方体中，M 是棱AA上的动点，N 是棱BC的中点.当平面。M N与底面4 8 8 所成的锐二面角最小时，.18.如图，在正方体A B CO-A A G R中，点尸为线段。上的动点，M,N 分别为棱D.PBC,AB的中点，若 O P/平面则”=.19.正四棱柱ABC。-A 4G。中，A B =4 A4t=2 6.若M 是侧面BCCB内的动点，且AV_LA1C,则A M 与平面BCC内 所 成 角 的 正 切 值 的 最 大 值 为.20.在直四棱柱ABC3-A,4G2 中，底面是边长为4 的菱形，NABC=60,M=4,过点B与直线AG垂直的平面交直线4A 于点M，则三棱锥A-M BD的外接球的表面积为一.四、解答题参考答案：1.A【解析】【分析】_ _UUU设A i =g,A C =b，A4,=c f即可求出日.5，a*c f b-c，再用万、b 乙表示出A、麻,根据平面向量数量积的运算律求 出 离 配、|羽1、|鸵|,最后根据夹角公式计算可得；【详解】解：设 通=1,A C =b A =c,贝I 无5 =0，a-c =|a|-|c:|c o s 6 0o=3,b-c=|/?|-|c|c o s 6 0 =4 ,所 以 蒲=/+羽=5+E,BC=BB+B C =-BBx+A C-A B =-a+b-c,所以A C-BtC =b+=-d b+b2-b-c-a c+b c-c2=9,阿=+=y/b2+c2+2b-C=2yli,|c|=-d+b-c f =V a2+b2+c2-2a b-2b-c+2a-c=3/3 ,所以c o s(而，配卜离辱尸 以、/|AG忸q 1 4 故选：A2.D【解析】【分析】以8,0民O S为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值.【详解】由题意以02O S为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，A(0,-3,0),8(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),又 SE=SB,4答案第1页，共1 7页一 一 一 一1 一 1 3 9O E =O S +S =O S +-5 B =(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,-).44 4 4S C=(-3,0,-3),贝|J c o s =O E S C_2 7了?而 x303石而设异面直线SC与。E所成角为（9,则c o s e c o s c诙，豆）卜 笔夕为锐角,所以t an a廊s i n。_ i o _ V T Tc o s 0 3 /5 31 0故选：D.3.B【解析】【分析】求出|而1=2 6判断不正确；根 据 福.而=0判断正确；由叱 上 钻，A P J_ 4）判-1 =2 2断正确；假设存在4使 得 丽=2而，由2 =3几 无解，判断不正确.1 =4 Z【详解】由 布=(2,-1,-4),而=(4,2,0),AP=(-,2,-1),知:在中，|而|=J 1 6 +4 +0 =2石W 6,故不正确;答案第2页，共1 7页在中，AP-AD=-4+4+0=0,-A P L A b :.AP AD,故正确；在中，A P AB =-2-2+4=0,:.AP AB,又因为A P 1.4),A B r A D A,知Q是平面ABC。的法向量，故正确；-1=22在中，B D=AD-AB=(2,3,4),假设存在;I 使 得 丽=义 丽，则，2=32,无解，故-1=42不正确；综上可得：正确.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题.4.B【解析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由/。，得:a n，则 力 7 是“/a”的必要条件,而 不 一 定 有/a,也可能/u a,则“2_1_不 不是 /a”的充分条件.故选：B.5.D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解【详解】由正方体的性质，AB、DC,DB DB,D C D B =D,易得平面A 8Q 平面BOC一则两平面间的距离可转化为点B 到 平 面 的 距 离.以 D 为坐标原点，DA,DC,0 A 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴答案第3 页，共 17页建立空间直角坐标系,则 A(a,O,O),B(a,a,O),4 (a,O,a),C(0,a,0),B a,a,a),(0,0,o)所以 C4,=(a,-a,a),BA=(0,-a,0),福=(0,a,a),BtDt=(-,-,0).连接 A C,由.AB1=(a,-a,a)-(O,a,a)=O,CA BD=(,-a,a)(-a,-a,0)=0,且AB,I B,D,=B、,可知 AC 1 平面 ABQ,得 平 面 的 一 个 法 向 量 为 力=(1,-1,1),则两平面间的距离d=f =2=乎”.|V3 3故选：D6.C【解 析】【分 析】以A为坐标原点，AB,AD,4 E所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，由题意，计 算 出 通 和 丽 的 坐 标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.【详 解】答 案 第4页，共17页解：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，_ _ IILIU则 AB=(1,O,O),AO=(0,1,0),ULtlA=(0,0,1),_ _ 3 _ _ i _ _ 2 _ _因 为 丽=二 而+_ 而+_ 醺,4_2_ 3所 以 而=与 统AP-AB国34所以点P 到 A 8的距离d=故选：C.7.C【解析】根据两个平面的法向量，结合向量的数量积的运算，进而得到答案.【详解】由题意，平面a 的一个法向量为(1 2 0),平面夕的一个法向量为(2,-1,0),可得(1,2,0(2,_l,0)=lx 2 2x+0 x0=0,故两个平面的法向量垂直，故平面心和平面仅相互垂直.故选：C.8.C答案第5 页，共 17页【解析】由G =0 可得所以/U tz或/a,即可得正确选项.【详解】直线/的方向向量为2=(1,-2,1),平面a 的法向量为7=(2,3,4),因为=(2,3,4(1,-2,1)=2-6+4 =0,所 以 力 入所以/u a 或Illa,故选：C.9.B【解析】【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可【详解】QA（2,0,8）,3（4,Y,6）,PA-PB由题意有cos 60。=/.P A-（-2-m,-m,8-w）,_ 3*-12m+40-12相 +685/3疝-12/w+68Hn即-3-n-r-1-2-/-M-+-6-8=3.m-2-12 i+40,2整理得 m2 4m+4=0,解得机=2故选：B10.A【解析】【分析】本题首先可根据题意得出行，然后求出|而|与入户,最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】答案第6 页，共 17页因 为A(2,3,l),P(4,3,2),所 以 丽=(2,0,1),2则1羽=石，丽?.卓,M 2由点到直线的距离公式得八府卜Q?百=，故选：A.11.B【解 析】先依题意建立空间直角坐标系，用 未 知 量 设 点E,F,注意范围，利用异面直线上4与EF成角构建关系，解出范围即可.【详 解】由 皿）是 以AD为斜边的等腰直角三角形，A 3,平 面P 4 O,取AO中点G,建立如图空间直角坐标系，依 题 意G(0,0,0),4(1,0,0),ZX-1,0,0),B(l,2,0),P(0,0,1),设尸(1,)，,0),设E=xDP=x(l,0,l)=(x,0,x),0 c x 1,故 E(x-l,0,x),EF=(2-x,y,-x)又 丽=(1,0,-1),异 面 直 线 小 与E尸成30。的角，故|万 历 卜 可 丽卜os30。，即 2=0 x J(2-x)2 +y2+j2 x ,B P y2=-2(x-l)2+|,0 x l,故 丁e 0,|又2 3 L J/0 y 2,故y e 0,号.故 选：B.12.AD【解 析】答 案 第7页，共17页【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；而=(-1,1,1),前=(-1,1,0),利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.【详解】V a =(1,-1,2),5=(2,1,-|,&/=l x 2-1 x 1 +2 x(-g)=0 ,贝二直线/与机垂直，故A正确；a=(0,l,-l),元=(1,-1,-1),J 1 l 5-/i =O x l +l x(-l)+(-l)x(-l)=O,则。_ L五,:lHa或l u a,故B错误；一 一 U 111V ny=(0,1,3),2 =(1,0,2),A X i 1与 不共线,。/啰不成立，故C错误；.点 A(l,0,-1),8(0,1,0),。(-1,2,0),丽=(-1,1,1),B C =(-1,1,0).向量元=(LJ)是平面a的法向量，.,竺一,n-BC=01 +W 4-f =0即,八，解得+f=l,故。正确.-1 +M =0故选：A D【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.1 3.A C【解析】由线面垂直的判定法则可得CD，平面A4Q,从而可证明A；建立空间直角坐标系，求出与AC的方向向量，即可求出两直线所成角的余弦值，求出平面A8C的法向量与8的方向向量，从而可判断直线和平面是否平行.【详解】答案第8页，共1 7页A:因 为 侧 棱_ L底面ABC,所以儿!，。!)，因为A5 C是等边二角形，A D =B D ,所以COL 45,因为A 8C4 A=A，所以CO,平面A4Q,则A正确;以。为原点，如图建立空间直角坐标系，则4卜1。的)，A(-I,o,o),c,(o,V 3,V 6),(1,0,76),所 以 丽=(1,0,_ 指)，X q=(i,5,76),所以/A ri A/T,AD-A C 1 1-6 /6 z =0万 A G =x +Gy+/6 z =0则即y =-z2,取z =2,则后=2),-z2因为C方=(0,-6,0),且C/5.弁=指，0,所以若C D 平面4 8 1 G不成立，D不正确;故选:A C.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了线面平行的判定，考查了异面直线所成角的求解，属于中档题.本题的关键是建立空间坐标系，结合向量进行求解.1 4.A B【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】答案第9页，共1 7页以顶点A 为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60,可设棱长为1,则 丽 丽=丽 而=而 通=lxlxcos60=g(AA+AB+而 丫 =村 +AB2+AD+2瓯-AB+2AB-AD+2AA,AD=1 +1 +1 +3X2X1=62=2（I+l+2x；）=2x3=6,所以 A 正确.国 印-砌=（丽+而+砌 （而-珂=X AB-AAAD+AB2-A B A D+A D A B-AD2=0,所以 B 正确.向量8仁=4 力，显然AA,。为等边三角形，则/例。=60。.所 以 向 量 而 与 羽 的 夹 角 是 120。，向 量 即 与 画 的 夹 角 是 120。,则 C 不正确又 西=Ad+A4 A方，AC=AB+AD则|西|=J 西+丽一砌,=/,|而=J 回+到,=6西 祕=（而+瓯-砌 （而+珂 =1所以cos（西=恪，所以D 不正确./BDAC V2xV3 6故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.【解析】【分析】分析可知平面A 80的一个法向量为反，利用空间向量法可求得cos。的值.【详解】答案第10页，共 17页_.OC-M 4 2由题意可知，平面A 8 0的一个法向量为OC=(0,0,2),所以，cos=LI故答案为：16.4 G【解析】【分析】由乙-BCE=P-ABC E-ABC,可得当 以-ABC 最大时，Vp-BCE 最小，建立空间直角坐标系求E到底面距离的最大值，则答案可求.【详解】解：设 中 点 为。，以。为坐标原点，分别以。4、O B、。所在直线为X、V、z轴建立空间直角坐标系，得 4(6,0,0),设 E(x,0,z),则 荏=(x-6,0,z),O=(x,0,z),-,-aAP,：.AEA.OE,f#x(x-6)+0+z2=0,则 z=(6-x)=J-犬+6x,当 x=3 时，z1 mx=3 ,又 Vp-BCE=P-ABC%-ABC=(4 Z),三棱锥P-B C E体积的最小值为L=g x g x 4 G x 6 x l=4 6.故答案为：4/3.答案第11页，共17页z【解 析】【分 析】建立空间直角坐标系，分别得到平面2 M N、平 面ABCD的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.【详 解】如图设 M（4,0,a）（O a/3,0),0(0,-2 ,0),G(-2,0,4)，设(2,0,z),所 以 丽=(0,T 6,0),祠 =(7,0,4),所 以 莺 丽=0,.藕 _L而.所 以 的=(2,0,z),所 以 苑 丽 =(),.8+4z=0,；.z=2.即点M 是 AA中点时，AC,，平面BDM.设三棱锥A-AffiD的外接球的半径为R 设4 MBD的外接圆半径为r,473、“则 1-=2八.=4,sin 一%3所以叱=4?+(1x2)2=17.2答案第16页，共 17页所以三棱锥A-M B D的外接球的表面积为4切?2 =68万.故答案为：68万.【点睛】本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.答案第17页，共17页